1、福建省南平市 2018 届高三上学期第一次综合质量检查（2 月）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 20,2xAxBy，则 AB（ ）A 0,+ B , C 1,0 D 1,22.某人到甲、乙两市各 7 个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（ ）A4 B3 C2 D13.已知复数 z满足 1+i(i为虚数单位)，则 z的虚部为（ ）A 2 B 2i C 32 D 32i4.在锐角
2、C中，角 ,A所对的边长分别为 ,ab， sinBb，则角 A等于（ ）A 3 B 4 C 6 D 125.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则此人第 4 天走了（ ）A60 里 B48 里 C36 里 D24 里6.已知函数 lnfx，若 1fx，则实数 x的取值范围是（ ）A ,1e B 0, C 1,e D 1,e7.执行如图所示的程序框图，则输出的 k的
3、值为（ ）A7 B9 C11 D138.已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为 1，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A 5 B 3 C 2 D 69.函数 2sinfx的图象向右平移动 1个单位，得到的图象关于 y轴对称，则 的最小值为（ ）A 12 B 4 C 3 D 5210.若函数 2,dfxabcdRx的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A 0,0abcd B 0,0abcd C , D ,11.已知直线 :2lykx与双曲线 2:10,xyCab的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为 1，则双曲线 C的离心率为（ ）A2 B 2 C3 D 212.已知可导函数 f
4、x的导函数为 fx， 018f，若对任意的 xR，都有 fxf，则不等式2018xf的解集为（ ）A , B 21,e C 2,e D ,0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ,xy满足0,2,y，则 2yzx的最大值为 14.已知向量 sin,1cos,1,ab，且 /ab，则 cos等于 15.已知点 M是抛物线 2:8Cyx上一点， F为抛物线 C的焦点，则以 M为圆心， 4F为半径的圆被直线 1x截得的弦长为 16.正方体 1ABD的外接球的表面积为 12， E为球心， F为 1CD的中点.点 在该正方体的表面上运动，则使 E
5、CF的点 所构成的轨迹的周长等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 na满足 3,前 7 项和为 749S.（1）求 n的通项公式；（2）设数列 nb满足 3nna，求 nb的前 项和 nT.18.三棱锥 SABC中，侧面 S底面 ABC, 是等腰直角三角形 ABC的斜边，且2,2B.（1）求证： SABC；（2）已知平面 /平面 ，平面 平面 ABCl， ,Dl，且 C、 到平面 SAB的距离相等，试确定直线 l及点 D的位置（说明作法及理由），并求三棱锥 SAB的体积.19. 有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基
6、地，已知所有采摘的桔柚的直径都在 59,10范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在 71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取 500 个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面 2列联表，并回答是否有 95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的 500 个桔柚直径的样本平均数 x(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（3）记甲基地直径在 95,10范围内的五个桔柚分别为 ABCDE、 、 、 、 ，现从中任取二个，求含桔柚A的概率.附： 22nadbcKd， nabcd.20已知 12,F分别是椭圆 2:
7、103xyCbaa的左、右焦点， 2,P是椭圆 C上一点，且13P.（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 l与椭圆 C交于 ,AB两点，且 OAB，试求点 O到直线 l的距离.21.已知函数 2ln1,fxaxgax，其中 aR.（1）试讨论函数 f的单调性及最值；（2）若函数 Fxfgx不存在零点，求实数 a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 1C的参数方程为 2cos4inxy（ 为参数).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2的极坐标方程为 3R.（1）求
