初高中数学衔接教材(人教版).doc

1、1初高中数学衔接教材1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离baab1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则 c_.ba1212选择题：下列叙述正确的是（ ）（A）若 ，则 （ B）若 ，则 （C）若 ，则 （D）若 ，则aabab2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 2()bb22(

2、)我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23)aa（2）立方差公式 ；2()（3）三数和平方公式 ；()bcbcbca（4）两数和立方公式 ；33（5）两数差立方公式 22()aa对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： （2）2(1)1)xxx )164)(2(2aa例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abcabc例 3 计算：（1） （2）)16)(m )410251)( 2nmn1填空：（1） （ ） ； （2） ；21()943aba(42)164()（3） 22()(cc )2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于（ ） （A） （

3、B） （C） （D）2xmkk2m24213m6（2）不论 ， 为何实数， 的值（ ）ab248ab（A）总是正数 （ B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数3二次根式2一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例(0)a如 ， 等是无理式，而 ， ， 等是有理式23ab2b21x22xya1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，

4、等等 一般地， 与 ，23a362323ax与 ， 与 互为有理化因式axbyxbyxba分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二(0,)a次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义22a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） 1b2(0)ab

5、64(0)xy例 2 计算： 3()例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .2106426例 4 化简： 204205(3)(3)例 5 化简：（1） ； （2） 94521(01)xx例 6 化简下列各式：(1) (2) 22(3)(31)22(1)() (1)xx例 7 已知 ，求 的值 22,33xy2253xy31填空：（1） _ _；（2）若 ，则 的取值范围是_ _ 13 2(5)3()5xxx_；（3） _；（4）若 ，则 _ 42659215011xx_分式1分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，分式 具有下列性质：A

6、0BAAB； 上述性质被称为分式的基本性质MA例 1 若 ，求常数 的值54(2)xBx,例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；（2）计算： ；1()1n 112390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 134()n例 3 设 ，且 e1，2c 25ac 2a 20，求 e 的值a1填空题：对任意的正整数 n， ( )；(2)12n2选择题：若 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D）23xyx 54655、 分解因式因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基

7、本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) 外，还有公式法(立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等等十字相乘法（借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法）必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解41 型的因式分解。这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：2()xpqx(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22() ()()()pxqxpqxpxq因此， ()xpq运用这个公式

8、，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式【例 1】把下列各式因式分解：(1) (2) 276x236x【例 2】把下列各式因式分解：(1) (2) 54x215x【例】把下列各式因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx2一般二次三项式 型的因式分解2axbc【例】把下列各式因式分解：(1) (2) 21522568xy2提取公因式法与分组分解法例 分解因式：（1） ； （2） 329xx22456xyxy1选择题：多项式 的一个因式为（ ）2215xy（A） （B） （C） （D）533xy5xy2分解因式：（1）x 26x8； （2） （3） （1）5x 23x-2

9、 ； 24x5（4） （5）x 24x12； （6） ； (1)(2)xy 22()xaby（7） （8）8a 3b 3； （9） 85326、 一元二次方程-根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc 0（a0） ，用配方法可以将其变形为 24()bax因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 ；c（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x 2 ；ba（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 一定大于或等于零，因此，原方2()bxa程没有实数

10、根由此可知，一元二次方程 ax2bxc 0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc 0（a0 ）的根的判别式，通常用符号 “”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 ；2ac（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根 x1x 2 ；b（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x 23x30； （2）x 2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x 22xa07、

11、一元二次方程-根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc 0（a0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x 2 ，x 1x2 这一关系也被称为韦达定bac理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知 x1x 2p，x 1x2q， 即 p(x 1x 2)，qx 1x2，例：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求 x1 x2 ， x1 x2， 的值； （2）求 ， | x1x 2| 的值； （3）求 的值

12、21x6设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则， ，224bacx| x 1x 2| 244bbcca|于是有下面的结论：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则| x1x 2| （其中 b 24ac） |今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 2 若关于 x 的一元二次方程 x2x a40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x70

13、的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 07其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1 个（B）2 个 （C）3 个（D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25x a 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x 40 的两根为 ，则 2 2 （3）已知关于 x 的方程 x2ax 3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4

14、）方程 2x22x 10 的两根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数8、二次函数 yax 2bxc 的图像和性质通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数 ya( xh) 2k 与 yax

15、 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1) 21 与 y2x 2 的图象（如图22 所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x 1) 21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y 3( x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系xyO1y2x 2y2(x1) 2y2(x1) 21yx 2y2x 2xOy7通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya(

