2017年考研数学二真题及答案.pdf

1、本试卷满分150，考试时间 180 分钟一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（ 1） 若 函 数 1 cos , 0,( ) , 0,x xf x axb x 在 0x ， 处 连 续 ， 则 （ ）（ A） 12ab （ B） 12ab （ C） 0ab （ D） 2ab【 答 案 】 （ A）【 解 析 】 由 连 续 的 定 义 可 知 ： 0 0lim ( ) lim ( ) (0)x xf x f x f ， 其 中 0(0) lim ( )xf f x b ，20 0

2、 0 1( )1 cos 12lim ( ) lim lim 2x x x xxf x ax ax a ， 从 而 12b a ， 也 即 12ab ， 故 选 （ A） 。（ 2） 设 二 阶 可 导 函 数 ( )f x 满 足 (1) ( 1) 1, (0) 1f f f 且 ( ) 0f x ， 则 （ ）（ A） 11 ( ) 0f x dx （ B） 11 ( ) 0f x dx （ C） 0 11 0( ) ( )f x dx f x dx （ D） 0 11 0( ) ( )f x dx f x dx 【 答 案 】 （ B）【 解 析 】 由 于 ( ) 0f x ， 可 知

3、 其 中 ( )f x 的 图 像 在 其 任 意 两 点 连 线 的 曲 线 下 方 ， 也 即( ) (0) (1) (0) 2 1f x f f f x x ， (0,1)x ， 因 此 1 10 0( ) (2 1) 0f x dx x dx 。 同理 ( ) (0) (0) ( 1) 2 1f x f f f x x ， ( 1,0)x 。 因 此0 01 1( ) ( 2 1) 0f x dx x dx ， 从 而 11 ( ) 0f x dx ， 故 选 （ B） 。（ 3） 设 数 列 nx 收 敛 ， 则 （ ）（ A） 当 limsin 0nn x 时 ， lim 0nn

4、x （ B） 当 lim( ) 0n nn x x 时 ，lim 0nn x （ C） ） 当 2lim( ) 0n nn x x 时 ， lim 0nn x （ D） 当 lim( sin ) 0n nn x x 时 ，lim 0nn x 【 答 案 】 （ D）【 解 析 】 设 lim nn x a ， 则 limsin sinnn x a ， 可 知 当 sin 0a ， 也 即 a k ， 0, 1, 2,k 时 ， 都 有 limsin 0nn x ， 故 （ A） 错 误 。lim( )n nn x x a a ， 可 知 当 0a a ， 也 即 0a 或 者 1a 时 ， 都

5、 有lim( ) 0n nn x x ， 故 （ B） 错 误 。2 2lim( )n nn x x a a ， 可 知 当 2 0a a ， 也 即 0a 或 者 1a 时 ， 都 有2lim( ) 0n nn x x ， 故 （ C） 错 误 。lim( sin ) sinn nn x x a a ， 而 要 使 sin 0a a 只 有 0a ， 故 （ D） 正 确 。（ 4） 微 分 方 程 24 8 (1 cos2 )xy y y e x 的 特 解 可 设 为 *y （ ）（ A） 2 2 cos2 sin2x xAe e B x C x （ B） 2 2 cos2 sin2x

6、xAxe e B x C x （ C） 2 2 cos2 sin2x xAe xe B x C x （ D） 2 2 cos2 sin2x xAxe xe B x C x 【 答 案 】 （ A）【 解 析 】 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为 2 4 8 0 ， 特 征 根 为 2 2i ， 将 非 齐 次 方 程 拆 分为 ： 24 8 (1)xy y y e 与 24 8 cos2 (2)xy y y e x 。方 程 (1) 的 特 解 可 以 设 为 21 xy Ae ， 方 程 (2) 的 特 解 可 以 设 为22 ( cos2 sin2 )xy xe B x C x ，

7、由 解 的 叠 加 原 理 可 知 ： 方 程 (1)饿 任 意 解 和 方 程 (2)的 任意 解 之 和 即 为 原 方 程 的 解 ， 则 原 方 程 的 特 解 可 以 设 为2 22 ( cos2 sin2 )x xy Ae xe B x C x ， 故 选 （ A） 。（ 5） 设 具 有 一 阶 偏 导 数 ， 且 对 任 意 的 都 有 ,则 （ ）（ A） （ B）（ C） （ D）【 答 案 】 （ D）【 解 析 】 由 于 , 0f x yx ， 可 知 ,f x y 关 于 单 调 x递 增 ， 故 0,1 1,1f f 。 又 由 于 , 0f x yy ， 可 知

