1、第一章,常用逻辑用语,“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.,1.1 命题及其关系,1.1.1命题,下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线ab,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.,特点：都是陈述句,都可以判断真假,命题
2、的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫真命题。,判断为假的语句叫假命题。,结论：,理解：1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？,判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。,7是23的约数吗? x
3、5. -2a3. 画线段AB=CD.,今天天气如何？ 你是不是作业没交？ 这里景色多美啊！ -2不是整数。 43。 x4。,看看下列语句是不是命题？,不是（疑问句） 不是（疑问句） 不是（感叹句）是是不是,例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数，则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; (5) ; (6)x15.,真命题,真命题,假命题,假命题,上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形式.,“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.
4、,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.,记做:,“若p则q”形式的命题,命题“若整数a是素数，则a是奇数。” 具有“若p则q”的形式。,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别, 缺点是太格式化且不灵活.,“若p则q”形式的命题的书写,了解命题表示,明确与判断有关的条件与结论。 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”
5、。 写成“若p则q”的形式为：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。,若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。,解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。,2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱 形，则它的对角线 互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。,例1 指出下列命题中的条件p和结论q.,例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。,若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。,若一个数是3，则这个数能被2整除。,真,假,真,（4） 负数的立
6、方是负数,（5） 对顶角相等,（6） 能被2整除的整数是偶数,（7） 菱形的对角线互相垂直且平分,若一个数是负数，则这个数的立方是负数。,若两个角是对顶角，则这两个角相等。,若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数。,若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。,真,真,真,真,(1) 负数的平方是正数.(2) 正方形的四条边相等.(3) 相切两圆的连心线经过切点.(4) 面积相等的两个三角形全等.(5) 等边三角形的三个内角相等.,真命题 真命题 真命题 假命题 真命题,例2 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假。,例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,(1)垂直于
7、同一条直线的两条直线平行 (2)负数的立方是负数. (3)对顶角相等. (4)面积相等的两个三角形全等.,假命题 真命题 真命题 假命题,练习,1.判断下列命题的真假:(1)能被6整除的整数一定能被3整除;(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形 是正方形;(3)二次函数的图象是一条抛物线;(4)两个内角等于 的三角形是等腰直角三 角形.,2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.,（1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。,(2)若函数是偶
8、函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。,(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。,练习,(1)下面命题中是真命题的是（ ） A.若一个四边形对角线互相平分，则该四边形为正方形。 B. C. D.,C,练习,练习,(2)若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，下面命题中的真命题是（ ）,C,练习,(3)对于函数f(x)=|x+2|,f(x)=(x-2)2,f(x)=cos(x-2),判断以下命题的真假： 命题甲：f(x+2)是偶函数； 命题乙：f(x)在（-，2）上是减函数，在 （2，+）上是增函数。 能使命题甲、乙均为真的函数序号是（ ） A. B. C.
9、 D.,D,练习,(1)将命题“a0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“p则q”的形式，并判断命题的真假。,解答:a0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也随之增加，它是真命题,在本题中，a0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内,练习,(2) 设有两个命题：p：|x|+|x-1|m的解集为R; q：函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数，若两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的取值范围。,练习,解：若命题p为真命题，则m1，若命题q为真命题，则7-3m1,即m2.当p真q假时，当p假q真时，故m取值范围是1m2,小结,(1)如果两个三角形全等,那么它
10、们的面积相等.(2)如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.(3)如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.(4)如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.,四种命题,1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.,2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.,3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.,4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.,讨论、交流,1.如果两个三角形全等，,那么它们全等.,那么它们的面积相等.,2.如果两个三角形的面积相等,条件,结论,条件,结论,相,同,互逆命题,原命题：,逆命题：,(1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.,(3)如果两个三角形
11、不全等,那么它们的面积不相等.,1.如果两个三角形全等，,那么它们的面积相等.,条件,结论,3.如果两个三角形不全等，,那么它们的面积不相等.,条件,结论,条件的否定,结论的否定,互否命题,原命题：,否命题：,(1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.,(4)如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.,1.如果两个三角形全等，那么它们的面积相等.,4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.,条件,结论,结论,条件,否,定,互为逆否命题,原命题：,逆否命题：,、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么我们称这两个命题为互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命
12、题，那么另一个叫做原命题的逆命题。,、互否命题：如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们称这两个命题为互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,、互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们称这两个命题叫做互为逆否命题。,1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.,2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.,3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.,4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,讨论、交流,将命题1抽象成若p则q
13、形式，则命题2、3、4怎样表示?（由特殊到一般）,四种命题的关系图,互为否命题,互为否命题,互为逆命题,互为逆命题,互 为 逆 否 命 题,互 为 逆 否 命 题,例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。,(3)当c0时，若ab 则acbc;,例1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.,逆命题: 若ab=0,则a=0.,否命题:若a0,则ab0.,逆否命题:若ab0,则a0.,真,真,假,假,（1）若a=0,则ab=0,(2) 若a2b2,则ab.,逆命题: 若ab,则a2b2.,否命题:若a2b2,则ab.,逆否命题:若ab,则a2b2.,假,假,假,假,(3)
