1、-_第一章 离散时间信号与系统2.任意序列 x(n)与 (n)线性卷积都等于序列本身 x(n)，与 (n-n0)卷积 x(n- n0),所以（1）结果为 h(n) (3)结果 h(n-2)（2）列表法x(m)()hmn1 1 1 0 0 0 0 y(n)0 1 11 1 1 22 1 1 1 33 1 1 1 1 34 0 1 1 1 1 25 0 0 1 1 1 1 1（4） 3 .已知 ，通过直接计算卷积和的办法，试确10,)1()( anuah定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期： )6()( )n31si()(
2、87conjexcAnxba分析：序列为 或 时，不一定是周期序列，)co()(0)si(0Anmmmnnyn 23125.0)( 0 1当34 nmnmmnnyn 225.0)( 1 当 anynnhxnyauahmn1)(1)(*10,)1()(:时当 时当解-_当 整数，则周期为 ；0/20/2 ；为为 互 素 的 整 数 ） 则 周 期、（ 有 理 数当 , QQP当 无理数 ，则 不是周期序列。0/)(nx解：（1） ，周期为 14142/3（2） ，周期为 606/（2） ，不是周期的0/127.（1）121212()()()()()()()()()()Txngxnabgaxnbg
3、naxgnbxT所以是线性的Tx(n-m)=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m)两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和 x 括号内相等，所以是因果的。 （x 括号内表达式满足小于等于 y 括号内表达式，系统是因果的）y(n)=g(n)x(n)=0 时系统是因果的，稳定（5）线性，移变，因果，非稳定（7）线性，移不变，非因果，稳定（8）线性，移变，非因果，稳定8.-_不 稳 定 。是 因 果 的 。时当解 ： ,10|)(| ,)( ,)1( 2nhn稳 定 。 ！是 因 果 的 。时 ，当381421*210|)(| ,)()2(nhn不 稳 定 。
4、是 因 果 的 。时 ，当 2103|)(| ,)()3(nhn稳 定 。是 非 因 果 的 。时 ，当 233|)(| ,)()4( 210nhn系 统 是 稳 定 的 。系 统 是 因 果 的 。时 ，当 7103.03.0|)(| ,)( )5( 21nhn系 统 不 稳 定 。系 统 是 非 因 果 的 。时 ，当213.0.|)(|)( )6(nhn系 统 稳 定 。系 统 是 非 因 果 的 。时 ，当 1|)(| 0)( 7nhnh-_第二章 Z 变换1 求以下序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。（7）分析：Z 变换定义 ，n 的取值是 的有值范围。nzxzXx)()( )
5、(nxZ 变换的收敛域是满足 的 z 值范围。Mznn)(解：(1) 由 Z 变换的定义可知：zaza,0 1, 1 , 零 点 为 ：极 点 为 ： 即 ：且收 敛 域 ：解：(2) 由 z 变换的定义可知： nnnzuX)(21)(nnzazX)( nnzaz01n01)(1)1)(22azazz)(21)(nux)(21)(2nux)1(2)(3nunx ,4为 常 数 ）00(,si51,)co()(6 rnuArxn|a-_0)21(nnz1z21 2 zz即 ：收 敛 域 ：0 1 z零 点 为 ：极 点 为 ：解:（3 ） nnnzuzX)1()2)( 1)2(nz1nzz2z2
6、1 z即 ：收 敛 域 ：0 z零 点 为 ：极 点 为 ：解： (4) 1)(nzzX，11)()(nnzdz 21)(zzn|)(2)(nunx)(,1)4(x-_。的 收 敛 域 为故 的 收 敛 域 相 同 ，的 收 敛 域 和因 为 1|)()(lnl(n)(zzXdXzzz ,0零 点 为 ：极 点 为 ：解：(5) 设 )(sin)(0uy则有 1|cos21in20zzzyzYnn ，而 )()(x zYdzX 1|,)cos21(in202zz因此，收敛域为 ： zzejj ,0,1, 0零 点 为 ： （ 极 点 为 二 阶 ）极 点 为 ： 解：(6) 1 ,cos21)
7、( cos2insincss)( )()(o(c ii)(s)201 201000 zzz zzzzY uunny设 。：的 收 敛 域 为则 而的 收 敛 域 为则 | )( cos21)()() )( 201rzzXzrArYnyAxz （7）Zu(n)=z/z-1为 常 数 ）0i5x1)(co()(6rnuArxn-_Znu(n)= 2-z1()dz223Znu()=()z零点为 z=0,j,极点为 z=11 12 123., ()2 (1), z (2) , z4441 1 (3), z (4) , z81 535XzXzzaXzaz 用 长 除 法 留 数 定 理 部 分 分 式
