1、1,第五章 模糊模式识别,5.1 模糊子集的内积和外积一、内积和外积的定义设 A ,B( X )，其隶属函数为 A(x),B(x) ，则称：,为 A 与 B 的内积；,为 A 与 B 的外积。,例5-1 A1、A2 是实数域 R 上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,( 小中取大，故为交点 C ),( 大中取小，故为 0 ),2,二、有限论域内积和外积定义设 X 是有限论域，且 A ,B( X )，A = ( a1,a2,an ), B = ( b1,b2,bn )，则称：,为 A 与 B 的内积；,为 A 与 B 的外积。,例5-2 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B =
2、 ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ) 则 A B = ( 0.40.1 )( 0.60.7 )( 0.30.5 )( 0.50.2 )= 0.1 0.6 0.3 0.2 = 0.6A B = ( 0.40.1 )( 0.60.7 )( 0.30.5 )( 0.50.2 )= 0.4 0.7 0.5 0.5 = 0.4,三、性质1、( A B )c = Ac Bc ，( A B )c = Ac Bc,2、对任意模糊向量 A 均有 ：A Ac 1/2 ，A Ac 1/2,3,四、模糊向量的笛卡尔积设模糊向量 A = ( a1,a2,an ), B = ( b1,b2,bn )，则称 AB =
3、ATB 为 A 与 B 的笛卡尔积( 是一个模糊矩阵 )。,例5-3 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ),4,五、A B 与 AB 几何意义1、 A B = ABT：表示同一个论域 X 上二个模糊概念 与 的相关程度( 模糊关系 )。A 可看成是由单元素论域 到论域 X 上的模糊关系：,BT 可看成是由论域 X 到单元素论域 到上的模糊关系：,由模糊关系合成定义： ABT 表示由 到 到上的模糊关系：,2、 AB = ATB：表示用两个不同论域 X 与 Y 表现同一个模糊概念 时，X 与 Y (元素)间的转换关系。模糊概念 可看
4、成是单元素论域 ,在论域 X 与 Y 上分别表现为模糊向量 A 与 B：,AT 可看成是由论域 X 到单元素论域 上的模糊关系：,B 可看成是由单元素论域 到论域 Y 上的模糊关系：,由模糊关系合成定义： ATB 表示 X 到 Y 上的模糊关系：,5,例5-4 判断企业经营管理好坏，取五个评判因素构成论域 X = 产值、产量、费用、利润、资金周转。在 X 上有“企业管理好”、“企业管理较好”、“企业管理差”三个模糊概念，分别用模糊向量表示：A = ( 0.7，0.9，0.8，1，0.8 )，B = ( 0.5，0.6，0.5，0.7，0.8 )，C = ( 0.1，0.2，0，0.3，0.4
5、) 。,则： X 上“企业管理好”与“企业管理较好”这两个模糊概念的相关程度是：, X 上“企业管理较好”与“企业管理差”这两个模糊概念相关程度是：,6,例5-5 企业“经济效益好”这个模糊概念，在论域 “利润” 与论域 “费用” 上分别表现为模糊向量： A = ( 0.5，0.9，0.3，0.2 )，B = ( 0.1，0.8，0.4 )，,则： “经济效益好”这个模糊概念，在两个论域 “利润” 与 “费用” 之间的转换关系为：,7,5.2 模糊子集的贴近度一、贴近度的定义设 A ,B( X )，即 A、B 是论域 X 上的二个模糊子集 ，则称：,为 A 与 B 的贴近度。,例5-6 A1、
6、A2 是实数域 R 上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,例5-7 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ) 因为 A B = 0.6 ，A B = 0.4,8,二、贴近度的性质1、( A ,A ) = 1 ，当存在 0、1 隶属度时。,2、( A ,B ) = ( B ,A ) 0,3、 若 A B C ，即 xX ，A(x) B(x) C(x) 则 ( A ,C ) ( B ,C ),9,三、贴近度的其它定义设 X 是有限论域，且 A ,B( X )，A = ( a1,a2,an ), B = ( b1,b2,bn )，,1、,2、
7、,3、,例5-8 设有模糊子集 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ),B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ),、,、,、,10,5.3 最大隶属原则和择近原则一、最大隶属原则设 A1,A2,An( X )， x0X 是论域 X 上的一个确定元素 ，,则认为 x0 相对隶属于模糊子集为 Ai 。说明：是模式识别的直接方法，即模型是模糊的( A1,A2,An 是模糊子集 ) ，而被识别的对象 x0 是确定的，判别 x0 相对隶属于 A1,A2,An 中的哪一个。,例5-9 由五种商品组成论域 U = X1,X2,X3,X4,X5， 定义商品“质量好”的模糊子集为 A = ( 0.
