1、1第二章 圆锥曲线与方程2.3双曲线一、双曲线 （A）1已知双曲线 x2 y2 m与椭圆 2x23 y272 有相同的焦点，则 m的值为_答案 62已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，若双曲线的左支上有一点 M到x225 y29右焦点 F2的距离为 18， N是 MF2的中点， O为坐标原点，则| NO|等于( )A. B1 C2 D423答案 D3已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，若双曲线上一点 P使x29 y216 F1PF290 ，则 F1PF2的面积是( )A12 B16 C24 D32答案 B4如果双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离 心率为(
2、 )x2a2 y2b2A. B2 C. D22 3 2答案 A5已知双曲线 1( b0)的左右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近线方程为 yx，x22 y2b2点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 ( )3PF1 PF2 A12 B2 C0 D4答案 C6双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1、 F2， F1MF2120，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.362 63 33答案 B27双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，焦距为 2c，左顶点为 A，虚轴的上端点为x2a2 y2b2B(0， b)，若 3 ac，求该双曲线的离心率BA BF 解析 由条件知 F(c,0)
3、， A( a,0)， ( a， b)， ( c， b)，BA BF 3 ac， ac b23 ac，BA BF 又 b2 c2 a2， c2 a24 ac0， e1， e 2 .ca 58焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条 渐近线方程为 2xy0，焦点到渐近线的距离为8，求此双曲线方程解析 因双曲线的渐近线方程为 2xy0，故设双曲线方程为 4x2 y2 ( 0)当 0时， a2 ， b2 ， c2 a2 b2 .4 54即焦点坐标为( ，0)52据点到直线的距离公式有 8，得 64.2525此时双曲线方程为 1.x216 y264当 0， b0)上一点， M、 N分别是双曲线 Ex2a2 y2
4、b2的左、右顶点，直线 PM、 PN的斜率之积为 .15(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点， C为双曲线上一点，满足 ，求 的值OC OA OB 解析 (1)点 P(x0， y0)(x0 a)在双曲线 1 上，有 1，x2a2 y2b2 x20a2 y20b2由题意又有 ，y0x0 a y0x0 a 15可得 a25 b2， c2 a2 b26 b2，则 e .ca 305(2)联立Error!，得 4x210 cx35 b20，设 A(x1， y2)， B(x2， y2)，则Error! ，设 ( x3， y3)， ，
5、即Error!，OC OC OA OB 又 C为双曲线上一点，即 x 5 y 5 b2，23 23有( x 1 x2)25( y 1 y2)25 b2.化简得： 2(x 5 y )( x 5 y )2 (x1x25 y1y2)5 b2，21 21 2 2又 A(x1， y1) ， B(x2， y2)在双曲线上，所 以 x 5 y 5b2， x 5 y 5 b2.21 21 2 2又有 x1x25 y1y2 x1x25( x1 c)(x2 c)4 x1x25 c(x1 x2)5 c210 b2. 24 0，解出 0 或 4.2已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是C1(30)
6、F，4520xy（）求双曲线 的方程；C（）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ，且线段()klCMN，的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围MN812k（）解：设双曲线 的方程为 ，由题设得C2(0)xyabb，解得295.ab， 245.ab，所以双曲线 的方程为 C214xy（）解：设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足l(0)km1()Mxy， 2()Nxy，方程组 21.45ykxm， 将式代入式，得 ，整理得22()145xkm22(54)80k此方程有两个不等实根，于是 ，且2k整理得22()(54)km 20由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足MN0()xy， 120245xk0254mykxk从而线段 的垂直平分线的方程为2244mykk5此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 由题设可得xy29054km， 2954k，22198154kmA整理得， 22()k0将上式代入式得 ，22(54)0k整理得， 22(4)0kkk解得 或 504所以 的取值范围是 k55024 ， ， ， ，
