1、希望杯第二十三届(2012 年)全国数学邀请赛初一第 1试一、选择题(每小题 4分，共 40分) 1计算： =（ ）1()2(2(A)一 2 (B)-1 (C)6 (D)42北京景山公园中的景山的相对高度(即从北京的地平面到山顶的垂直距离)是 45.7米，海拔高度是 94.2米而北京香山公园中的香炉峰(俗称“鬼见愁”)的海拔高度是 557米则香炉峰的相对高度是( )米(A)508.5 (B)511.3 (C)462.8 (D)605.53If rational numbers a，b，and c satisfy abc，then |ab|+|bc|+|ca|=( )(A)0 (B)2c一 2a
2、 (C)2c一 2b (D)2b一 2a4某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是( )(A)第一次向左拐 40，第二次向右拐 40 (B)第一次向右拐 50，第二次向左拐 130(C)第一次向右拐 70，第二次向左拐 110 (D)第一班向左拐 70，第二次向左拐 1lO5某单位 3月上旬中的 1日至 6日每天用水量的变化情况如图 1所示那么这 6天的平均用水量是( )吨(A)33 (B)32.5 (C)32 (D)316若两位数 是质数，交换数字后得到的两位数 也是质数，则称 为abbaab绝对质数在大于 11的两位数中绝对质数有( )个(
3、A)8 (B)9 (C)10 (D)11 7已知有理数 x满足方程 ，则 =( )201201x4920x(A)一 41 (B)一 49 (C)41 (D)498某研究所全体员工的月平均工资为 5500元，男员工月平均工资为 6500元，女员工月平均工资为 5000元，则该研究所男、女员工人数之比是( )(A)2：3 (B)3：2 (C)1：2 (D)2：l9如图 2，ABC 的面积是 60，AD：DC=1：3，BE：ED=4：l，EF：FC=4：5则BEF 的面积是( )(A)15 (B)16 (C)20 (D)3610从 3枚面值 3元的硬币和 5枚面值 5元的硬币中任意取出 1枚或多于
4、1枚，可以得到n种不同的面值和，则 n的值是( ) (A)8 (B)15 (C)23 (D)26二、A 组填空题（每小题 4分，共 40分）11若 x=0.23是方程 的解，则 m=_12.05mx12如图 3，梯形 ABCD中DAB=CDA=90，AB=5，CD=2，AD=4以梯形各边为边分别向梯形外作四个正方形记梯形 ABCD的面积为S1，四个正方形的面积和为 S2，则 =_.113若有理数 a的绝对值的相反数的平方的倒数等于它的相反数的立方的 ，则321a=_.14. lf a2,1bO, H=ab ,O=a2+b2 ，P=a+b 2, and E=a2-b, then the magn
5、itude relation of the four number H, O, P, and E is_.(英汉小词典:magnitude relation 大小关系 )15某农民在农贸市场卖鸡甲先买了总数的一半又半只然后乙买了剩下的一半又半只最后丙买了剩下的一半又半只 ，恰好买完则该农民一共卖了_只鸡16若(a 一 2b3c4) 2(2a 一 3b4c 一 5)20，则 6a一10b14c3=_17如图 4,在直角梯形纸片 ABCD中，ADBC,ABBC,AB=10,BC=25，AD=15，现以 BD为折痕,将梯形 ABCD折叠，使 AD交 BC于点 E点 A落到点 A1,则CDE 的面积是
6、_18.代数式 5a2十 5b24ab一 32a一 4b十 lO的最小值是_19如图 5，ABC 中, ACB=90，AC=lcmAB=2 cm以 B为中心，将ABC 顺时针旋转，使锝点 A落在边 CB延长线上的 A1点，此时点 C落到点 C1，则在旋转中，边 AC变到 A1C1所扫过的面积为_cm 2(结果保留 )20在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了 10分钟，小轿车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车，此后，再过 t分钟，货车追上了客车，则 t=_三、B 组填空题(每小题 8分，共 40分)21已知 2x一