8、 ,f x y 关 于 单 调 y 递 减 ， 故 1,1 1,0f f ， 从 而 0,1 1,0f f ，故 选 （ D） 。（ 6） 甲 乙 两 人 赛 跑 ， 计 时 开 始 时 ， 甲 在 乙 前 方 10(单 位 ： 米 )处 ， 图 中 实 线 表 示 甲 的 速 度 曲线 (单 位 ： m/s)， 虚 线 表 示 乙 的 速 度 曲 线 ， 三 块 阴 影 部 分 的 面 积 的 数 值 依 次 为 10,20,3.计 时开 始 后 乙 追 上 甲 的 时 刻 记 为 (单 位 ： s)， 则 （ ）（ A） （ B）（ C） （ D）【 答 案 】 （ C）【 解 析 】 从

9、 0到 0t 时 刻 ， 甲 乙 的 位 移 分 别 为0 10 ( )t V t dt 与 0 20 ( )t V t dt 要 使 乙 追 上 甲 ， 则 有0 2 10 ( ) ( )t V t V t dt ， 由 定 积 分 的 几 何 意 义 可 知 ， 25 2 10 ( ) ( ) 20 10 10V t V t dt ， 可 知0 25t ， 故 选 （ C） 。（ 7） 设 A为 3阶 矩 阵 ， 1 2 3, , )P =( 为 可 逆 矩 阵 ， 使 得 1 0 0 00 1 00 0 2 P AP ， 则1 2 3)A( （ ）（ A）1 2 （ B） 2 3 （ C

10、） 2 3 （ D）1 2 【 答 案 】 （ B）【 解 析 】1 2 3 1 2 311 2 3 1 2 3 1 2 31 2 31 2 3 2 3 1( ) ( , , ) 11 1( , , )( , , ) ( , , ) 110 0 0 1( , , ) 0 1 0 10 0 2 10( , , ) 1 22A A A （ 8） 已 知 矩 阵 2 0 00 2 10 0 1 A ， 2 1 00 2 00 0 1 B ， 1 0 0C 0 2 00 0 2 则 （ ）（ A） A与 C相 似 ， B与 C相 似（ B） A与 C相 似 ， B与 C不 相 似（ C） A与 C不

11、相 似 ， B与 C相 似（ D） A与 C不 相 似 ， B与 C不 相 似【 答 案 】 （ B）【 解 析 】 由 （ ） =0E A 可 知 A的 特 征 值 为 2,2,1。3 (2 ) 1r E A 。 A可 相 似 对 角 化 ， 且 1 0 00 2 00 0 2A 由 0E B 可 知 B的 特 征 值 为 2,2,1。3 (2 ) 2r E B 。 B不 可 相 似 对 角 化 ， 显 然 C可 相 似 对 角 化 ， A C 。 且 B不 相 似 于 C。二 、 填 空 题 ： 914 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分 ， 请 将 答 案 写 在 答 题

12、纸 指 定 位 置 上 .（ 9） 曲 线 21 arcsiny x x 的 斜 渐 近 线 方 程 为 _。【 答 案 】 2y x 。【 解 析 】 21 arcsinlim 1x x xk x ， 2lim 1 arcsin 2xb x xx ， 则 斜 渐 近 线 方 程为 2y x 。（ 10） 设 函 数 ( )y y x 由 参 数 方 程 tx t ey sint 确 定 ， 则 22 0td ydx _。【 答 案 】 18 。【 解 析 】 ( ) cos( ) 1 tdy y t tdx x t e ，2 22 3sin (1 ) coscos sin sin cos(1

13、 )11 1 (1 )t t t tttt t tt e e ttd y t e t e teedx e e e 22 0 18td ydx 。（ 1 1 ） 20 ln(1 )(1 )x dxx _。【 答 案 】 1。【 解 析 】 20 0ln(1 ) 1ln(1 )(1 ) 1x dx x dx x 2001 1ln(1 )1 1x dxx x 0 01 1ln(1 )1 1xx x 0 1 1 。（ 12） 设 函 数 ( , )f x y 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 ( , ) (1 )y ydf x y ye dx x y e dy ， (0,0) 0f ，则 (

14、 , )f x y _。【 答 案 】 yxye 。【 解 析 】 由 题 可 知 ， yxf ye ， 1 yyf x y e ， , ( )y yf x y ye dx xye c y ，( )y y y yyf xe xye c y xe xye ， 即 ( ) 0c y ， 即 ( )c y c ， 0,0 0f ， 故 0c ， 即 ,yf x y xye 。（ 13） 1 10 tany xdy dxx _。【 答 案 】 ln(cos1) 。【 解 析 】 11 1 1 1 10 0 0 0tan tan tan ln cos lncos1 lncos0 lncos1y yx x