16、 xh )2k( a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移 ”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bx c(a0)的图象的方法：由于 yax 2bx ca(x 2 )c a( x2 )cbb42b，4()b所以，yax 2bx c(a0)的图象可以看作是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax 2bx c(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线

17、24(,)bacx ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，函数2bb2a2ba取最小值 y 24ca（2）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线24(,)bacx ；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，函数bb2a2ba取最大值 y 24ca上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例 1 求二次函数 y 3x26x1 图象的开口方向

18、、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例 3 把二次函数 yx 2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2 的图像，求b，c 的值1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2x 2 （B）y 2x 24x2（C）y 2x 21 （ D）y2x 24x （2）函数 y2( x1) 22 是将函数 y2x 2 （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单

19、位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（1）二次函数 y2x 2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n （2）已知二次函数 yx 2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3( x2) 25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象（1）yx 22x 3； （

20、2）y16 xx 284已知函数 yx 22x 3 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：（1）x2；（ 2）x 2；（3 ）2x1；（4）0x39、 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax 2bxc (a0)；2顶点式：ya( xh )2k (a0)，其中顶点坐标是(h ，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax 2bxc(a0)的图象与 x 轴交点个数当抛物线 yax 2bx c(a0)与

21、 x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线yax 2bxc(a0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线 yax 2bxc(a0) 与 x 轴交点个数与根的判别式 b 24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0) 与 x轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴有

22、一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线yax 2bxc(a0) 与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax 2bxc(a0) 与 x 轴没有交点，则 0 也成立于是，若抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0) ，B(x 2，0) ，则 x1，x 2 是方程 ax2bxc0 的两根，所以x1x 2 ，x 1x2 ，即 (x 1x 2)， x 1x2 所以，yax 2bxca( )bacbca bxa= ax2( x1x 2)xx 1x2 a( xx 1) (xx 2) 由上

23、面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 yax 2bxc (a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(x x1) (xx 2) (a0)这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya( xx 1) (xx 2) (a0)，其中 x1，x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的解析式例 2 已知二次函数的图象过点(

24、3，0) ，(1，0) ，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式91选择题:（1）函数 yx 2x 1 图象与 x 轴的交点个数是（ ） （A ）0 个（B ）1 个 （C）2 个 （D）无法确定（2）函数 y (x1) 22 的顶点坐标是（ ） （A）(1，2) （B ）(1 ，2) （C）(1，2)（D ）(1， 2)122填空：（1）已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(1，0) 和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为 ya (a0) （2）二次函数 yx 2+2 x1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 33根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2

25、)，(0，3) ，(1，6)； （2）当 x3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11) ；（3）函数图象与 x 轴交于两点(1 ，0)和(1 ，0)，并与 y 轴交于(0，2)2 210、 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例 1 求把二次函数 yx 24x 3 的图象经过下列平移变换后得

26、到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；（2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位2对称变换问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例 2 求把二次函数 y 2x24x1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x1；（2）

27、直线 y111 相似形我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例 4 的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.xyOx1A(1,1)101如图 3.1-6， ，下列比例式正确的是（ ）123/lA B C D.DCEF=AF=EADB=FBEC=2如图 3.1-7， 求 ./,/,5,cm3,2,cm3如图，在 中，AD 是角

28、BAC 的平分线，AB=5cm,AC=4cm, BC=7cm,求 BD 的长.ABCV4如图，在 中， 的外角平分线 交 的延长线于点 ，ADBCD求证： .DAC=5如图，在 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使 BD=CE，DE 延长BV线交 BC 的延长线于 F.求证： .AB=3.12相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例 6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中， 为直角， 于 D.BACBCD求证：（1） ， ；（2）2ABD=2=2=我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形

29、的运算很有用. 1如图 3.1-15，D 是 的边 AB 上的一点，过 D 点作 DE/BC 交 AC 于 E.已知 AD：DB=2：3，则CV等于（ ）A B C D:AEBCESV四 边 形 2:34:94:54:212若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_.3:3已知： 的三边长分别是 3，4，5，与其相似的 的最大边长是 15，求AV的面积 .ABCABCSV图 3.1-61112、三角形的“四心”外心 过不共线的三点 A、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆，圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心

30、到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.内心 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.垂心 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图 3.2-8）重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.13 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上 .在直角三角形 ABC 中， 为直角，垂心为直角顶点 A， 外心 O 为斜边ABC 的中点，内心 I 在三角形的内部，且内切圆的半径为 2bca+-（其中 分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长） ，为什么？,abc该直角三角形的三边长满足勾股定理： .22ACB=正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.