7、3y=z56, 6y=914zx，则 x，y, z的平均数是_，又知x0 并且(x 一 3)2=36，则 x=_ ，y=_，z=_22.有长为 lcm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm的六根细木条，以它们为边(不准截断或连接)可以构成_个不同的三角形，其中直角三角形有_个23.已知 11瓦(0.011 千瓦)的节能灯与 60瓦（即 0.06千瓦)的白织灯的照明效果相同，使用寿命都越过 3000小时而节能灯每只售价为 27元，白炽灯每只售价为 2.5元电费为 05 元千瓦时若用一只 11瓦节能灯照明 1500小时，则电费为_元对于 11瓦的节能灯和 60瓦的白炽灯，当照明时间大于
8、_小时时，买节能灯更划算24已知正整数 a，b 的最大公约数是 3，最小公倍数是 60，若 ab,则=_.a225如图 6，在ABC 中，ACB=90，M 是CAB 的平分线 AL的中点.延长 CM交 AB于 K，BK=BC则CAB=_, =_.KCBA第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛第 1试答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A B D C A A C B C题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案 2385-2 EOHP7 -1 6570-58 1215题号 21 22 23 24 25答案 79;47；1 8.25；1000 或403
9、945； 39、 （1）面积公式:S=底边高 2，直接计算：AD:DC=1:3，高相同，则面积比也为 1:3，因此，S BDC =SABC 3/4，即 603/4=45。以此类推，得到答案为选项 B.（2）S BEF /SBEC =EF/EC=4/9，S BEC /SBDC =BE/BD=4/5，S BDC /SABC =DC/AC=3/4，所以，SBEF /SABC =4/9 4/5 3/4 =4/15 ，故，S BEF = SABC 4/15 =604/15=16.10、 （1）画出 3 个 3 元和 5 个 5 元的图示，3 枚 3 元硬币，可组成 3、6、9 共 3 种不同面值，5 枚
10、 5 元硬币，可以组成 5、10、15、20、25 共 5 种不同面值，这样有 3+5=8 种不同面值；再继续用 3 元和 5 元的硬币组合，可以得到 15 种不同面值。因此，共有：8+15=23种.（2）3 元面值硬币可取 0 枚、1 枚、2 枚、3 枚共 4 种取法，5 元面值硬币可取 0 枚、1 枚、2 枚、3 枚、4 枚、5 枚共 6 种取法，但 3 元和 5 元硬币不能同时取 0 枚，因此共 46-1=23 种取法，即 23 种不同面值.14、 （1）根据题目条件，假设 a=-3、b=-0.1，逐个套入等式，根据结果比较 HOPE（2）由条件可知，a 和 b 都为负数，负负得正；且
11、b 的绝对值为小于 1 的小数，因此b2|b|。由此可以判断 HOPE 的大小3 3 35 5 5 5 5（3）由题目条件可知，a-2，所以-a2，a 24，-aa 2 ；-1b0，所以 0b 2-b1。据此可以推断 HOPE 的大小，其中 H 和 O 的大小，可以二者代入符合条件数值进行比较。16、任何数的平方都0，因此由题目条件可知：a-2b+3c+4=0，2a-3b+4c-5=0，二者相加可得：3a-5b+7c-1=0，即，3a-5b+7c=1，故，6a-10b+14c-3=2 (3a-5b+7c)-3=21-3=-117、作 DFBC 于 F 点。设 EF=x ，又，EF=EA 1，故
12、 EF=EA1=x。因此，DE=DA 1-EA1=15-x。根据勾股定理，DE 2=DF2+EF2，即(15-x) 2=102+x2，解得x=25/6。故CDE 面积为：CEDF1/2=(EF+CF) 101/2=(25/6+25-15) 101/2=425/618、5a 2+5b2-4ab-32a-4b+10=a2+4b2-4ab + 4a2-32a+64+b2-4b+4-58=(a-2b)2+4(a-4)2+(b-2)2-58，因此当 a=4 且 b=2 时，上式等于 -58，为最小值.19、由ACB=90，AC/AB=1/2，可知ABC=30，ABA 1=CBC 1=150。故所扫过面积
13、是：S 扇形 BAA1+SABC - S 扇形 BCC1-SA1BC1 = S 扇形 BAA1 - S 扇形 BCC1=2 2150/360-(2 2-12)150/360=5/1220、设轿车速度为 v1，货车速度为 v2，客车速度为 v3，三车之间的初始距离为 s，则：v1-v2=s/10，v 1-v3=2s/(10+5)，二式相减可得：v 2-v3=2s/15- s/10= s/30，故货车追上客车的时间为：t=30-10-5=15 分钟。21、2x-3y-z=56，x+6y+4z=91，二式相加可得：3x+3y+3z=147，即 x+y+z=49，故：x、y、z 的平均数为：49/3；
