1、由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化许丽丽 江泽福建师范大学数学与计算机科学学院 福建师范大学附属中学几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型.二者的共同点就是每个基本事件发生的概率都是等可能的;然而前者的基本事件个数只有有限个,后者却是无限的.正是由于几何概型的基本事件有无限多个,人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化,意在建构较简单的基本事件,以期简化概率计算过程.不可否认,有些正确的转化必然达到“事半功倍 “的效果; 然而,有些看似“等价 “的转化,最终却得到了不同的答案,使人们产生困惑.本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析,总结出几何概型的转化应注意的若干问题
2、.贝特朗问题:在单位圆的圆周上 ,任意选取两点 、 ,连结成弦.记事件 为弦长MNA,求事件 发生的概率.31. 由原始条件出发,通法求解解法一:该圆的周长为 2 .在圆上任取一点,规定它的位置是 0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在 内相应增长.设0,), 在圆周上的位置分别是 ,则MNxy.又如图 1 所示, 当,02)xy3MN且仅当 .433xy如图 2,用 表示每次实验的结果,则所()xy有基本事件构成正方形区域,其中阴影部分为事件 构成的区域,符合几何概型条件,故A22413P() .3S阴正评注:解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件,从而以面积作为测度,应用几何概型理论得出
3、答案.此法是从题目中的原始条件出发,没有进行等价转化,不易出错,算作一种通法.然而用通法解题往往比较复杂,况且本题中还涉及到两个变元,计算过程显得不够简便.2. 适当进行等价转化,化繁为简解法二:由于圆是具有高度对称性的图形,可认为圆内等长的弦有且只有一条.于是不失一般性,假设 点就在图 1 所示位置,M问题就转化为另一点 在半圆周上随机选N取时,弦长 的概率. 那么,基本事件3构成的区域为半圆周,事件 构成的区域为A从 到 的劣弧长.根据几何概型原理得,1P.3)(A解法三:与解法二思想一致,认为圆内等长的弦只有一条,进一步地,等长弦所对的圆心角也是相等的.同时注意到,固定点 在M图 1 位
4、置,点 在自 到 的半圆周上均NP匀地运动时,圆心角 也均匀地从 0O增加到 .因此,我们可以把问题转化为图 1中,过圆心 ,在直径 的右侧任意做射线交圆周于点 ,求 超过 的O32概率.此时,基本事件构成的区域为 ,而0事件 构成的区域为 ,故A(.312)(P评注:解法二和解法三是通过合理的等价转化,分别将在半圆周上选取一点和过点在 内任意做射线 视为等可OMON能事件,使得两个变元的问题变成了一个变元的问题,大大简化了概率计算.3. 转化不慎,陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们,有些转化却得到了错误的答案.问题究竟出现在哪里呢?下文中我们就两种错解的原因给予分析. 忽视等可能性的保持解法
5、四:视圆上等长的弦为唯一的 .不妨假设长度不同的弦的中点都分布在单位圆的某条半径 上,如图 3 所示.OP其中 为 的中点,故弦 在 位QOPMN1置时,长度刚好为 .而此时每条弦的弦长3与该弦中点所处的位置是相互决定的.因此,问题就转化为弦 的中点在半径 上MNOP随机选取时,中点处于线段 上的概率.从Q而求得.1()2PA辨析:此种解法,在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点.此时,二者确实是一一对应的.然而,解题过程却忽视了另一个考虑要素:当弦的两个端点 分别在从 到 和NM,2P从 到 的劣弧上等可能地选取时,弦的2P中点并不会相应等可能地落在半径 上.
6、O事实上,如果 在图 3 所示位置,不妨设,则 到 的劣弧长即为 ,ON22而 ,二者并不成sinsinE正比.因此,此类错误转化的特点是:虽然保证了研究对象的一一对应,但是忽视了等可能性的保持,所以转化是不等价的.我们再举两个类似的例子.例 1 如图 4, 是一个等腰直角三ACB角形.过顶点 ,在直角 的内部任意引射线 交斜边 于点 ,求PP的概率.A错解: 内部的任一射线与射线在ACB边的交点是一一对应的.如图 4 中,当交点 点处于 位置时 ,故问题可PDP转化为点 在 边上随机选取时,的概率.于是所求概率为 .ACP2辨析:由题意,射线 在 内部PACB等可能地选取,而此时对应的交点
7、并不会在 边上等可能地分布.因此,所犯错误与B贝特朗问题的解法四相似.正确的做法应是采用角度作为测度. ,故24AD83所求概率为 .43例 2 如图 5, 是一个直角三角形,BC.现以 A 为圆心,2 为半径做圆弧 ,且 平行于 , .在弧DGE3上随机地取点 ,连结 ,问直线P与 相交的概率是多少?A错解:在弧 上取点与 连结成直线DGA的效果和在线段 上取点与 连结成直BC线的效果是一样.那么,问题可以转化为在线段 上任意取点,与 连结所成的直线与相交的概率.因为 ,因E,3E此结果就为 .31辨析:所犯错误与上例一样,转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解法应该采用弧长或角度作为测度,
8、答案为 .21 忽视研究对象转化的等价解法五:以圆内任一点为中点,可以确定一条弦 .要使弦长 ,只需该弦的中3MN点落在图 6 中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦 ,使得MN的概率. 3N通过计算可知, 当 ,即位于图 6 中3MN位置时,中点 到 的距离为 ,于是DEBO21.2P()14A辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象.我们看到,圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦.但是,以圆心为中点的弦,即直径,却有无数条.当然相应地,也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不等价的.以下例 3 的解法也是步入了这个误区.例 3 甲,乙,丙三人玩游戏,游戏
9、规则为:在不远处有一小方块,要将一枚铜板扔到这张方块上,已知铜板的直径是方块边长的 ,43谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下一轮.现在甲一扔,铜板落在小方块上,且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大? 错解:记“甲能晋级下一轮 “这个事件为,假设小方块的边长为 1.过铜板中心 向CO最近的小方块的边做垂线 ,设 .Bd依题意得,甲已将铜板扔到了小方块上,故.而要使铜板完整地落入方块 ,如210d图 7,应使 .因此,38.1P()42C辨析: 由已知,铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处.上面解法中,将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离.如图 7, 为小方块的
10、中心.A我们知道,当 时,铜板的中心位于以OBd为中心 , 为边长的正方形的边上 ,A12随着 从 0 增大到 ,铜板中心分布的区域长度也呈线性的递减.所以,该转化显然是不合理的.本题正确的思路应该是,如图 8,当铜板中心位于图中阴影的正方形时,甲能晋级下一轮.而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的,属于几何概型,故.214P()6C综上,在进行几何概型的概率计算时,要明确原始条件,必要时在遵循研究对象合理替换、保持等可能性的原则下,进行等价转化,实现解题过程的简化,优化.参考文献:1 普通高中课程标准实验教科书数学3(必修)M.北京:人民教育出版社,2007.2 三维设计 2010 新课标高考总复习.数学理科(人教 A 版)M.北京:光明日报出版社,2009.3 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程M.北京:高等教育出版社,1983.4 徐明. “几何概型 “教学释疑 兼谈“贝特朗悖论“ J. 数学通讯,2009(6)( 下半月).
