1、1第 2 章 解三角形2.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ 引入课题：正弦定理二、讲
2、授新课：1. 教学正弦定理的推导：特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即 c=cacb.sinisinabcABC 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据三角函数的定义，有,则 . 同理， （思考如何作高？） ，siniCDabsiniabABsiniacAC从而 .iiicABC*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中 SABC =.11sinsisin22abcbcA两边同除以 即得： = = .iaiBsicC证明二：（外接圆法）如图所示，AD ， ，2ins
3、iaCDRA同理 =2R， 2R.sinbBsicC证明三：（向量法）过 A 作单位向量 垂直于 ，由 + = 边同乘以单jB abcOBCAD2位向量 得j 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2. 教学例题： 出示例 1：在 中，已知 ， ， cm，解三角形.ABC04506B42a分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边 出示例 2： .06,45,2,ABCcAabBC中 ， 求 和分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两边及一边对角 练习
4、： .03,6,1,ABCbcaAC中 ， 求 和在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边10a40 01长精确到 1cm） 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知 ABC 中， A=60， ，求 .3asinsinabcABC2. 作业：教材 P5 练习 1 (2)，2 题.32.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
5、教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在ABC 中，已知 ，A=45 ，C =30 ，解此三角形 . 变式10c3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导： 如图在 中， 、 、 的长分别为 、 、 .ABCCAcab ， ()()B22BC.2|cos180AB cosa即 ， 2bca 试证： ， .2bA22cb 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示 ，等； 基本应用：已知两边22cos
6、ab及夹角 讨论：已知三边，如何求三角？ 余弦定理的推论： ，等.22cosbcaA 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题： 出示例 1：在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A.23a62c0B分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范求 b 讨论：如何求 A？（两种方法） （答案： ， ）06 小结：已知两边及夹角c abA BC4在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形.13acm8b16cm分析已知条件 讨论如何利用边角关系 分三组练习 小结：已知两角一边3. 练习： 在 ABC 中，已知 a7，b10，c6，求 A、B 和 C. 在 ABC 中，已知 a2，b3，C
7、82，解这个三角形 .4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：1. 在 ABC 中，若 ，求角 A. （答案：A=120 ）22abc02. 三角形 ABC 中，A120，b3，c5，解三角形. 变式：求 sinBsinC；sinBsinC .3. 作业：教材 P8 练习 1、2（1）题.52.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用
8、定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论： 出示例 1：在ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i) A ，a25，b50 ； (ii) 62A ， a25 ，b50 ；62(iii) A ，a ，b50 ； (iiii) A ，a50，b50 .503262分两组练习 讨论：解的个数情况为何会发生变化？ 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=
9、bsinA sinA 有两解 有一解 有abbaabab14一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形【例 1】在 中，若 ， , ，则 .ABC5b4B1sin3Aa523【例 2】在ABC 中，已知 = , = ,B=45,求 A、C 和 .a3b2c【适时导练】1.（1）ABC 中， =8,B=60,C=75,求 ; （2）ABC 中，B=30, =4,c=8,求 C、A、a.b.问题二：利用余弦定理解三角形【例 3】设 的内角 所对的边分别为 .已知 ，BC、 cba、 1a， .2b41cos（）求 的周长；（）求 的值.ACAcos【例 4】 （2010 重庆文数） 设 BC
10、的内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ,且abc3 2b+3 c-3 2a=4 .bc() 求 sinA 的值；()求sin()si()441co2的值.【适时导练】2 在ABC 中， 、 、 分别是角 A，B，C 的对边，且 =- .abcCBcoscab2（1）求角 B 的大小；（2）若 = ， + =4，求ABC 的面积.13ac问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 （2011 山东文数）在 ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 ，a，c已知 osA-2cC-a=Bbb15（I）求 sinCA的值； （ II）若 cosB= 14， ABC 的周长为 5，求 的长。b
11、【例 6】 （2009 全国卷理）在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c，已知 2acb，且 sinco3sin, 求 b 3 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 8 sin2 2 cos BC2A7（1）求角 A 的大小；（2）若 a ，bc3，求 b 和 c 的值问题四：三角恒等变形【例 7】 （08 重庆） 设 的内角 A，B，C 的对边分别为 ,b,c，且aA= ， c=3b.求：60（） 的值；（）cotB +cot C 的值.ac4.（2009 江西卷理） AB中， ,所对的边分别为 ,abc，sintacoC,sin()cosC.（1
12、）求 ,；（2）若 3ABCS,求 a. 问题五：判断三角形形状【例 8】在ABC 中，在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，a,bcbcosA cosB，试判断 三角形的形状.aABC【例 9】. 在 ABC 中，在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若a,bc ，cosAcosB ba16【适时导练】5.在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形6.在ABC 中， 、 、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果ab（ 2+b2）sin（A-B）=（ 2-b2）sin （A +B） ，判断三角形的形状 .a问题六：与其他知识综合【例 10】已知向量 ，其中(,)(,)0acbacb且mnmnA，B，C 是ABC 的内角， , ,c 分别是角 A，B，C 的对边 .（1）求角 C 的大小；（2）求 的取值范围.sinB7（2009 浙江文）在 AC中，角 ,所对的边分别为 ,abc，且满足25cosA， 3B （I）求 的面积； （II）若 1c，求 的值问题 7：三角实际应用【例 11】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，3并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求 A、B 之间的距离.17