14、因(x-3) 2=36，故 x-3=6，又 x0，故 x=9，代入方程式得：y=-39，z=7922、有组合：2、3、4；2、4、5； 2、5、6； 3、4、5； 3、4、6； 3、5、6； 4、5、6，共计 7 个不同的三角形；根据勾股定理可知，只有 1 个直角三角形：3、4、523、电费：0.01115000.5=8.25. 设照明时间为 x，在此时间时，两种灯的费用相同，则：27+0.011x0.5=2.5+0.06x0.5，解方程得：x=100024、明确最大公约数及最小公倍数的概念。最小公倍数=两数的乘积/最大公约数设 a=3x，b=3y，则：(x，y)=1 且 xy=20，又，ab
15、，即 xy，故：x=20，y=1 或 x=5，y=4，因此(a 2-b2)/2ab=399/40 或 9/4025、设CAB=2，因为 AM=ML，且ACB=90，故 CM=AM，ACM=MAC=，故CKB=CAK+ ACM=3，KCB=90-ACM=90-，又 BK=BC，故CKB=KCB，则 3=90- ，=22.5，因此，CAB=2=222.5=45，ACK/KCB=/(90-)= 22.5/(90-22.5)=1/32012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第 2试一、选择题（每小题 4分，共 40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.1.下面四个命题：其中错误的命题的个数
16、是（ ）（1） 若两个角是同旁内角，则这两个角互补。（2） 若两个角互补，则这两个角是同旁内角。（3） 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补。（4） 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角。（A）1 （B）2 （C）3 （D）42.若两位自然数 是质数，且交换数字后的两位数 也是质数，则称 为绝对质数，于abbaab是两位数中的所有绝对质数的乘积的个位数是（ ）（A）1 （B）3 （C）7 （D）93.如图 1，将边长为 4cm的等边 沿边 BC向右平移 2cm得AB，DE 与 AC交于点 G，则 （ ）DEFABCFS:四 边 形（A）3：2 （B）2：1 （C）5：2 （D）3：14.有
17、理数 在数轴上的位置如图 2所示，O 为原点，则代数式cba,（ ）（A） （B） （C） （D）23cabba2a35.The perimeter of a triangle is 18 ,while each side is an integer, if the longest side is not a prime number, then the number of such triangle is ( )（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（英汉小词典：perimeter of a triangle 三角形的周长；prime number 质数）6.77可以表示成 个连续自然数的和
18、，则 的值 的个数是（ ）)2(nn（A）1 （B）2 （C）3 （D）47.如图 3， 中， ，点 E在边 CA上，点 D和90AF在边 BA上，若 BC=CD=DE=EF=FA，则 （ ）（A） （B） （C） （D）20181518.已知 x,y是非负整数，且使 是整数，那么这样的数对(x,y)有（ ）个。342yx（A）1 （B）2 （C）3 （D）20129.身高两两不同的 30个学生面向老师站成一排，其中恰有 11个学生高于自己左侧相邻的同学，那么高于自己右侧相邻同学的学生有（ ）人。（A）11 （B）12 （C）18 （D）1910.若 x+y=3，xy=1,则 （ ）5yx（A
19、）33 （B）231 （C）123 （D）312二、填空题（每小题 4分，共 40分）11.计算： 20132012013201312.已知 中，AB=2，BC=9，若 AC的长是奇数，则 AC= AB13.若自然数 x除以 3余 2，除以 4余 3，除以 5余 4，则 x除以 15所得余数是 14.If and are similar terms, then = mny24nmyx67 nm)(15.如图 4，在四边形 ABCD中，AD/BC，点 E在 AD上，点 F、G 在 BC上，并且 AE=ED=BF=FG=GC，以 A、B、C、D、E、F、G 这 7个点中的三个顶点的三角形中面积最小