15、dy dx dx dy xdx xx x 。（ 14） 设 矩 阵 4 1 21 23 1 1A a 的 一 个 特 征 向 量 为 112 ， 则 a _。【 答 案 】 1 。【 解 析 】 因 为 1 11 = 3 22 2A a ， 即 3 2 1a ， 可 得 1a 。三 、 解 答 题 ： 1523 小 题 ， 共 94 分 .请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .(15)(本 题 满 分 10 分 )求 极 限 0 30lim x tx x te dtx 。【 解 析 】 先 对 变

16、上 限 积 分 0x tx te dt 作 变 量 代 换 u x t ， 得00 0( )x xt x u x uxx te dt ue du e ue du 则 由 洛 必 达 法 则 可 知 ：原 式 = 00lim 32xx ux e ue du xx = 002 2lim3 3x uxx ue duxe = 02 2lim 13 32xx x xxexe ex = 02 2lim 13 32xx x xxexe e 23(16)(本 题 满 分 10 分 )设 函 数 ( , )f u v 具 有 2 阶 连 续 偏 导 数 ， ( ,cos )xy f e x ， 求 0xdydx

17、 ，2 02 xd ydx 。【 解 析 】 由 复 合 函 数 求 导 法 则 ， 可 得 ：1 2( sin )xdy f e f xdx 故 0 1(1,1)xdy fdx 进 一 步 地 ：2 1 21 22 ( ) ( )cos sinx x d f d fd y e f e xf xdx dxdx 1 11 12 2 21 22( sin ) cos sin ( sin )x x x xe f e f e f x xf x f e f x 2 21 2 11 21 22cos 2 sin sinx x xe f xf e f e xf xf 故 2 0 1 2 112 (1,1)

18、(1,1) (1,1)xd y f f fdx (17) (本 题 满 分 10 分 )求 21lim ln(1 )nn k k kn n 。【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 式 可 知原 式 = 1011lim ln 1 ln 1nn k k k x x dxn n n ， 再 由 分 部 积 分 法 可 知 ： 2 21 1 12 100 0 01 2 100 1 1 1ln 1 ln 1 1 ln 1 | ln 12 2 21 1 11 1 |2 4 4 x xx x dx x d x x d xx dx x (18)(本 题 满 分 10分 )已 知 函 数 ( )y x 由

19、 方 程 3 3 3 3 2 0x y x y 确 定 ， 求 ( )y x 的 极 值 。【 解 析 】 等 式 两 边 同 时 对 x求 导 可 得 ，2 23 3 3 3 0x y y y (1)令 0y 可 得 23 3 0x ， 故 1x 。 由 极 限 的 必 要 条 件 可 知 ， 函 数 的 极 值 之 梦 能 取 在1x 与 1x 处 ， 为 了 检 验 该 点 是 否 为 极 值 点 ， 下 面 来 计 算 函 数 的 二 阶 导 数 ， 对 (1)式 两边 同 时 求 导 可 得 ， 2 26 6 3 3 0x y y y y y (2)当 1x 时 ， 1y ， 将 1

20、, 1, 0x y y 代 入 （ 2） 式 可 得 2y ， 故 1 1y 是 函 数 的极 大 值 。当 1x 时 ， 0, 0y y ， 代 入 （ 2） 式 可 得 2y ， 故 1 0y 是 函 数 的 极 小 值 。(19) (本 题 满 分 11 分 )设 函 数 ( )f x 在 区 间 0,1 上 具 有 二 阶 导 数 ， 且 (1) 0f ，0 ( )lim 0x f xx 。证 明 ： （ ） 方 程 ( ) 0f x 在 区 间 (0,1)内 至 少 存 在 一 个 实 根 。（ ） 方 程 2( ) ( ) ( ) 0f x f x f x 在 区 间 (0,1)内

21、 至 少 存 在 两 个 不 同 实 根 。【 证 明 】 （ I） 由 于 0 ( )lim 0x f xx ， 则 由 保 号 性 可 知 ： 0 ， 使 得 当 (0, )x 时 ， ( ) 0f xx ，也 即 ( ) 0f x 。又 由 于 (1) 0f ， 则 由 零 点 存 在 定 理 可 知 ， ( ) 0f x 在 (0,1)内 至 少 有 一 个 实 根 。（ II） 令 ( ) ( ) ( )F x f x f x 。 由 0 ( )lim 0x f xx 可 知 0 ( )(0) lim 0x f xf xx 。又 由 （ I） 可 知 ： 0 (0,1)x 使 得 0