8、圆 1的极坐标方程和直线 的直角坐标方程；（2）设 C|与 2的交点为 ,PQ，求 1C的面积.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 13fxx.（1）求不等式 4f的解集；（2）若 23fxm对任意实数 x恒成立，求实数 m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBACD 6-10: CCCBD 11、12：DA二、填空题13. 13 14. 25 15.27 16.425三、解答题17.解：（）由 1774()=92aS，得 4=a因为 63a所以 d14,3n所 以（） ()=nb123(1)nnT 所 以 234+13 2 123+1+13() =nn nn 由 得 ： +12)4
9、nT所 以（12 分）18.解析:（）法一:在 SCB内作 O ，交 BC于 O，连结 A，则由侧面 SB 底面 A， 得 O 底面 ,又 SABS， OASBO，45C， 为等腰直角三角形， A ，又 O = , ,平 面BSA即法二:取 BC中点 O，连结 A, S,由侧面 BC 底面 A得 SBCAO平 面,由已知 2, BAS1SOSBSO,2，SCABD DO又 OA S= , ,BSAO平 面B即 C（）法一:平面 平面 S,平面 平面 ABCl,平面 S平面 ABCll/CD、到平面 AB的距离相等 D/平面 或 中点在平面 S上又 平面 ,平面 S平面 lAB/ 或 中点在 上
10、,AB或 为平行四边形,即 2C.所以,过点 A 在平面 ABC 内作直线平行于 BC，则所作直线即为 l,以 A 为圆心 BC 长为半径作弧与 l 交点即为点 D(或在 l 上到 A 距离为 2 的点即为点 D)其中 3126113 SOBCVBCSAS法二: 、 到平面 的距离相等 ABCSCSABDABS VV ABDSSV31213SO平面 平面 BC， 平面 平面 l， 平面 平面 ll/ ABDSCSV又 ABDCS/ 或 CD中点在 AB上,或 为平行四边形,即 2.所以,过点 A 在平面 ABC 内作直线平行于 BC，则所作直线即为 l,以 A 为圆心 BC 长为半径作弧与 l
11、 交点即为点 (或在 l 上到 A 距离为 2 的点即为点 )19.解：（）由以上统计数据填写 列联表如下： 841.3.5170981053421022 ）（K所以,有 95%的把握认为：“ 桔柚直径与所在基地有关” 甲基地 乙基地 合计优质品 420 390 810非优质品 80 110 190合计 500 500 1000（）甲基地桔柚的优质品率为 %84502，乙基地桔柚的优质品率为 %785039，所以，甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的 500 个桔柚直径的样本平均数 )598321586701274306812(50 x8 9.5.4. （）依题意：记“从甲基地直径在 10,的五
12、个桔柚 A,B,C,D,E 中任取二个，含桔柚 A”为事件 N.实验包含的所有基本事件：（A,B）,（A,C） ， （A，D ） ， （A ，E） ， （B ，C） ， （B，D） ，（B，E）,（C, D） ， （C，E） ， （D ，E）共 10 种.事件 N 包含的结果有：（A, B）,（A, C ） ， （A，D ） ， （A ， E）共 4 种.所求事件的概率为： 42()105PN 20.解：（）由 123F得:22()3()cc，化简得： 2560c，解得： 2c或因为 3a，所以 2c， 13P因为12PF所以 13a，则 2a，又 224bac，所以椭圆的标准方程为：+184
13、xy；（）由题意可知，直线 l不过原点，设 1212(,)(,)AxyB，直线 lx轴，直线 l的方程 ,0,xm且 m，则 1,m 214,y, 224,y由 OAB得: 0OAB, 120x即22(4)0，解得：63m，故直线 l的方程为x，原点 O到直线 l的距离263d，当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 ykxn，则2+184xykn，消去 y整理得：22(1)480kxn，122x，218nx，则 1212()ykn=2k由 OAB得 0OAB, AOB所 以 120xy所 以故281k+2，整理得： 23n，即 原点 O到直线 l的距离 21ndk，23(1)ndk将
14、代入，则283()，63，综上可知：原点 O到直线 l的距离2d21.解：（）由 ()ln(1)fxax (0) 得：1-+=- fxa当 时, ()0 ()fxf在 （ ， ） 单调递增，()fx没有最大值，也没有最小值若 1a，当 0x时, ()0fx , ()f在 1a（ ， ） 单调递增当 1a时， f, f在 （ ,+） 单调递减，所以当 x时， ()fx取到最大值 1()ln1ln()1f aa()f没有最小值（） 22()ln()()lFfgxx (0)x由2211()xx0当 02x 时, ()0Fx , ()单调递增，当 时， , x单调递减，所以当 2x时 ， ()x取到最大值 (2)ln3Fa, 又 0 时， 有 F，所以要使 ()()xfgx没有零点，只需 2ln30a 所以实数 的取值范围是： ln23 22.解:（）直线 2C的直角坐标方程为 0yx圆 1的普通方程为 ,4)()(2yx因为 cos,iny,所以 的极坐标方程为 16sin8co2（）将 43代入 0s,得 0162,解得 21, 故 21,即 |PQ.由于圆 C的半径为 ,所以 PC的面积为23.解：（） 3m 得 ，不合题意，舍去 得10x得 ， 231x综上不等式的解集为)230(，124)(x xf， ， ，14201x42x