8、81，0.53，1，0，0.24 ) ，“质量差”的模糊子集为 B = ( 0.05，0.21，0，0.86，0.57 )用最大隶属原则判定 A(X1) = Max A(X1), B(X1) ，即 0.81 = Max 0.81, 0.05 知商品 Xl 相对隶属于 A ，即相对隶属于 “质量好” ；同理知商品 X2、X3 相对隶属于 A ，即相对隶属于 “质量好” ；商品 X4、X5 相对隶属于 B ，即相对隶属于 “质量差” 。,11,例5-10 识别三角形：取论域 U = ( A,B,C )| A + B + C = ，ABC0 ，其中A,B,C为三角。 定义以下几个模糊子集，并给出其隶
9、属函数：, 近似等腰三角形 I：, 近似直角三角形 R：, 近似正三角形 E：, 近似直角等腰三角形 IR = IR：, 非典型三角形 O = IcRcEc ：,解：,12,例5-11 取年龄为论域 U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为 Y 与 O ，其隶属函数定义为：,若你的年龄 x = 55 岁，问：这个人相对来说是属于“年轻”还是“年老”?,所以这个人相对来说是属于“年老” 。,13,二、择近原则设 A1,A2,An( X )， B( X ) ，均是论域 X 上的模糊子集 ，,则认为模糊子集 B 相对归于模糊子集为 Ai 。说明：是模式识别的间接方
10、法，即模型是模糊的( A1,A2,An 是模糊子集 ) ，被识别的对象 B 也是模糊的，判别 B 相对归于 A1,A2,An 中的哪一个。,例5-12 论域 X = X1,X2,X3,X4,X5上有三个模糊子集： A1 = ( 0.9，0.1，0.6，0.3 )，A2 = ( 0,0.3,0.4,0.8 )，A3 = ( 0.2，0.7，1，0 )，问：模糊子集 B = ( 0.1，0.6，0.3，0.4 )相对归于哪一个模糊子集 Ai ?解：先计算 B 与 Al、A2、A3 的贴近度：,所以模糊子集 B 相对归于模糊子集 A3 。,14,例5-13 识别小麦：以重量为论域，以“百粒重”特性考
11、察五种优良品种的模糊子集及隶属函数为：,现有一种未知的小麦标本，以“百粒重”为特性的模糊子集为 B ，其隶属函数为：,问：这种小麦品种应属于哪一种类型？解：先计算 B 与 Al、A2、A3 、A4 、A5 的贴近度：,所以这种小麦品种 B 应属于 A1 ，即“早熟” 。,15,5.4 模糊相似选择一、问题的引入论域 X = X1,X2,X3,Xn ，对xi,xjX，通过比较来决定这两个元素的优劣，用 rij0，1来表示 xi 优于 xj 的程度， rij 越大，则 xi 优于 xj 的程度越大：1. 若 rij = 1，则 xi 绝对优于 xj ；2. 若 rij = 0，则 xi 绝对不优于
12、 xj ；3. 若 rij = 0.5，则 xi 和 xj 优越程度相同；4. 若 rij( 0.5 ，1 ) ，则 xi 优于 xj ；5. 若 rij( 0 ，0.5 ) ，则 xi 不优于 xj ；现在的问题是：要在 X 中选择一个相对来说是 X 中最优的元素。二、元素间的优越程度不具有传递性若 xi 优于 xk ，并且 xk 优于 xj ，则不能得出 xi 优于 xj 的结果(因为影响因素很多)。,例5-14 由三种商品组成论域 U = X1,X2,X3 ，由100人组成小组来评判这三种商品，结果如下： 有80人认为商品 x1 优于 x2，20人认为 x2 优于 x1 ，即得优越程度
13、r12=0.8( 0.5,1 )，此时认为商品 x1 优于 x2 ，此时 r21=1- r12=1-0.8=0.2；有70人认为商品 x2 优于 x3，30人认为 x3 优于 x2 ，即得优越程度 r23 =0.7 ( 0.5,1 )，此时认为商品 x2 优于 x3 ，此时 r32=1- r23=1-0.7=0.3 ；有60人认为商品 x3 优于 x1，40人认为 x1 优于 x3 ，即得优越程度 r31 =0.6 ( 0.5,1 )，此时认为商品 x3 优于 x1 ，此时 r13=1- r31=1-0.6=0.4 ；我们得到： x1 优于 x2 ，并且 x2 优于 x3 ，但 x1 并不优于
