1、思考与练习：空间直线（四）第七课时1.正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AB、BB 1的中点，求 A1E 与 C1F 所成角的余弦值.解：设正方体的棱长为 a在 A1B1上取一点 G，使 B1G= A1B1，4连结 FG、C 1G，则 FGA 1E，FG= A1E，2GFC 1即为 A1E 与 C1F 所成的角，又 C1F= aaB5)(22 52452)17()()5(2cos 417)452 221211 22111 aaGFCGFa故 A1E 与 C1F 所成角的余弦值为 .52.如图长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=a,BC=b,AA1=c（ab） ，求
2、异面直线 D1B和 AC 所成角的余弦值.解法一：连结 BD 交 AC 于 O，取 D1D 的中点 P，连结 OP，则 OPD 1B，且OP= D1B.2POA 就是 D1B 与 AC 所成的角,连结 APAP= 2,2,42 cbaPbaAcb cosPOA = )(2 2222 cbaOPA解法二：如图，在长方体的一旁，补上一个大小完全相同的长方体，则 BE ACBD 1与 BE 所成的锐角（或直角）是 D1B 与 AC 所成的角.D 1B= 2222 4, caEbaBEcba cosD 1BE= 0)(22211bD 1B 与 AC 所成角的余弦值为 .)(222cab3.空间四边形
3、ABCD 中，M、 N 分别是 AD、BC 的中点，且 AB=CD.求证：MN 与 AB所成的角等于 MN 与 CD 所成的角. 证明：连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连 MP、NP ，M、N 分别是 AD、BC 的中点MPAB 且 MP= AB21NPCD 且 NP= CDPMN、PNM 分别是 MN 与 AB、CD 所成的角.又AB=CD,MP=NPPMN= PNM.即 MN 与 AB 所成角等于 MN 与 CD 所成的角.4.已知棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 BC、A 1D1的中点.（1）求证：B 1EDF 是菱形；（2）求 A1C 与 DE 所成角的余弦值.（1）证明：取 AD 的中点 G，连结 A1G、EG ，则 B1E A1G FDB 1EDF 是平行四边形 .又FB 1=DF= 2)(aB 1EDF 是菱形 .（2）解：延长 AD 至 M，使 DM= AD= BC=EC.21连结 CM，则 CMED.A 1CM 即为 A1C 与 DE 所成的角. .15253)()()(2cos.3)(.25)(,322121122aaCMACaaM
