1、1第一章 线弹性断裂力学2线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：1).能量平衡的观点:认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；2).应力场强度的观点:认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。1.1 能量平衡理论3取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉长后固定两端。板受均匀拉伸应力 作用，则板内储存的应变能为1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题1920年，Griffith研究
2、玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得到Griffith裂纹。1. 能量释放率与G准则E22121 =中心割开一个裂纹，那么由于裂纹表面应力消失，放出部分应变能。1.1 能量平衡理论4对于平面应力状态释放出的部分弹性应变能为EBaU22=（根据椭圆孔的解答算出）（由于有Inglis的解，上述计算是初等的，但Griffith接着提出了一个大胆的创新思想，即裂纹的出现使固体材料出现了一个新表面，此表面和液体表面一样具有表面能，系统所释放的能量U的一部分将转化为表面能。）裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为aBS 4= 形成单位面积表面所需要的表面能4aB 上下表面的面积和。1 能量释放
3、率与G准则5dAdU(2)dA Bda=dAdS0)( =SUdAd临界状态：应变能释放率= 形成新表面所需要吸收的能量率稍有干扰，裂纹就自行扩展，成为不稳定。1 能量释放率与G准则6dAdUG =1dAdSGc=1cGG11=应变能释放率能量吸收率I代表I型裂纹，那么裂纹的临界条件为d()0dUSA =临界状态d()0dUSA 裂纹不稳定1 能量释放率与G准则7对于平面应力问题，d2dA Ba=2ddUaA E =d2dSA=临界条件22caE=22caE=或临界应力：122()cEa=表示无限大平板在平面应力状态下，长为2 a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值剩余强度。1 能量释放率与G准则E
4、BaU22=8临界裂纹长度22cEa=对于平面应变有2222(1 )2(1 )ccEaEa =Griffith判据如下：超过临界应力c(2)当裂纹尺寸a超过临界裂纹尺寸ca脆性物体断裂1 能量释放率与G准则(1)当外加应力9Orowan与 Irwin对 Griffith理论的解释与发展Orowan在1948年指出:金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为 P 剩余强度和临界裂纹长度抵抗裂纹扩展能力=
5、表面能+塑性变形能1 能量释放率与G准则102/P+例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为 P ,则对金属 p比大几个数量级， 可以忽略不计PGc=1PEaGGc=211aPEC =2EPa =相应的剩余强度和临界裂纹长度分别为对于含中心裂纹的无限大金属板的临界条件为1 能量释放率与G准则11前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况，具有更广泛的物理意义。1G取一厚度为B 的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积 A = 2aB。在裂纹长度不变的情况下，P 与作用点位移成正比将板拉长后固定两端。下图中直线的斜率为刚度系数，其倒数为柔度系数（柔度），等于单位载荷下的位移。当裂纹面积增
6、加时，弹性裂纹体刚度下降，柔度增加，即弹性曲线斜率减小。下面需要分析三种不同边界条件的情况2 G1的柔度公式121）固定位移情况在图中体系应变能减少，释放 出的应变能作为裂纹扩展所需的功。oac obc 应变能减少量=2 G1的柔度公式1UGA=132） 固定载荷情况在图中，体系应变能增加，载荷 作的功一半用于增加系统应变能，一半作为剩余功用于裂纹扩展。AUG=11G将上述两种情况的 统一写成()ode oac 应变能增加量=矩形(外力功)-()ode oac ()oad= 2 G1的柔度公式（固定边取负固定力取正）用于裂纹扩展的能量=14裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变化到f，其斜率为3)弹
7、性约束情况对于一般弹性条件，可 看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的力学模型。1=K弹簧柔度系数2 G1的柔度公式15上式称为应变能释放率的柔度表达式。那么知道了载荷与柔度随面积的变化率，可以计算出dAoafdAoaddAoabGdAdAdA= 0001limlimlim系统推动裂纹扩展的有效能量为外力 功与应变能增加（或减少）之差（或和） dPoad2Pdd =dAdPG221=1G对前两种情况，则由2 G1的柔度公式16Irwin在 1948年引入记号 G1()2GWUa= 外力功 释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力G 准则cGG=cG临界值Irwin的理论适用于金属材
8、料的准脆性破坏破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形 .1 能量释放率与G准则171.裂纹的类型a.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿. 表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.1.2 裂纹尖端附近的应力场和位移值18b.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开滑开型(型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.1.裂纹的类型撕开型裂纹(型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下