14、 x3 。,16,三、模糊选择关系设 R( XX )， 即 R 是 XX 上的一个模糊关系 ，若 R 满足下列两个条件： 对xiX，均有 R(xi,xi)=0.5 对xi,xjX，均有 R(xi,xj) + R(xj,xi) = 1则称 R 是 X 上的一个模糊选择关系。特例：对有限论域，则表示 R 的模糊矩形称为模糊选择矩阵，仍记为 R = ( rij )。如上例中的模糊选择矩阵为：,主对角线上元素均为 0.5 ，为运算方便，将R主对角线上元素换成 0，仍记为 R,另外，R 的 截矩阵 R ，表示了在 水平上，论域 X 上各元素的比较关系，称之为 水平选择关系矩阵，如：,分别表现了 X 上的
15、 0.8 与 0.6 水平选择关系。,17,四、论域 X 中的元素相对选优1、确定 X 上模糊选择矩阵 R = ( rij ) ， rij 即为 xi 优越于 xj 的程度。方法(一)：打分法，见上例；方法(二)：距离法。 对 xi 和 xj ，仅用一个因素来表示两者的优越程度：a. 先计算距离 Di=|Xi-X0|，Dj=|Xj-X0|， 其中 X0 是预先选定的一个不变的比较基础。b. 再先计算 xi 优越于 xj 的程度 rij ：, 对 xi 和 xj ，用二个因素来表示两者的优越程度：a. 先计算距离 Di1=|Xi1-X01|，Di2=|Xi2-X02|；Dj1=|Xj1-X01|
16、，Dj2=|Xj2-X02|，其中 X01与 X02 是预先选定的二个不变的比较基础。b. 再先计算 xi 优越于 xj 的程度 rij ：,如有必要，各因素还可赋一定的权重。,18,2、写出模糊选择矩阵 R 的各 水平选择矩阵 R 。3、从 由大至小逐个检查 R ， 若某个 R 中第 i 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则元素 Xi 为论域 X 中相对最优元素。4、划去 R 中第 i 行第 i 列元素，得一新的只有n-1个元素的模糊选择矩阵 R ，重复以上步骤，可得 X 中第二优元素， ，直至将论域 X 中全部元素进行模糊排序为止。,例5-15 由三种商品组成论域 X = X1
17、,X2,X3 ，用模糊选择方法对三种商品进行相对排序。解：第一步：确定 X 上三个元素 X1,X2,X3 之间模糊选择关系矩阵 R ，采用打分法。组成100人的小组来评判这三种商品，结果如下： 有80人认为商品 x1 优于 x2，20人认为 x2 优于 x1 ，即得优越程度 r12=0.8，此时 r21=1- r12=1-0.8=0.2；有70人认为商品 x2 优于 x3，30人认为 x3 优于 x2 ，即得优越程度 r23 =0.7 ，此时 r32=1- r23=1-0.7=0.3 ；有60人认为商品 x3 优于 x1，40人认为 x1 优于 x3 ，即得优越程度 r31 =0.6 ，此时
18、r13=1- r31=1-0.6=0.4 。于是得模糊选择关系矩阵 R,19,第二步：依次取 = 0.8，0.7，0.6，0.4 有,在 R0.4 中，已有第 1 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则商品 X1 为相对最优。,第三步：划去 R 中第 1 行第 1 列元素，得模糊选择矩阵 R,第四步：依次取 = 0.7，0.3 有,在 R0.7 中，已有第 1 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则商品 X2 为相对次优。此时知商品 X3 为相对最差。,从而，三种商品的模糊排序为： X1 X2 X3 。,20,例5-16 在工业产品质量管理中，需考核几种同类产品质量的优劣。
19、设被考核的同类产品有A、B、C三种,分别确定二项指标进行综合考核,这二项指标的比较基础分别是 X01=100，X02 =200，三种产品关于这二项指标的资料如下：,试用模糊选择方法比较这三种产品的质量优劣。,解：第一步：确定论域 X = A，B，C上三个元素之间模糊选择关系矩阵 R ，采用距离法。a. 先计算距离 DA1=|XA1-X01|=|130-100|=30， DA2=|XA2-X02|=|180-200|=20 ；DB1=|XB1-X01|=| 70-100|=30， DB2=|XB2-X02|=|240-200|=40 ；DC1=|XC1-X01|=|110-100|=10， DC
