1、第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。2.函数 在 点处的梯度为 ，海赛矩阵21112,45fxx024X120为 43.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣， ，同时必须是设计变量的可计算函数 。4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指 依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因
2、此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 。8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 必要条件是该点处的海赛矩阵正0fX定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。10 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11 坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。13目标函数是 n 维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1, 空间中描述出来，为了在 n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函
3、数等值面 的方法。14.数学规划法的迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 1kkkXd计算最佳步长 15 协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解释1凸规划对于约束优化问题 minfX.st0jg(1,23,)jm若 、 都为凸函数，则称此问题为凸规划。fj2可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。3设计空间：n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合4.可靠度 产品在规定的条件，规定的时间内完成规定
4、功能的概率.5收敛性是指某种迭代程序产生的序列 收敛于0,1kX1limkX6.非劣解：是指若有 m 个目标 ，当要求 m-1 个目标函数值不变坏时，,2if找不到一个 X，使得另一个目标函数值 比 ，则将此 为非劣解。ifif7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。8.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。9.维修度 在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间 t 内修复完毕的概率1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或 需要优
5、选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）2、目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或 用设计变量来表达所追求目标的函数）3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或 对设计变量取值限制的附加设计条件）4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：*x1*，x2*，x3*， ， x*T使该设计点的目标函数(x*)为最小，点 x*称为最优点（极小点） 。相应的目标函数值(x*)称为最优值（极小值） 。一个优化问题的最优解包
6、着最优点（极小点）和最优值（极小值） 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解 n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即min f(x)=f(x*) xns.t. u（）0，1,2, ,m ；v（）0，1,2, ,pn称 x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点 x*和最优值 f(x*)即构成了最优解三、简答题1什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？ 1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用
7、来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于 0 的数列。相邻两次迭代的惩在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于 的数列。惩罚因子按下式递增 ，式中 为惩罚因子的递1(,2)krcc增系数，通常取 510c2共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。. 对于二次函数， ,从 点出发，沿 G 的某一共轭方向2TfXGbXck作一维搜索，到达 点，则 点处的搜索方向 应满足 ，kd1k1kjd10Tjkg即终点 与始点 的梯度
8、之差 与 的共轭方向 正交。1kX 1kgkj3为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。略7简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率
9、特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的 值，新点应该满足一定的X条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至 ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。 （5 分）其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长
10、(k)，从而到一个新点，即：X(k+1)x(k)(k)S(k) k=0,1,2,3.式中：x(k)前一步取得的设计方案（迭代点） 。在开始计算时，即为迭代的初始点 x(0)；X(k+1)新的修改设计方案（新的迭代点） ；S(k)第 k 次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向） ；(k)第 k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。计算题1试用牛顿法求 的最优解，设 。初始点为2185fXx01TX，则初始点处的函数值和梯度分别为0TX，沿梯度方向进行一维搜索，有0127640fx010001214XfX为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件0 min 14051402014201
11、8i 2 fff，006596 从而算出一维搜索最佳步长 00.56241则第一次迭代设计点位置和函数值 01.8309X，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最124.5830fX优解。2、试用黄金分割法求函数 的极小点和极小值，设搜索区间20f（迭代一次即可）,0.2,1ab解：显然此时，搜索区间 ，首先插入两点 ，由式,0.2,1ab12和1().681.56202.94ab计算相应插入点的函数值 。2.,02.41ff因为 。所以消去区间 ，得到新的搜索区间 ，12ff1a1,b即 。,0.56,ba第一次迭代：插入点 ， 1.942.0.618(.5)0.81相应插
12、入点的函数值 ，1294,469ff由于 ，故消去所以消去区间 ，得到新的搜索区间 ，12f1,a1,b则形成新的搜索区间 。至此完成第一次迭代，继续重复迭1,694.0,1ba代过程，最终可得到极小点。3用牛顿法求目标函数 +5 的极小点，设 。2165fXx02TX解：由 ，则02T110223640fxf，其逆矩阵为2212022305ffxfXff120350f因此可得： 1102001026435XfXf，从而经过一次迭代即求得极小点 ，15f TXfX4.下表是用黄金分割法求目标函数 的极小值的计算过程，请完成下表。20f迭代序号 a 12b 1y比较 2y0 0.2 11迭代序号
13、 a 12b 1y比较 2y0 0.2 0.5056 0.6944 1 40.0626 29.49621 0.5056 0.6944 0.8111 1 29.4962 25.46905、 求二元函数 f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在 x0=0 0T 处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量 P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模 II II 。求 f(x1,x2)在 点处的梯度方向和数值，计算如下：)(0xf0= = =)(0f021xf0241xII II = =)(0xf21)(ff5)(42P= 51)(0xf在 平面上
14、画出函数等值线和 （0,0）点处的梯度方向 P，如图 2-1 所21x0示。从图中可以看出，在 点函数变化率最大的方向 P 即为等值线的法线方向，也就是同0x心圆的半径方向。6、 用共轭梯度法求二次函数 f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？解： 取初始点 x0 T则 g0= 244)(012xf取 d0=-g0= 沿 d0 方向进行一维搜索，得x1=x0+ d0=00214其中的 为最佳步长，可通过 f（x 1）=0 0)(,min1求得 =04则 x1 = =0021为建立第二个共轭方向 d1，需计算 x1 点处的梯度及系数 值，得g1= f（x 1）
15、=2421x05210g从而求得第二个共轭方向d1=-g1+ d0= 2342再沿 d1 进行一维搜索，得x2=x1+ d1=1123其中的 为最佳步长，通过 f（x 2）=10)(,min12求得 =11则 x2= =11234计算 x2 点处的梯度g2= f（x 2）=04212x说明 x2 点满足极值必要条件，再根据 x2 点的海赛矩阵G(x2)= 是正定的，可知 x2 满足极值充分必要条件。故 x2 为极小点，即 4*而函数极小值为 。8)(*xf7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t. h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解： 该问题的约束最优解为 。8.0)(,2.061*xfxT由图 4-1a 可知，约束最优点 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。用间接解法求解时，可取 =0.8，转换后的新目标函数为2)2(8.0)1()(),( 1221 xxx可以用解析法求 min ，即令 ，得到方程组208.)2(1x6.)(2解此方程组，求得的无约束最优解为： 其结果和原约束最8.0),(.012* xxT优解相同。图 4-1b 表示出最优点 为新目标函数等值线族的中心。图 4-1a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线