8、法 求 以 下 的 反 变 换分析：长除法：对右边序列（包括因果序列） H（z）的分子、分母都要按z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列） H（z）的分子、分母都要按 z 的升幂排列。部分分式法：若 X（ z）用 z 的正幂表示，则按 X(z)/z 写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求 z 反变换可得x（ n） 。留数定理法： 。号 （ 负 号 ）”数 时 要 取 “用 围 线 外 极 点 留，号 （ 负 号 ）必 取用 围 线 内 极 点 留 数 时 不）（ 。现 的 错 误 这 是 常 出，相 抵 消）（来 和不 能 用，消 的 形 式 才 能 相 抵的 表 达 式
9、 中 也 要 化 成因 而注 意 留 数 表 示 是）（ 2 )1/( )/(1 ) ()( Re1 1 kk kn knnzzzX zXzXs（1） （i）长除法： 1214)(zzX,2/|,/1而 收 敛 域 为 ：极 点 为按 降 幂 排 列 分 母 要为 因 果 序 列 ， 所 以 分 子因 而 知 )(nx2142z11z-_214z021 42)(nnzzX所以： )(21)(uxn（1）(ii)留数定理法：, 设 c 为cndzjn12)(内的逆时针方向闭合曲线：2z当 时，0n在 c 内有nzz211一个单极点2则 0 ,21Re)( nzsnxn，是 因 果 序 列由 于
10、)(nx0 0 时 ，故)(21)( nunx所 以（1）(iii)部分分式法：2114)(2zzX-_因为 21z所以 )()(nunx（2）(i). 长除法：,41,41zz而 收 敛 域 为由 于 极 点 为因而 是左边序列,所以要按 的)(nx升幂排列：218zz241287z321z12478 8)(nnzzzX所以 )1()()( ux（2）(ii)留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线41 )( 1)(1，为设 zcdzXjnxcn时 ：当 0 在 c 外有一个单极点 1)(nz 41z-_)0( ,)41(7 Re41nzXsnxn时 ：当 0 n在 c 内有一个单极点1)(zXz
11、 0,8)(Re01nzXsxzn，内 无 极 点在时 ：当 0 cn,)(x则 ：综上所述，有： )1()47(8)nun(2)(iii). 部分分式法：478)(2zzX则 1417)因为 则 是左边序列z)(nx所以 )1(78)(u(3)(i). 长除法：因为极点为 ，由 可知, 为az1z)(nx因果序列, 因而要按 的降幂排列:221)()(zazaz11)()1(zaa-_221)()(zaza则 1)()(nnzaazX所以 )1()()1)( uaanxn(3)(ii). 留数定理法: azdzXjnxcn c )(21)(1为， 设内的逆时针方向闭合曲线。)1()1()1)
12、( 0 )(1 )(Re)(Re)0(, c)( )0,1( )(Re)( 1 0 0111 nuanaxxaazXszXsxzznnazaXsnxzcz nnnn所 以。此 时 是 因 果 序 列 ，时 ： 由 于当 两 个 单 极 点 内 有在时 ：当 一 个 单 极 点内 有在时 ：当(3)(iii). 部分分式法：zzzX1)1()2-_则 1)()(zaazX所以 )()()() nunanx)1()1()1a(4) ()411)(3535zXABzzA=5/8, B=3/85()18351()()()8nnzXxuu5对因果序列,初值定理是 ,如果序列为 时 ,问相应的)(lim0
13、(zXx0n)(x定理是什么? 讨论一个序列 x(n)，其 z 变换为：() (0)Xz x的 收 敛 域 包 括 单 位 圆 ， 试 求 其 值 。分析：这道题讨论如何由双边序列 Z 变换 来求序列初值 ，把序列分成因果序列zX)(x和反因果序列两部分，它们各自由 求 表达式是不同的，将它们各自的)(0x相加即得所求。)0(x)0(lim21)0( :,0)(,0xzXzxnzz 所 以 此 时 有 ： 有时当 序 列 满 足解 ：若序列 的 Z 变换为：)(n 215497z-_21, )( )()(32 421(4975197)(1221zzXzXzzzzX的 极 点 为 ）（）（由题意
14、可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 ,则其收敛域应该为： 21z31)0()0( 2lim)(li)( 040 )( 212201121xxzzXzxnzz ）（ ）（为 因 果 序 列 ：时 为 有 值 左 边 序 列 ，为则6.有一信号 ，它与另两个信号 和 的关系是: ny)(1nx2，其中 ，()()(21y )(1)(1nu，已知 ， ，利用 z 变换性质求32nux1)aznuaZazy(n)的 z 变换 Y(z)。 解：-_)z3(21-)z31(2- )n(x3 13 )()1( 1 31)()( 2 23 31)()( 1)()( 55132122122 331 2211 zz
15、Z)(nxY(z)*yzzzXnx zzzXnx zXnxZZZ ZZ所 以而8. 若 是因果稳定序列，求证：)(,21nx )(21)(212 2deXdeXdeX jjjj分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 nxnjjj)()(*2121，而 )()(2 0)0)( 21deXxx jj再利用 的傅里叶反变换，代入 n = 0 即可得所需结果。)(21n、证明: deXeYzzxnynjjjjjj )()(21 )()( 212则设)(21nxynj-_)0( |)( 2121002xknxdeXnkjj deXnxnjj)(2)( 21 j011exj)(2)(2)(21)(21