22、( ) 0f x 。由 罗 尔 定 理 可 知 ： 1 0(0, )x 使 1( ) 0f ， 从 而 1 0(0) ( ) ( ) 0F F F x 。再 由 罗 尔 定 理 可 知 ： 2 1(0, ) ， 3 1 0( , )x 使 得 2 3( ) ( ) 0F F 。也 即 2( ) ( ) ( ) ( ) 0F x f x f x f x 在 0(0, ) (0,1)x 内 有 两 个 不 同 的 实 根 。(（ 21） (本 题 满 分 11 分 )设 ( )y x 是 区 间 30,2 内 的 可 导 函 数 ， 且 (1) 0y ， 点 P 是 曲 线: ( )l y x上

23、的 任 意 一 点 。 l 在 P 处 的 切 线 与 y 轴 相 交 于 点 0, pY ， 法 线 与 x 轴 相 交 于 点 ,0pX ， 若 p pX Y ， 求 l上 点 的 坐 标 ( , )x y 满 足 的 方 程 。【 解 析 】 设 ( , ( )p x y x 的 切 线 为 ( ) ( )( )Y y x y x X x ， 令 0X 得 ， ( ) ( )pY y x y x x ，法 线 1( ) ( )( )Y y x X xy x ， 令 0Y 得 ， ( ) ( )pX x y x y x 。 由 p pY X 得 ，( ) ( )y xy x x yy x

24、， 即 1 ( ) 1y yy xx x 。 令 y ux ， 则 y ux ， dy dux udx dx ，那 么 ， ( 1) ( 1)duu x u udx ， 即 2 11u dxduu x ， 解 得 ， 21ln 1 arctan lnu u x Cx 。（ 22） (本 题 满 分 11分 )设 3阶 矩 阵 1 2 3, ,A 有 3个 不 同 的 特 征 值 ， 且 3 1 22 。（ I） 证 明 ： ( ) 2r A （ II） 若 1 2 3 ， 求 方 程 组 Ax 的 通 解 。（ I） 【 证 明 】 因 为 A有 三 个 不 同 的 特 征 值 ， 所 以 A

25、， ( ) 1r A ， 假 若 ( ) 1r A 时 ， 0是二 重 的 ， 故 不 符 合 ， 那 么 ( ) 2r A ， 又 因 为 3 1 22 ， 所 以 ( ) 2r A ， 即 ( ) 2r A 。（ II）【 解 析 】 因 为 ( ) 2r A ， 所 以 0Ax 的 基 础 解 析 只 有 一 个 解 向 量 ， 又 因 为 3 1 22 ，即 1 2 32 0 ， 即 基 础 解 系 的 解 向 量 为 (1,2, 1)T ， 又 因 为 1 2 3 ， 故Ax 的 特 解 为 (1,1,1)T ， 所 以 Ax 的 通 解 为 (1,2, 1) (1,1,1)T Tk

26、 ， k R 。（ 23） (本 题 满 分 11分 )设 二 次 型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 8 2f x x x x x ax x x x x x x 在 正 交 变 换 X QY 下 的 标 准 型 2 21 1 2 2y y ， 求 a的 值 及 一 个 正 交 矩 阵 Q。【 解 析 】 二 次 型 对 应 的 矩 阵 为 2 1 41 1 14 1A a ， 因 为 标 准 型 为 2 21 1 2 2y y ， 所 以0A ， 从 而 4 6a ， 即 2a ， 代 入 得 2 1 41 1 1 04 1 2E A ， 解 得0, 3,6 ；当 0 时 ， 2 1 40 1 1 14 1 2E A ， 化 简 得 1 1 10 1 20 0 0 ， 对 应 的 特 征 向 量 为1(1,2,1)Tk ；当 3 时 ， 5 1 43 1 2 14 1 5E A ， 化 简 得 1 2 10 1 10 0 0 ， 对 应 的 特 征 向 量 为2(1, 1,1)Tk ；当 6 时 ， 4 1 46 1 7 14 1 4E A ， 化 简 得 1 7 10 1 00 0 0 ， 对 应 的 特 征 向 量 为3( 1,0,1)Tk ；从 而 正 交 矩 阵 3 2 63 2 63 603 33 2 63 2 6Q 。