1、数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价保安系统评价一、 摘要：在平面图如右图所示的一个展览馆中，展出一批极有价值的水彩画， 展壁上每隔 1 米挂一幅。为安全起见引入一套“电视监测系统”，在 A，B 两处各设一个摄像机对展览馆进行扫描。两个摄像机的镜头视角为了300， 对展览馆进行扫描的周期为 20 秒。监测室中的工作人员只有 50%的时间观察传输回的图像。请分析这一保安系统的安全性。二、 关键字：微分方程三、 问题重述：一个展览馆中，在展壁每隔 1米挂一幅水彩画。展馆两角 A、B 有两个视角为 30的摄像机进行扫描，周期为 20秒。检测室工作人员只有 50%的时间观察传输回的图像。分析该保安系
2、统的安全性。四、 模型假设：1 假设展壁两面都展出水彩画。2 假设展壁很薄，厚度可不计。数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价3 假设画每隔一米挂在展壁上，第一幅靠墙，则展壁上最后一幅旁边还空了一米。4 假设展壁一端离墙的距离 d =10.76923m，即两展壁的未靠墙端与摄像机在同一直线上。5 假设摄像机从离一个墙 15转到另一个墙 15再转回原来位置为一个周期。6 假设摄像机匀速转动。7 假设检测室工作人员观察图像的时间随机，与摄像机的转动情况无关。8 假设两个摄像机独立转动。9 假设展出开始时刻，A 摄像机从离入口墙 15开始工作，B 摄像机也从里入口墙 15开始工作。10 假设没有水彩
3、画没有在展壁上即认为丢失。不考虑展画被拿下到被拿出入口的情况。符号与图示说明：1. G、H 分别为展壁与墙的交点和展壁的延长线与墙的交点， ，=摄像机 B中轴与 HG的夹角为 ，即视角最右端与 HG的夹角为 。+15 显然 。15852. a=BH=7m，b=BG=13m。3. 图中红色区域内为视角范围。绿色线为摄像机的中轴线。4. 展出开始时为起始时刻 t=0, 。 =605. t时刻，B 设像头视野内的展壁宽度分别为 x、y，即图中蓝色区域所示。6. 摄像机的角速度为 。=6020=320=60/7. B摄像机从 t=0时刻到 t=10s检测到的展画的数量为 n。8. t时刻 B摄像机视角
4、内前展墙的监测宽度为 dx ，后展墙的监测宽度为dy。9. 0-10s，B 摄像机检测到的前后墙的宽度总和为 s。10. 0-10s，B 摄像机检测到的展画的数量为 n。11. 一个周期内，A、B 两个摄像机总共监测到的展画总数为 N。12.单位时间内观测室工作人员观察平均每幅水彩画的时间为 H。数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价五、 模型的建立：问题分析：一个保安系统的安全性好坏直接体现在其保护的东西被损坏或者被偷的可能性大小。而对于题目该保安系统的安全性，体现在检测室的工作人员没有观察到展出的水彩画的情况。为了量化保安系统的安全性，可用单位时间内观测室工作人员观察平均每幅水彩画的时间量
5、化，其理论值在0,1。摄像机是周期性转动的，则分析一个周期的情况即可得知整个展出时间内的展画的安全情况。由于摄像机转动周期为 20秒,而一个周期内摄像机转动一个来回，来回内检测到的展画的情况是一样的，又检测室工作人员看传回画面的时间是随机的，则可以先计算出半个周期内总的被观测室工作人员观察到的水彩画的数量和时间。然后求出单位时间内观测室工作人员观察平均每幅水彩画的时间。又摄像机 A、B 的位置情况是一样的，所以可只考虑摄像机 B，然后通过 B即可得出 A的情况。模型建立：问题一：数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价010时 =1112-根据摄像机视角内墙后展壁的出现情况，可以将 0-10s分
6、为以下几个阶段：摄像机从开始转动 t=0=0摄像机转动到视角内没有左侧墙时 t=120+=tan(2-1)摄像机转动到视角内出现后展墙 =220=tan(3-2)摄像机转动到视角内没有前展墙 =320=tan(2-3)摄像机转动到出现右侧墙 =4=1001:=20+tan(3-)=012:=sin(+6)sin=023:=tan(2-)-=20tan(3-)数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价34:=0=tan(2-)-tan(3-)0-10s，B 摄像机检测到的前后墙的宽度总和:=10+21+32+32+430-10s，B 摄像机检测到的展画的数量:=2一个周期内，A、B 两个摄像机总共监测到的展画总数:=22展壁内展出的水彩画的总数：=20222=40单位时间内观测室工作人员观察平均每幅水彩画的时间:=50%六、 模型求解：利用模型的公式直接求解即可。七、 模型评价：模型亮点：模型比较简洁明了，将实际展馆的情况画图分析，利用微分方程建立模型，将连续性变话过程数学模型化。评价结果直接利用数据说话，即减小了误差，又增大了保安系统安全评价的可量化性。模型不足：数学建模培训暑假作业 A.保安系统评价考虑的情况比较简单，不够周全。如小偷在偷了水彩画出展厅的途中可能会被监测室的工作人员从摄像机观察到等。八、 参考文献：1谭永基，蔡志杰，数学模型（第二版）复旦大学出版社九、 附录：