16、22deXdeXjjjj10. 分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式 。 )()(21 22nj xdex解： 4 )0(2)( ) 6)( 00xdeXdeXbxnxajj njj由帕塞瓦尔公式可得：)(cnxdeXj 22)() 8 )(dnjje)()( nnjj xjeX)()(-_即 deXnxjDTFj)()(由帕塞瓦尔公式可得： 316)490256909(2)(|)(|2)( 2nnxxjdeXj13. 研究一个输入为 和输出为 的时域线性离散移不变系统，已知它)(nx(ny满足 并已知系统是稳定的。试求其单位抽)130)( xyny样响应。分析：在 Z 变换
17、域中求出 ，然后和题 12（c）一样分解成部分分式分别()/()HzYXz求 Z 反变换。解： 对给定的差分方程两边作 Z 变换，得：1 10()()()3 01()(3)3zYzYXzzHXzz则 ：，31, 21z极 点 为为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为 1/3z3即可求得 )(31)(8)( nununh14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。)()1()(25)1( nxnyny 解 :对题中给定的差分方程的两边作 Z 变 换，得：-_ )()()(25)(1 zXzYzY
18、zYz 因此 )()(zXzHzz251)21)(zz其零点为 0z极点为 ,21212z因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。收敛域情况有：零极点图一：2z零极点图二： 21z零极点图三： 21z注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。(1)按 12 题结果(此处 z1=2, z2=1/2),可知当收敛区域为 ,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应2z为： -_)(1)(22nuzznhn)(3n(2) 同样按 12 题，当收敛区域为 ，则系统是稳定的但是非因果的。21z其单位抽样响应为： )()1(1)( 22 nuzu
19、znhn)()(3n|12z(其中 )12(3) 类似 , 当收敛区域为 时，则统是非稳定的，又是非因果的。z其单位抽样响应为： )1()1(1)( 22 nuznuznh3(其中 )21,1z第三章 离散傅立叶变换1.如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。-_5062650)()()(X : nnkjknexWxk解 kjkjjjj ee 562462322 108114 计算求得: 。 39)5(; 3)4( ;0)3( ; 96 jXjXX 。并 作 图 表 示试 求设 )(,)( . ,.264knxkRnx502650): nkjneWX解kjjk
20、je321。计 算 求 得 ： 3)5( ; 1)4( ;0)3( ;12jXX4 641,3.(),()(2),(),(),0() nxhnRxnhnh 设 令 ， 其 它试 求 与 的 周 期 卷 积 并 作 图 。解：在一个周期内的计算值4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果 N 比序列的点数多，则需补零；如果 N 比序列的点数少，则需将序列按 N 为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位x(-n)5 为周期序列 1,0,2,3,1)()*()mnnxyh-_x(n)6 为周期序列1, 1,3,2,0,0x(-n)6R6(n)为 6 点有限长序列1,0,0,2,3
21、,1x(n)3R3(n)为 3 点有限长序列 3,1,3x(n-3)5R5(n)为 5 点有限长序列3,2,0,1,1x(n)7R7(n)为 7 点有限长序列 1, 1,3,2,0,0,08. 解：（1）x(n)*x(n)= 40()mxnx(m)()xnn1 0 2 1 3 0 0 y(n)0 1 11 0 1 02 2 0 1 43 1 2 0 1 24 3 1 2 0 1 105 0 3 1 2 0 1 46 0 0 3 1 2 0 1 137 0 0 0 3 1 2 0 68 3 1 2 9(2) x(n)x(n)= 4()(50xmnRx(m)5()(xnn1 0 2 1 3 f(n
22、)0 1 3 1 2 0 51 0 1 3 1 2 132 2 0 1 3 1 103 1 2 0 1 3 114 3 1 2 0 1 10(3) (3)x(n)x(n) 与线性卷积结果相同，后面补一个零。10. ， ，求 f(n)=x(n)y(n)。6n4 ,031)(nx 1, 04()56ny-_解： f(n)=x(n)y(n)= )()760nRmyxmx(m)(nyn1 2 3 4 0 0 0 f(n)0 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 01 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 42 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -23 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -104
