1、刚体的定轴转动,第4章,一、刚体的运动,无论在多大外界作用下，物体的形状和大小均不发生改变，这样的物体称为刚体。,各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。,1、平动,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,平动中刚体上的各点均有相同的轨迹、位移、速度及加速度。用质心运动讨论。,2、定轴转动,刚体上各点均绕同一固定直线旋转的运动，称为刚体的定轴转动。,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,二、刚体的转动定律,1、转动惯量,质点的转动惯量：,质点系
2、的转动惯量：,刚体的转动惯量：,式中：r 为dm 至转轴的距离。,刚体转动惯量的大小与三个因素有关：,刚体的总质量质量相对于定轴的分布转轴的位置,例1、P67例4-2。计算质量为m，长为L的匀质细杆绕垂直中心轴Z的转动惯量。,解：建立坐标系，如图。,同理，转轴过端点并与杆垂直时，其转动惯量：,刚体的转动惯量见教材P68表4-2-1（不需要背）,2、力对转轴的力矩,（1）外力在转动平面内,方向：沿转轴Z方向 。,（2）外力不在转动平面内,把外力分解成两个分力：,与转轴平行的力 对物体转动不起作用。,（3）合外力矩,在定轴转动中 ：,3、转动定律,在定轴转动中 ：,刚体获得的角加速度的大小 与刚体
3、受到的合外力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量J 成反比。,注意：M、 的+、- 号规定。,方向：沿转轴Z方向 。,刚体定轴转动的转动定律的应用,对这类问题的处理方法 ：,先隔离各物体，分析受力情况。,再根据牛顿定律研究平动，根据转动定律研究转动，找出平动与转动的牵连关系。,例2:(教材P69，例4-4）质量均为m的两个物体A、B，A放在倾角为 的光滑斜面上，通过绕在定滑轮的细绳与B相连，定滑轮是质量为m，半径为R的圆盘。求绳中张力T1和T2，以及A、B的加速度。,解：物体A、B、定滑轮受力如图。,联立（1）-（4），可得,对物体A：,对物体B：,对定滑轮：,牵连关系：,三、刚体定轴转动中的动能
4、定理,1、力矩的功,转动平面内的外力 的元功：,力矩M做的元功：,刚体从 转到 角时，力矩M所作的总功：,2、转动动能,整个刚体的转动动能，等于刚体上所有质元动能之和。,3、动能定理,合外力矩M 作的元功：,积分得,外力矩对刚体作功之和，等于刚体转动动能的增量。,四、定轴转动刚体的角动量及其守恒定律,1、质点对轴的角动量,在定轴转动的刚体上，各质元对轴的角动量都沿转轴方向。,2、刚体对轴的角动量,推导.,圆周运动：,质元对轴的角动量：,刚体对轴的角动量 ：,、 、 的方向，都沿转轴方向。所以,推导：,3、刚体角动量定理和角动量守恒定律,由质点系角动量定理：,标量式：,刚体角动量对时间的变化率，
5、等于作用于刚体上的外力矩之和。,刚体角动量的增量，等于刚体受到的冲量矩 。,上式称为刚体的角动量守恒定律。当刚体所受的外力矩之和等于零时，刚体的角动量保持不变。,强调：当系统为质点和刚体组成时，当系统对某一定轴的外力矩之和为零时，系统对该轴的总角动量保持不变。即：,五、质点与刚体力学规律对照表,五、质点与刚体力学规律对照表（续）,动量守恒定律：,角动量守恒定律：,刚体动力学规律的应用举例,例1：如图，质量m，长为L的匀质细杆，可绕水平的光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆的A端。若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆到铅直位置时的角速度。,方法一：应用动能定理,方法二：应用转动定律,分离变量
6、后，积分,方法四：应用机械能守恒定律（见下一个例题 ）,方法三：应用角动量定理,例2：质量m，长为L的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA）放手，棒下摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离s后停止。设物体与水平面间的摩擦系数处处 相同，求证,思 路：,分清过程 分析受力 选择系统 应用规律,解：（1）第一阶段：棒从水平位置下摆到铅直位置但尚未与物块碰撞。以棒和地球为系统，系统的机械能守恒。选择地面处的EP = 0 。,（2）第二阶段：棒与物块作完全弹性碰撞。以棒和物块为系统，系统的角动量守恒和机械能守恒。,（3）第三阶段：碰撞后物块在水平面上滑行。应用动能定理。,联立以上五式，可证明：,作业：教材：3 25；4 10，12教材：4 15，16，17,
