1、,1. 二次曲线的几何性质,第11章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二次曲线的一般理论,第11章,2. 平面坐标变换,3. 二次曲线的化简与分类,所表示的曲线，叫做二次曲线.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在平面上，由二次方程,在这一章里，,我们主要讨论二次曲线的几何性质，,以及二次曲线的化简与分类。,(11.1),为了讨论的方便，引入一些记号：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由 的系数所构成的矩阵,称为二次曲线的 (11.1) 的矩阵.,于是，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(11.2),1. 二次曲线与直线的相关位置,机动 目录 上页 下页 返回 结束,讨论
2、二次曲线,与直线,的交点.,(11.3),(11.1),可以把直线方程(11.3)代入曲线方程(11.1),然后讨论,关所得的关于 t 的方程.,把(11.3)代入 (11.1)后,整理得,利用前面的记号，上式可写成,(11.4),下面讨论这个关于 t 的方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),1. 分三种情况：,(11.4),这时(11.4)有唯一实根，所以直线与二次曲线有唯一实交点.,(2),而,这时(11.4)无解，所以直线与二次曲线没有交点.,(3),且,这时(11.4)有无穷多解，且直线是二次曲线的一部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这时(11.4)有两相同实根
3、，直线与二次曲线有两个重合实交点.,这时(11.4)有两个不同虚根，直线与二次曲线有两个不同虚交点.,这时(11.4)有两个不同实根，所以直线与二次曲线有两个不同实交点.,(1),2.,(11.4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),(3),方程的判别式为：,例1 求直线x+y-1=0与二次曲线2x2-xy-y2-x-2y-1=0的交点.,解:,直线x+y-1=0的参数方程为,交点参数方程为,即,解得:t =1, t = -2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线与曲线有两个交点 (1,0), (-2, 3).,2. 二次曲线的渐近方向,当考虑二次曲线,和具有方向 的直线,的交点
4、时；,显然有结论：直线的方向会影响其与曲线的交点情况.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,没交点,有交点,定义1,(11.1)的渐近方向，,(11.5),因为二次曲线二次项系数不全为零,故(11.5)总有确定的解.,下面考虑(11.5)的解的个数，即二次曲线渐进方向的个数.,如果 ，则把(11.5)改写成,满足,的方向( X,Y ),叫做二次曲线,否则叫做非渐近方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,如果 ，把(11.5)改写成,解得,如果,由(11.5)得,这时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明啥问题？,当且仅当 时，,因此，二次曲线最多有两个渐近方向.,二次曲线没有实渐
5、近方向；,当且仅当 时，,二次曲线有一个实渐近方向；,当且仅当 时，,二次曲线有两个实渐近方向.,显然，非渐近方向有无穷多个.,于是，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(11.5),(11.5)无解,(11.5)有唯一解,(11.5)有两个实解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线；,即,1) 椭圆型曲线： ；,2) 抛物型曲线： ；,3) 双曲型曲线： .,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线；,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲线型曲线.,下面利用渐近方向将二次曲线分类：,没有实的渐近方向？,有1个实的渐近方向？,有2个实的渐近方向？,机动 目
6、录 上页 下页 返回 结束,例如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 求下列二次曲线的渐近方向,并指出类型.,解:,渐近方向满足,即,解得:,有两个实渐近方向.,是双曲型曲线.,也可以由,知是双曲型曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.二次曲线的中心与渐近线,任取二次曲线上的两点，,二次曲线的弦.,这两点之间的线段叫做,A,B,即当直线的方向为二次曲线的非渐近方向时，,前面讨论：二次曲线,当,曲线总交于两个点,时，,直线与二次,(两个实点, 两重合的实点, 两个虚点).,换言之，,只要直线的方向是二次曲线的非渐近方向，,那么直线与二次曲线有两个交点，,与直线的交点时，知道：,
7、从而确定一条弦.,例如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2,如果点 是二次曲线的通过它的所有弦的中点，,则把点 叫做二次曲线的中心.,C,定理1,点 是二次曲线的中心的充要条件是,（使得两个偏导数为0的点）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,二次曲线的中心坐标由下列两个方程决定,解得:,例如,的中心为(0, 0).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面利用中心对二次曲面进行分类：,已知：二次曲线的中心坐标由下列方程组决定,（11.6）,如果系数行列式,那么(11.6)有唯一的解.,此时, 二次曲线有唯一的中心.,如果系数行列式,即 ，,又分两种情况：无解和无穷多解.,机动