23、 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -105 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -86 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -4第四章 快速傅立叶变换运 算 需 要 多 少 时 间 。计 算 需 要 多 少 时 间 ， 用 ， 问 直 拉点 的， 用 它 来 计 算每 次 复 加速 度 为 平 均 每 次 复 乘 需如 果 一 台 通 用 计 算 机 的 FT DFTx(n)512s 5 s50.1 解: 解: 直接计算:复乘所需时间:复加所需时间:用 FFT 计算:复乘所需时间:复加所需时间:sNT 0152.log105log10525626 s384. 304.l.l.21 2
24、6262s sT43. 13086.)52(105.)1(105.2 662 sN37. 2 62-_3. 运算量：复数乘法次数（乘1、j 不计算在内，要减去系数为1、j 的，即 ） ，即 8*4-（1+2+4+8）-（1+2+4）=100/4,NW复数加法次数为 64 次第五章 数字滤波器的基本结构-_1.用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数214.06.283)(zzH分析：注意系统函数 H(z)分母的 项的系数应该化简为 1。0分母 的系数取负号，即为反馈链的系数。) ,21( iz解： 21.03.45)(zH)2.03.(415z )()(1zXYabzNnMmn ，3.01a
25、2.， ，5b4.0b2.用级联型结构实现以下系统函数 )8.09)(5.01414)(2zzH试问一共能构成几种级联型网络。分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的） 。解： kkkzAzH21)()8.09.)(5.0(4421z 48.0 ,9.0 ,0, 5.0 1411 2221 -_由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。4用横截型结构实现以下系统函数： 11111 6262)( zzzzH分析：FIR 滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。-_111112 211212345()(6)()()()26 57 ()()(
26、)268058 3Hzzzzzzzzzz解 ：7设某 FIR 数字滤波器的系统函数为： )3531() 42zzzH试画出此滤波器的线性相位结构。分析：FIR 线性相位滤波器满足 ，即对 呈现偶对()nNhn/1(N称或奇对称，因而可简化结构。解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知： )4(51)3( 2)(nnh-_。为 奇 数，处 偶 对 称 ， 对 称 中 心 在即则 )5( 21 )(12 6.053)()2.140 NNnnhh第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法1.用冲激响应不变法将以下 变换为 ，抽样周期为 T)(sHa)(zH。为 任 意 正 整 数 ,
27、)() )2()() )1(02nsAsHbasnaa分析：冲激响应不变法满足 ，)()(ThthanTaT 为抽样间隔。这种变换法必须 先用部分分式展开。sH第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式,1!nStL-_，nantsa SAsHtuAeth )()(!1() 00 可求出 ，kThThkakTta又 ，则可递推求解。dzXx)()(解: ( 1)jbasjbasssHa 112 )()2)( 1)( )()( tueeth tjtjbaa 由冲激响应不变法可得：)( 2 )()( )()( nueeTnhTjbaTjba11012 )()( zezeTznhzHjbTajbTa 21c
28、os zzaTaT(2) 先引用拉氏变换的结论 1!ntL可得： nasAH)()0)!1()0tuethta则-_)()!1()()(0kunTAeTkhksadzXkxauZk)()( ,1 且按)1()(!1 )()( 11000zedznATkhzHTsnkskk可 得 ,32)1(,)100nzeATzHsSns，可 以 递 推 求 得 ：3设有一模拟滤波器 抽样周期 T = 2，试用双1)(2ssHa线性变换法将它转变为数字系统函数 。)(z分析：双线性变换法将模拟系统函数的 S 平面和离散的系统函数的 Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为 。1zcs解：由变换公式 及 可得：1zcsTc2T = 2 时： 1zs1|)()(zsaHz-_1112zz213)(
