1、第二部分 集合论,2,5.3 等价关系与集合的划分,3,定义5.3.4 设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系(equivalent relation)。设R是一个等价关系，若R，称x等价于y，记做x y。 举例 (1)平面上三角形集合中，三角形的相似关系。(2)人群中的同性关系。,4,例5.3.2,例5.3.2 设A1,2,8，如下定义A上的关系R： R|x，yAxy(mod 3) 其中xy(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。不难验证R为A上的等价关系，因为xA，有xx(mod 3)x,yA，若xy(mod 3)，则
2、有yx(mod 3)x,y,zA，若xy(mod 3)，yz(mod 3)，则有xz(mod 3),5,等价类,定义5.3.5 设R为非空集合A上的等价关系，xA，令 xR=y|yAxRy 称xR为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为x或 x 。,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。 例5.3.2中的等价类是：1471,4,72582,5,8363,6,6,等价类的性质,定理5.3.3 设R是非空集合A上的等价关系，则 （1）xA，x是A的非空子集。 （2）x,yA，如果xRy，则xy。 （3）x,yA，如果R，则x与y不交。 （4）x|xAA。,7,商集,定义5.3.6 设R
3、为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集(quotient set)，记做A/R，即A/R=xR|xA 例5.3.2中的商集为1,4,7,2,5,8,3,6 整数集合Z上模n等价关系的商集是nz+i|zZ|i=0,1,n-1,8,商集与划分,商集就是A的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。 反之，任给A的一个划分，如下定义A上的关系R：R=|x,yAx与y在的同一划分块中则不难证明R为A上的等价关系，且该等价关系所确定的商集就是。 由此可见，A上的等价关系与A的划分是一一对应的。,9,例5.3.3,例5.3.3 给出A1,2,3上所有的等价关系,这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是： 1对应于全域关系EA， 5的对应于恒等关系IA， 2，3和4分别对应于等价关系R2，R3和R4。 其中 R2=,IA R3=,IA R4=,IA,