9、,裂纹沿裂纹面撕开扩展.引申192.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场设无限大板含长2a的中心裂纹，受双轴拉力，如图:20按弹性力学的平面问题求解，得出裂纹尖端附近的应力场和位移场3cos 1 sin sin22223cos 1 sin sin22223cos sin cos22 220() 0 xyxyxz yzzzyzKrKrKr =+=+=（平面应变）（平面应力）+=+=（平面应力）（平面应变）)(023sin2sin)12(2423cos2cos)12(24dzEwwkrKvkrKuyx 剪切模量+=（平面应力）（平面应变）1343k(1-16) (1-17)2.张开型（I型）
10、裂纹尖端附近的应力场.位移场21各式中共有的系数，称为裂纹尖端应力强度因子，简称应力强度因子。对于无限大板有中心裂纹受双轴拉应力的情况:aK =公式(1-16)和(1-17)的推导如下: 第一步：解I型Westergaard应力函数弹性力学平面问题（见书附录），归结为选取一个应力函数),( yx使其满足边界条件和双调和方程:04= 微分算子+=222222224yxyx2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场22取一复变解析函数)(1zZ,令其一次积分 )(1zZ 和二次积分 )(1zZ的实部和虚部组合成应力函数,则:)(Im)(Re11zZyzZ +容易证明是一个双调和函数。各应力分量
11、表达式：()12212222ImRe ZyyZyyx+柯西黎曼条件111ReImReZyZxZ=111Im ReImZZZxy =2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场简化23111212Re)Im()Re(ReZZyyZyyZ=()1111122ImRe2)Re(ImIm ZyZZyZyZyy=+=将上面两式代入应力表达式11Re ImxZ yZ 1122ImRe ZyZxy+ 12ReZyyxxy同理(自行推导)可得：2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场()12212222ImRe ZyyZyyx+24求出了应力分量表达式，把其代入材料的本构方程和几何方程，可得到位移分量
12、： 1111Re)1(Im21Im)1(Re)1(1ZyZEvZyZEu+平面应力对平面应变：21 EE1通过以上推导可知，求应力和位移，不需找出应力函数，只需选择 ，并使其满足边界条件。 )(1zZ2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场25在处第二步：选I型裂纹的 )(1zZ边界条件：0=xyy0=y ax 0xy xy = =z在处选取 如下： )(1zZ221)(azzzZ=能够满足全部边界条件2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场我们可以考察一下26()0lim)(limlim)(lim2/32221221=azazZazzzZzzzz在裂纹表面 处0=yax 2222
13、1)(axxazzzZ=虚数！0)(Re1=zZ0=xyy0=y11Re ImyZyZ +1RexyyZ 注意：11Re ImxZyZ 2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场无穷远处0xyxy =裂纹表面27将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标 az =( )()(2)(1faaZ =+=当0)(f趋于常数,设: ，2)(lim)(lim1100KZf =右裂尖附近, 在很小范围内时( )()aaaZK =+=22lim)(2lim01012.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场28第三步：用 求I型裂尖附近的应力场和位移场)(1zZ应力强度因子是在裂尖时 存在极限，若考虑裂尖附近的
14、一个微小区域，则有下面近似关系：0)(211ZK =2)(11KZ =以极坐标表示复变量)sin(cos irrei+=)2sin2(cos2)(11 irKZ =)23sin23(cos122122)(2/312/311irKKddZ=把上面两式代入前面应力表达式中，并利用 就可得裂尖应力和位移场得表达式(1-16)、(1-17)。sinry =2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场11Re ImyZyZ +1RexyyZ 注意：11Re ImxZyZ 29按弹性力学的平面问题求解，得出裂纹尖端附近的应力场和位移场3cos 1 sin sin22223cos 1 sin sin22223cos sin cos22 220() 0 xyxyxz yzzzyzKrKrKr =+=+=（平面应变）（平面应力）+=+=（平面应力）（平面应变）)(023sin2sin)12(2423cos2cos)12(24dzEwwkrKvkrKuyx剪切模量+=（平面应力）（平面应变）1343k(1-16) (1-17)2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场303 滑开型（II型）裂纹尖端附近的应力和位移设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用按弹性力学平面问题求解，可得出裂纹尖端附近应力场和位移场.