8、 目录 上页 下页 返回 结束,（11.6）,如果系数行列式,即 ，,二次曲线没有中心；,当 时，,当,时，,（11.6）无解，,（11.6）有无数多解,此时,所有点都是二次曲线的中心.,这条直线叫做中心直线.,上的,此时,？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，,没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，,有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，,无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.,例如,椭圆,抛物线,二次曲线,中心,非中心,无心,线心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知：二次曲线按其渐近方向可以分为三种类型，即,1)椭圆型曲线： ；,3
9、)双曲型曲线： .,2)抛物型曲线： ；,因此，,椭圆型曲线和双曲型曲线都是中心曲线.,抛物型曲线是非中心曲线，包括无心曲线与线心曲线.,二次曲线,又知：,通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向,定义3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛物型曲线中的无心曲线没有渐近线，,显然：,椭圆型曲线只有两条虚渐近线而无实渐近线，,双曲型曲线有两条实渐近线，,而线心曲线它有一条实渐近线，就是它的中心直线.,的直线叫做这二次曲线的渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4,如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，,那么这条直线就叫做二次曲线的切线，,这个重合的交点,规定：如果直线全部在二次
10、曲线上，也称这条直线为,4. 二次曲线的切线,叫做切点.,二次曲线的切线。,直线上的每一点都是切点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如何求经过二次曲线上的点,的直线总可写成,的切线方程？,因为通过,(11.3),又知:直线(11.3)与二次曲线(11.1)的交点的参数方程为,当 时，,直线为二次曲线的切线的条件,为,所以,因为 在曲线上，,所以 ，,(11.7),机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 时，,直线与二次曲线的交点的情况：,一个实点；没有交点；直线在曲线上。,从而直线为二次曲线的切线的条件仍为(11.7).,？,直线与二次曲线的交点的参数方程为,如果 与 不全为零，那么,因
11、此过 的切线方程为,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(11.7),直线与二次曲线的交点的参数方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果,曲线的切线.,那么由(11.7)确定,的切线的方向不确定，,或者说通过点,叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；,定义5,二次曲线上满足条件,的点,线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.,二次曲,显然,通过奇点的直线都是二次曲线的切线.,的直线都是,5. 二次曲线的直径,已知二次曲线上两点间的线段称为弦。,二次曲线的一族平行弦,定理3,这条直径与这族平行弦叫做相互共轭的。,定义7,二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做二次曲线,的直径，,机动 目录 上页 下页 返
12、回 结束,的中点轨迹是一条直线.,平行于非渐近方向(X,Y)的一族弦,的轨迹方程为,(11.8),6. 二次曲线的主直径、主方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而轴与曲线的交点叫顶点.,定义8,二次曲线中的与其共轭的平行弦方向垂直,的直径叫二次曲线的主直径.,主直径方向与其共轭的平,行弦的方向都叫二次曲线的主方向.,主直径是二次曲线的对称轴.,因此主直径也叫二次,曲线的轴.,方程，,二次曲线的主方向(X,Y) 满足：,即,其中,称为二次曲线的特征,为特征值.,因此，求二次曲线的主方向，就是求矩阵A的特征向量.,当 时，求出的主方向是非渐近方向，,注意：,为共轭方向的主直径的方程就是（11
13、.8）;,当 时，求出的主方向是渐近方向，,向的主直径不存在.,以其为共轭方,以其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求二次曲线,的主方向与主直径.,解：,因为,所以特征值为,它们对应的特征向量即为,主方向：,非渐近主方向为X1 : Y1 = 1 : 1，,渐近主方向为 X2 : Y2 = 1 : 1.,又因为F1 ( x, y ) = x y 2，F2 ( x, y ) = x + y，,所以曲线的主直径为x y 1 = 0.,作业 p.141 1.(1) 2.(1) 3.(1) 4.(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 理解二次曲线的渐近方向，中心，渐近线，切线，,直径与主直径等概念；,2. 会按渐近方向和中心对二次曲线进行分类.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