20、2=|XC2-X02|=|220-200|=20 ；b. 再先计算 A，B，C 之间的优越程度 rij ：,21,第二步：依次取 = 0.708，0.625，0.583，0.417，0.375，0.292 有,在 R0.625 中，已有第 3 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则产品 C 为相对最优。,第三步：划去 R 中第 3 行第 3 列元素，得模糊选择矩阵 R,第四步：依次取 = 0.583，0.417 有,在 R0.583 中，已有第 1 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则产品 A 为相对次优。此时知产品 B 为相对最差。,从而，三种产品的模糊排序为： C A
21、 B 。,22,五、论域 X 上的模糊子集相对选优1、模糊子集的距离：设论域 X = X1,X2,Xn，A、B(X) ，其隶属度为 A(Xi), B(Xi)，称,为 A，B 间的绝对线性距离。,为 A，B 间的相对线性距离。,例5-17 设有三个元素的论域 X = X1,X2,X3 ，已知两模糊子集 A = (0.1,0.5,0.3) ， B = (0.7,0.1,0.9) ，则,2、模糊子集的优越程度：设论域 X = X1,X2,Xn，A1,A2,Ak(X) ， 另设样本模糊子集 A0(X)，,则模糊子集 Ai 优于 Aj 的程度 rij 为,23,3、模糊子集选优设论域 X = X1,X2
22、,Xn，A1,A2,Ak(X)，即 A1,A2,Ak是论域 X 上的模糊子集。,、确定 X 上模糊选择矩阵 R = ( rij ) ， rij 即为 Ai 优越于 Aj 的程度。,、写出模糊选择矩阵 R 的各 水平选择矩阵 R 。,、从 由大至小逐个检查 R ， 若某个 R 中第 i 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则 Ai 为论域 X 中相对最优模糊子集 。,、划去 R 中第 i 行第 i 列元素，得一新的只有 n-1个 元素的模糊选择矩阵 R ，重复以上步骤，可得X中第二优模糊子集， ，直至将论域 X 中全部模糊子集进行模糊排序为止。,24,例5-18 设有三个元素的论域 X
23、 = X1,X2,X3 ，已知三个模糊子集 A1 = ( 0.1,0.5,0.4 )， A2 = ( 0.6,0.9,0.4 )，A3 = ( 0.8,0.2,0.4 )试对 A1、A2、A3 进行模糊选择排序。,解：首先设立比较样本模糊子集 A0 = ( 1,0.5,0.8 )第一步：确定论域 X = X1,X2,X3 上三个模糊子集之间模糊选择关系矩阵 R ，采用距离法。a. 先计算距离,b. 再计算 A1，A2，A3 之间的优越程度 rij ：,25,第二步：依次取 = 0.71，0.68，0.54，0.46，0.32，0.29 有,在 R0.68 中，已有第 3 行元素除主对角线上元素
24、以外，其余元素均为 1，则模糊子集 A3 为相对最优。,第三步：划去 R 中第 3 行第 3 列元素，得模糊选择矩阵 R,第四步：依次取 = 0.54，0.46 有,在 R0.54 中，已有第 1 行元素除主对角线上元素以外，其余元素均为 1，则模糊子集 A1 为相对次优。此时知模糊子集 A2 为相对最差。,从而，三个模糊子集的模糊排序为： A3 A1 A2 。,26,习 题 五一、已知模糊子集 A = ( 0.6,0.1,0.9,0.4 ) ，B = ( 0.2,0.8,0.7,0.5 ) 求：A、B的内积、外积、笛卡尔积和贴近度。二、已知模糊子集 A1 = ( 0.8,0.4,0.9,0.1 ) ，A2 = ( 0.4,0.3,0.8,0.6 ) ，A3 = ( 0.1,0.7,0.2,0.8 ) ，问：B = ( 0.3,0.5,0.1,0.4 ) 相对归于哪一个模糊子集。,