20、的三角形有 个；面积最大的三角形有 个。16.用黑、白两种颜色的 正方形瓷砖，按图 5所示的方式铺地板；（图1（1）中有 块瓷砖，以后各图都比前前一个加铺 块瓷砖） ，则有5322014块黑色瓷砖的是图 5中的第 个图。17.图 6是用若干个同样的小正方体拼成的立体的俯视图，若此立体最高有三层，则此立体最少有 个小正方体，最多有 个小正方体。18.1900年以后出生的人，他出生年份的最后两个数字组成的两位数（若末两位数字为 00或 01，则看成两位数 或 ，其余类推） ，加上这个人今年的年龄数，所得的结果是01或 。 （注：今年的年龄数=2012-出生年份）19.已知正 n边形 的面积是 60
21、，若四边形 是一个面积为 20nA1321 121kA的矩形，则这个正 n边形的一个内角是 度。20. ，则 xxxP05)(34 )(2P三、解答题，每题都要写出推算过程21.已知 都是整数，如果对任意整数 x，代数式 的值都能被 3整除。cba, cbxa2证明： 可被 27整除。(本题满分 10分)22.（本题满分 15分）某公司以每吨 500元的价格收购了 100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元。该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：工艺 每天可加工药材的吨数 出品率 售价（元/吨）粗加工 14 80% 5000精加工 6 60% 11000受市场影响，该公
22、司必须在 10天内将这批药材加工完毕，现有 3种方案：(A)全部粗加工：(B)尽可能多地精加工，剩余的直接在市场上销售；(C)部分粗加工，部分精加工，恰好 10天完成。问：哪个方案获得的利润最大？是多少？23.有一系列数，前两个数是 1，2，从第三个数起，每个数都等于它前面相邻的两个数的和的个位数字，请回答以下问题：（1） 在这列数中能否依次出现相邻的 2，0，1，2 这四个数？说明理由；（2） 这列数中的第 2012个数字是什么？说明理由。 （本题满分 15分）2012年第二十三届“希望杯”数学邀请赛初一第 2试答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B A B C
23、B B C C题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案 -2010 9 14 12 17；3 671 8；18 112；12150 621.设 P(x)ax 2+bx+c，则 P(0)c，对任意整数 x，代数式的值都能被 3整除，所以 3c.又因为 P(1)a+b+c，P(1)ab+c，所以 3a+b+c，3ab+c.从而 3P(1)P(1)，即 32b，由于（3，2）=1，所以 3b，又因为 3P(1)+P(1)，所以 3(2a+2c) ，由于（3， 2）=1，所以 3(a+c). 上面已经证明了 ，所以 ，因为 ， 所以c| cb|,| ac|2722.因为每吨
24、药材的收购价是 500元，所以 100吨药材的收购费用是 500100=50000（元）（1）若 100吨药材全部被粗加工，则所需加工的时间是 10014= （天）1075可获得的利润是 500010080%-50000=350000（元）（2）若尽可能多地精加工，剩余的直接在市场销售，则 10天可精加工药材量610=60（吨）于是精加工部分可获得 110006060%=396000（元）剩余 100-60=40（吨）的药材直接在市场上销售，100040=40000（元）两项合计可得利润 396000+40000-50000=386000（元）（3） 若部分精加工，部分精加工，且恰好 10天完
25、成，则不妨设粗加工 x天，则14x+6(10-x)=100，解得 x=5于是这种方案共可获得利润 1450.85000+650.611000-50000=428000(元)综上，第三个方案获得的利润最大，是 428000元。23.（1）否。假设能出现，则因为 2+0=2，而 2不等于 1，矛盾，故不会有 2，0，1，2 连续出现的情形。（2）注意到数串出现的只是 0到 9的数字，其中 5个奇数，5 个偶数，所以不同的（奇，偶）对共有 55=25对，因此，根据抽屉原理， （奇，偶）对在这无穷数串中必定会重复出现，此后成周期循环，我们通过实验找规律发现，第 61个数等于第 1个数，第 62个数等于第 2个数，以下各数以 60为周期循环出现。因为 201260=3332，所以这列数中的第 2012个数字等于第 32个数字，即 8.
