1、20152016 学年第一学期线性代数期末试卷答案（32 学时必修）专业班级 姓 名 学 号 开课系室 应用数学系 考试日期 2016 年 1月 15日 题 号 一 二 三 四 五 六 七本题满分 15 15 21 16 12 14 7总分本题得分阅卷人注意事项：1请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题） ，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共七道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共 7页。A卷第 1 页 共 7 页说明：试卷中的字母 表示单位矩阵； 表示矩阵 的伴随矩阵；E*A表示矩阵 的秩； 表示可逆矩阵 的逆矩阵.)
2、(AR1一、填空题（请从下面 6个题目中任选 5个小题，每小题 3分；若 6个题目都做，按照前面 5个题目给分）15 阶行列式中，项 前面的符号为【 负 】.451324a2.设 ， 是 的第 4 行元素的代数13524120D)4,32(iAD余子式，则 等于【 0 】.434213设 ， 为 矩阵，且 ，则 【 2 】.0213BA34()2AR()B4若向量组 线性相关，则 【 1 】.123(,0)(1,)(5,)tt5设 是 3阶实的对称矩阵， 是线性方程组 的解， 是A1m0Axm1线性方程组 的解，则常数 【 1 】.0)(xE6设 和 是 3阶方阵， 的 3个特征值分别为 ，若
3、 ，则行列式ABA0,3ABE【 -8 】.|2|1E二、选择题（共 5个小题，每小题 3分） 本题满分 15 分本题得分第 2 页 共 7 页1. 设 为 3 阶矩阵，且 ，则行列式 等于【 A 】.A21|A|2|(A) ； (B) ； (C) ； (D) .212. 矩阵 的逆矩阵为【 A 】 102(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10210102103设 是 阶非零矩阵，满足 ，若 ，则【 A 】 An2AE(A) ； (B) ； (C) 可逆； (D) 满秩.|0|1 A4. 设 ，则 的第 3 行第 1 列的元素为【 33026,0142AB1ABC1D 】 (A)
4、； (B) ； (C) ； (D) .48015设 ， 是使二次型3231212321321),( xaxaxxf 正定的正整数，则必有【 B 】 ,x(A) ； (B) ； (C) ； (D) 以上选项都不对.2=a1=a3=a本题满分 15 分本题得分第 3 页 共 7 页三、求解下列各题(共 3小题，每小题 7分)1. 若 线性无关， ， 线性相关，求 .,2,k3k解：因为 与 线性相关，所以必定存在不全2,k为 零的数 ，使得321， -2分0=3+2）（）（）（ k整理得： 2311 ）（）（由于 线性无关，因此可得,0=3+21k由于 不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此
5、21，由此得 k = 6. -7分0=3k2. 设 ， ，若 ，求 .12A0312aB2)(BARa解：由 可知 ，)(BR=+A由此可得 0E又 -22=1+-A分因此 0=B因此可得 . -75-a分本题满分 21 分本题得分第 4 页 共 7 页3. 设矩阵 ，且 ，求 与 的值2010463,AaBt,AB相 似 at解：由 可知 的特征值相同，,B相 似 ,而易知 的特征值为 -1, t,3，因此 的特征值也为 -1, t,3利用特征值的性质可得-5213(4)ta分解得 . -712at,分四、 （共 2小题，每小题 8分）1求向量组 123401,17240的一个最大无关组，并
6、将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令 , 把 进行行变换，化为行最简形，12341031,724AA-6分123401AC则 是 C的列向量组的一个最大无关组，且 ，421， 42130本题满分 16 分本题得分第 5 页 共 7 页故 是 A的列向量组的一个最大无关组，且 .421， 42130-8分2. 问 满足什么条件，才能使得 共有两个线性无关的特征向量？a21403Aa解：由 ，得 A的特征值：=3012=-EA 3=21，要使 A有两个线性无关的特征向量，则特征值 3对应一个线性无关的特征向量，即 的解空间的维数为 1，则 ， -6)3(x- =)(ER-分而 ，因此可知 .
7、 -8140AEa0a分五、问 为何值时，线性方程组 无解，有无穷多解，132,46x并在有无穷多解时求出其通解解：记方程组的增广矩阵为，则 ，104263B对其进行行变换，化为行阶梯形： ， 102易知，当 时， ，方程组无解；13)(2)(BRAR当 时， ，方程组有无穷多解； -6 分=本题满分 12 分本题 得分第 6 页 共 7 页当 时， ，与原方程组同解的方程组为 ，1=1021B 132x由此可得原方程组的通解为 . -12分12310xkkR六、求实二次型的秩，并求正交3231212321321 844),( xxxxf 变换 ，化二次型为标准形Py=解：记二次型的矩阵为 ,
8、42A0,A故二次型 的秩为 1. -4分f由 ，可得： ，0421EA 0，9321当 求解 的一个基础解系： ，单位化：，910)(xEA 1-,当 求解 的一个基础解系：32-1p，0320Ax，10， 32本题满分 14 分本题 得分第 7 页 共 7 页正交化： ，1542-，01222332 单位化： ， -123514-35，01252pp分令 ，则可得正交变换 ，321pPPyx二次型的标准形为： . -142321321 09),(yf分七、 （请从下面 2个题目中任选 1个，若 2个题目都做，按照第 1 题给分）1. “设 是 阶实的反对称矩阵，则对于任何 维实的列向量 ，
9、Ann和 正交，且 可逆” 您认为该结论成立吗？请说明理由.E-解：该结论成立。由于 为反对称阵，则 ，对于任意 维实的列向量 ，有：AT-=AAATT )(所以 ，即 和 正交； -3分0考虑 ，即 ，等式两边同时左乘 ，得=)xE-（ xTx，由此得： ，即 只有零解，AxT0=0=)EA-（所以 ， 可逆. -7 分0 A-本题满分 7 分本题 得分第 8 页 共 7 页2. 设矩阵 满足 ， ，试求出 的第 2行的元素.A12BE102302AE解：等式 两边同时左乘 得： ，1 AB+=整理得： ，)+2=EBA（已知，由此可求出 , -5B1032分从而可求出 的第 2行的元素为：1，-1, 0. -7 分AE