14、当c0时,若ab,则acbc.,逆命题:当c0时,若acbc,则ab.,否命题:当c0时,若ab,则acbc.,逆否命题:当c0时,若acbc,则ab.,真,真,真,真,（4）四条边相等的四边形是正方形.,改写:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.,逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.,否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它不是正方形.,逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边 不全相等.,假,真,真,假,例2：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。(1) 正弦函数是周期函数;(2)对角线相等的四边形是平行四边形
15、,(1) 正弦函数是周期函数,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,真,假,假,真,若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.,若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.,若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数.,若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.,（2）对角线相等的四边形是平行四边形。,若一个四边形的两条对角线相等，则它是平行四边形。,若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线相等。,若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是平行四边形。,若一个四边形不是平行四边形，则它的两条对角线不相等。,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,假,假,假,假,练习1:写出下
16、列命题的一般形式并写出它的逆命题、否命题和逆否命题： 正方形的四边相等。,逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。,否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不全相等。,逆否命题：如果一个四边形四边不全相等，那么它不是正方形。,原命题： 如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。,练习：若命题s的逆命题是t，命题s的逆否命题是r，则t与r的关系是（ ）A.互为逆命题 B.互为否命题C.互为逆否命题 D.不能确定,练习3:命题“ a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是 :,若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数,练习4:已知a，b，c，d是实数， 若a=b，c=d，则a+c=
17、b+d。,说明：在通常情况下， 复合命题“p或q”否定为“非p且非q”， “p且q”否定为“非p或非q”， “全为”否定为“不全为”， “都为”否定为“不都为”,探究,命题的否定形式与否命题,写出下列各命题的否定形式及命题的否命题，并分别判断它们的真假： （1）面积相等的三角形是全等三角形； （2）有些质数是奇数； （3）所有的方程都不是不等式； （4）末位数字是0或5的整数，能被5整除；,命题的否定形式与否命题的区别：,命题的否定条件不动，将命题的结论否定； 否命题将命题的条件和结论均否定。,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大
18、于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x，成立,1.1. 四种命题间的相互关系,例1 “若x2+y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。,解： 否命题:若x2+y2=0，则x，y都为0； 逆命题：若x，y都为0，则x2+y2=0； 逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y20。,否命题,逆命题,互为 逆否,思考：,四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？,真,真,真,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:,通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现四种命题
19、的真假性间有什么规律吗？,真,真,真,真,真,假,假,假,假,假,假,假,假,真,真,真,（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。,探究一,原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上.,逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.,否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.,逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.,原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真),真,真,真,真,探究二,原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等.,逆命题:若两个三
20、角形的面积相等,则它们全等.,否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等.,逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全等.,原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真),真,真,假,假,探究三,原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角,逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等.,否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.,逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等.,原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假),假,假,真,真,探究四,原命题：凡是素数，都是奇数.,逆命题: 凡是奇数，都是素数.,否命题: 不是素数，就不是奇数.,逆否
21、命题: 不是奇数，就不是素数.,原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假),假,假,假,假,一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：,四种命题的真假性之间的关系：,两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.,例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.,证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0，则x20，所以 x2+y2 0，也就是说x2+y2 0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题,因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命
22、题，来间接证明原命题为真命题。,P8 习题1.1 B组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分，则OP是等腰AOB, COD的底边上的中线，所以，OPAB, OPCD但AB和CD都经过点P,且与OP垂直，这是不可能的，所以假设不成立，故弦AB、CD不被P平分，命题得证。,连结OA,OB,OC,OD及OP,-,反证法,欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。,反证法的步骤
23、： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,证明命题的方法,方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；,方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题逆否命题（若q，则q）为真，则原命题也为真；,方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。,巩固练习 证明：若pq2，则p2q22.,证明一：要证“若pq2，则p2q22”只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立。p2q2=2，则2=p2q2
24、2pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2 逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）,小结,1.四种命题间的相互关系； 2.四种命题的真假性之间的关系； 3.命题的证明方法。,下课，再见！,练习：,要判断句子是否是命题.首先，要看给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立.不能判断真假的语句, 就不能叫命题.,说明1,还有一种语句，如“x2”、“x21=0”等，语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句的真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（条件命题）.开语句不是命题.,说明2,一些常见的结论的否定形式,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,不等于,某个,互 逆,互 逆,互 否,互 否,互为 逆否,互为 逆否,四种命题之间的相互关系,四种命题间的相互关系,
