1、 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司1课 题解三角形专题 1教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题重点、难点 正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用考点及考试内容本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。教学内容一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinis
2、inabcABC正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现 asinB 和 bsinA 实际上表示了锐角三角形边 AB 上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝
3、角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的 2倍，即2cosabA； 22cosbaB； 22cosabC；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学
4、会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用正弦定理的应用：1用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司2（）已知三角形的任意两个角与一边
5、，求其他两边和另一角。（） 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知 a, b 和 A） ，用正弦定理求 B 时的各种情况：若 A 为锐角时:sin ()i , ab无 解一 解 直 角二 解 一 锐 一 钝一 解 锐 角，如下图所示：b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A 为直角或钝角时: ab()无 解一 解 锐 角余弦定理的应用：利用余弦定理可
6、以解决两类解斜三角形问题：（1） 已知三边，求各角；（2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。考点知识点一：正弦定理典型例题1. 定理： .（ 为三角形外接圆半径）2sinisinabcRABC2. 例题：例 1：在 中，已知 ， ， ，求 .045062ab例 2： .06,ABCcAbBC中 ， 求 和针对性练习1、 .03,6,1,bcaA中 ， 求 和个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司32、 023,6,2,ABCaAbB中 ， 求3. 已知 ABC 中， A=60， ，求 .3asinsinabcAC4、 ABC 中，若 则 :1:23BC:abc5、 ABC 中，若
7、则 A= sinba6. 已知 a、 b 为 ABC 的边， A、B 分别是 a、 b 的对角，且 ，求 的值sin23ABab7、 002,3,15,ABCC中 ， 求考点二：余弦定理1. 定理： 推论22cosbaB22cosbaAcbAB22cscC22csCba典型例题例 1. 在 ABC 中，已知 ， ， ，求 c.3a4b06练习：在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A.（答案： ， ）22c0B2b06A例 2：在 ABC 中，已知 a3， b4， c6，求 cosC.知识点方法总结小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用
8、范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边.针对性练习1. 三角形 ABC 中， A120， b3， c5，求 a个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司62. 在 ABC 中，若 ，求角 A. （答案： A=120 ）22abc0变式：在 ABC 中， ，则 ()()3abc3. 三角形 ABC 中， ，求3,2,10ABCABC正弦定理和余弦定理的综合问题例 1 三角形 ABC 中，cos C ， a7， b8，求最大角的余弦134变式：在 ABC 中，已知 sinAsin Bsin C=654，求最大角的余弦.例 2：在 ABC 中，已知 a7， b10， c6，判断三角形的类型
9、.22是 直 角 是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角abcABC是 锐 角 三 角 形练习：1. 在 ABC 中，已知 a3， b5， c7，判断三角形的类型.2. 在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3. 已知 ABC 中， ，试判断 ABC 的形状. cosbC4. 三角形 ABC 中， C60， a3， c7，求 b5. 在 ABC 中，已知 ，求（1） 的值（2）求2,os4BsinC个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司26. 已知 三个顶点的直角
10、坐标分别为 ， ， ABC (34)A， (0)B， ()Cc，（1）若 ，求 的值 (2) 若 是钝角，求 的取值范围5csinc7. 在 ABC 中，已知 ，求 .5cos,in13os应用问题一、面积问题公式：S= absinC，S= bcsinA, S= acsinB2122例 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积 S3练习：1.已知在 ABC 中， B=30 ,AB= ,AC=2,求 ABC 的面积2. 三角形 ABC 中， a5， b7， c8 求 ABCS3. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，若 ，ABC ， abc，2si
11、n3A2a，求 的值。2ABCS b课后练习1ABC 中，a3，b ，c2，那么 B 等于（ ）7A 30 B45 C60 D120 2.已知ABC 中， 1 2，则 ABC 等于 ( )sin:si3A123 B231C132 D3123.在 中， ， ，则 一定是 （ ）B602bacACA、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 4若三条线段的长为 5、6、7，则用这三条线段（ ）A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形5在ABC 中，若 ，则其面积等于（ ）8,3cbaA12 B C28 D2166在ABC 中，若 ，则A=
12、（ ）)()(cc个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司2A B C D 0906012057在ABC 中，若 ，则最大角的余弦是（ ）143cos,87baA B C D 5168三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程 的根，06752x则三角形的另一边长为（ ）A. 52 B. C. 16 D. 4219如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、由增加的长度决定 10在ABC 中，周长为 7.5cm，且 sinA：sinB：sinC4：5：6,下列结论： 6:54:cba 6:2:cba cmm
13、3,.2, CBA其中成立的个数是 ( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 B 组 巩固提高11已知锐角三角形的边长分别是 ，则 的取值范围是 （ ）,3xA、 B、 C、 D、15x5105x135x13在 ABC 中，若 AB ， AC5，且 cosC ，则 BC_914在ABC 中， ，则ABC 的最大内角的度数是 6:4:bacb15在 ABC 中， C60， a、 b、 c 分别为 A、 B、. C 的对边，则_cab16若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 cm 和 4 cm，它们的夹角是 45，则这个平行四边6 3形的两条对角线的长度分别为 .17A BC 中， C=30 ，则 AC+BC 的最大值是 _。,26AB0
