1、1第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于 1800 件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为 25件h，正确率为 98，计时工资为 4 元h；二级检验员标准为：速度为 15 件h，正确率为 95，计时工资 3元h。检验员每错检一件，工厂损失 2 元。现有可供聘请检验人数为：一级 8 人和二级 10 人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = ；二 级 检 验 员一 级 检 验 员21x（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4*x1+ 8
2、*3*x2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x2 ）=40x1+ 36x2 （3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X) = 40x1+ 36x2 XR3s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x20g2(X) =x1 -80g3(X) =x2-100g4(X) = -x1 0g5(X) = -x2 01-2 已知一拉伸弹簧受拉力 ，剪切弹性模量 ，材料重度 ，许用剪切应力 ，许用最大变形量 。欲FGr选择一组设计变量 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 ，TTnDdx2321 3n簧丝直径 ，弹簧中径 。试建立该优化问题的数学模型。0
3、.5d05注：弹簧的应力与变形计算公式如下 322 23 4881,(nss FDFkcddGd 旋 绕 比 ） ，解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = ；nx231（2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f(X) = 3214xr（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X) = XR3321xr2s.t. g1(X) =0.5-x1 0g2(X) =10-x2 0g3(X) =x2-50 0g4(X) =3-x3 0g5(X) = 03128)Fg6(X) = 0412Gx1-3 某厂生产一个容积为 8000 cm3 的平底、
4、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = , hrx 21高底 面 半 径表面积为目标函数，即：minf(X) = x12 + 2 x1 x2 考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：minf(X) = x12 + 2 x1 x2 X=x1,x2TR 2s.t. g1(X) = -x1 0g2(X) = -x2 0h1(X) = 8000 - x12 x2 = 0 1-4 要建造一个容积为 1500 m3 的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为 4 元、6 元和12 元。基于美学
5、的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = ；高宽长321x（2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2 （3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为 1500 m3。即：1500-x1 x2 x3 =02）仓库宽度为高度的两倍。即：x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于 0，即：x1 0, x2 . 0.，则 -x1 0，-x 2 0（4）本问题的最优化设计数学模型：3min
6、 f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 XR3s.t. g1(X) = -x1 0g2(X) = -x2 0g3(X) = -x3 0h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0h2(X) = x2 -2 x3 = 0 1-5 绘出约束条件：； ； 所确定的可行域821x821421x1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：; ; 。3T234T3TX第二章习题答案2-1 请作示意图解释： 的几何意义。(1)()()kkkS2-2 已知两向量 ,求该两向量之间的夹角 。1220,1TTPP 2-3 求四维空间内两点 和 之间的距离。),3()5
7、6(2-4 计算二元函数 在 处，沿方向 的方向导数32116fxxX(0)1TX12TS和沿该点梯度方向的方向导数 。(0)sfX(0)2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为 2211122342min()3)(4),50().TfxgxX求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。()14fX、 、 、(2) 找出图上的无约束最优解 和对应的函数值 ，约束最优解 和 ；12X2()f(3) 若加入一个等式约束条件： 12()0hxX求此时的最优解 ， 。33f解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面 X1OX2 。其中的同心圆是目标函数
8、依次为 f(X)=1、2、3、4 时的四条等4值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即： X1*3，4 T 函数值 f(X1*)= 0 。 而约束最优解应在由约束线 g1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线 g1(X)=0 与某一等值线的一个切点 X2*，可以联立方程： ，解得01521xX2*=2，3 。函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。 加入等式约束条件，则 X3*为可行域上为 h1(X)=0 上与某一条等值线的交点，可以联立方程：，
9、 解得 X3*=5/2，5/2 。0521x函数值 f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。 2-6 试证明在 点处函数 具有极小值。(1,) 52)( 12141 xxf证明：求驻点： ，24311xxf 22)(Xf，0)()(21Xfxf，由 4)(1*xfT， 极 值得 ： 驻 点 2)()(4)( 2112212121 xXfxXfxff ， 0)(XH海 赛 矩 阵 0241121aa，各 阶 主 子 式 ：H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在 点处函数 具有极小值。(,1)(Xf2-7 求函数 的极值点，并判断其极值的性质。2112()30
10、fxx解： ，6)(11xf 422Xf，0)()(21fXf，由 24/9)(4/13* xfxT， 极 值得 ： 极 值 点54)(0)()(6)( 2122121 xXfxfXfxf ， 40)(H海 赛 矩 阵 0466211 aa，各 阶 主 子 式 ：H(X)是正定的，所以， 为凸函数。)(Xf 2/9)(4/3* xfT， 极 值得 ： 极 值 点2-8 试判断函数 的凸性。2112()fx解： ，4)(211xXf 122)(xXf)()()(5)( 2122121 xfxfff ， )(XH海 赛 矩 阵 02505211 aa，各 阶 主 子 式 ：H(X)是正定的，所以，
11、 为凸函数。f2-9 试用向量及矩阵形式表示 并证明它在 上2112()046fxxX12,12ixD是一个凸函数。解： ，2110)(xxXf 1224)(f)()(2)( 22112 xXfff ， )(XH海 赛 矩 阵 02102211 aa，各 阶 主 子 式 ：6H(X)是正定的，所以， 为凸函数。f2-10 现已获得优化问题 2112211234152min()4. 5034()3)()0fxstgxxgXX的一个数值解 ,试判定该解是否上述问题的最优解。1.0,49TX第三章习题答案3-1 函数 ，当初始点分别为 及 时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取983)(xf 0x
12、8.1初始步长 。1.0T解：当 时x（1）取 1.0,.210TA9)()01XfF=0.1 S2)0(203.8)()02 Af比较 ，因 ，所以应作前进搜索。1F、 21步长加倍： .1,.02TT3.821=0.3 SAX)0(681.)(2)022 fF再比较 ，因 ，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的 点。所以：1、 1 1A。.03.21TA(3) 步长加倍： 7.043.,422TA7681.21F=0.7SAX)0(.429)(2)022 f比较 ，因 ，所以还应再向前搜索, 。1F、 1 3.047.21TA(4) 步长加倍： 5.,8.02AT429.1=1.5SAX
13、)0(.1257)(2)022 fF比较 ，因 。已找到具有“高低高”特征的区间1、 1即： 时，3.0A68.)(1F时，72T429时， 。5.3 5.)(3所以， ，单峰区间为：)(21FF。.1,.023ABA当 时8.0x同理可得： 3.0,5.1231 3-2 用黄金分割法求函数 在区间 中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于)(F50.05。解：（1）在初始区间a,b-3，5中取计算点并计算函数值 67.)(;94.1)(68.015300622)2( )(11 faba（2）比较函数值，缩短搜索区间因有 f1f 2，则 536.0)(;94.122)2( fb 9875.
14、0)(;1968011)( fab（3）判断迭代终止条件ba不满足迭代终止条件，比较函数值 f1、f 2 继续缩短区间。将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。8表 黄金分割法的搜索过程区间缩短次数a b (1) (2) f1 f2(原区间) -3 5 0.056 1.944 0.115 7.6671 -3 1.944 -1.111 0.056 -0.987 0.1152 -3 0.056 -1.832 -1.111 -0.306 -0.9873 -1.832 0.056 -1.111 -0.665 -0.987 -0.8884 -1.832 -0.665 -1.386 -1.111 -0.85
15、1 -0.987（5-8）略9 -1.11122 -0.94097 -1.046 -1.006 -0.997867 -0.9999643-3 用二次插值法求函数 的最优解。已知搜区间为 ，选代精度 。3728)(3F 0201.解：采用 Matlab 编程计算得： 0.63-4 函数 ，取初始点为 ，规定沿 点的负梯度方向进行一212124)( xxxfX(0)TX)0(X次一维优化搜索，选代精度: 。65,f(1)用进退法确定一维优化搜索区间；(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收
16、取更快，原因是什么？解：最优点 ,最优值T20*X4)(*Xf二次插值法更快3-5 求 的极小点，选代精度 。要求：2)(1)(F 1.0,.fx(1)从 出发， 为步长确定搜索区间；0.0T(2)用黄金分割法求极值点；(3)用二次插值法求极值点。解：(1) 由已知条件可得， 110,()4F210222.()(.).3.971TF因为 ，应作前进搜索。21步长加倍， ， 012.,3.97TF2 222.()(.)0.3.75F因为 ，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的 点。所以：21 1120.39步长加倍， ， 1220.4,3.75TF2 222.3.()(.)0873F因为 ，所
17、以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的 点。所以：21 1120.7步长加倍， ， 120.8,.873TF2 222.75()(.).50.6F因为 ，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的 点。所以：21 112.5步长加倍， ， 12.6,0.6TF2 222.53()(.)3.14.96F因为 ，所以已找到具有“高低高”特征的区间21即 时， ；0.71().87时， ；252065F时， 。3.3()4.9（2）由（1）确定的搜索区间0.7,3.1，利用 Matlab 进行黄金分割法一维优化搜索得:* 242.08,()2.081)(.08).031f （3）由（1）确定的搜索区间0.7,3.1，利用 Matlab 进行二次插值法一维优化搜索得:* 231.954,().954)(.)7.58f
