第04章 市场风险：风险价值VaR.pdf

1、第04 章 市场风险：风险价值VaR 引言 金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。 某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的 度量指标，如Delta 、Gamma 、Vega 等，尽管这些风险度 量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个 关于整体风险的完整图像。 2/64 引言 风险价值VaR （Value at Risk ）是试图对金融机构的资产 组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构 所面临的整体风险。 VaR最早由J. P. Morgan投资银行提出，随即被各大银行、 基金等金融机构采用。 3/64 引言 目前，VaR已经被巴塞尔委员会用

2、来计算 世界上 不同地区 银行的风 险资本金 ，包括针 对市场风 险、 信用风险和操作风险的资本金。 本章内容： VaR 的概念 VaR 的计算例子 VaR 与ES VaR 与资本金 VaR 中的参数选择 后验分析（Backtesting analysis ） 4/64 4.1 VaR 的定义 VaR：我们有X 的把握，在未来T 时期内，资产组合价值 的损失不会大于V 。 V ：资产组合的VaR VaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X% VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得出，也可 以由投资组合损失（Loss ）的概率分布得出。 5/64 4.1 VaR 的定义 当采用收

3、益分布时，VaR等于收益分布第(100-X) % 分位数 的负值 6/64 4.1 VaR 的定义 当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X% 分位数。 例：当T =5 ，X =97% 时，VaR对应于投资组合在5天后收 益分布的3分位数的负值，也对应于投资组合在5天后损 失分布的97分位数。 7/64 4.2 VaR 的计算例子 Example 1 假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布 的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。 由正态分布的性质可知，收益分布的1分位数为 2-2.3310，即-21.3。 因此，对于6个月的时间期限，在99置信度下的VaR为 21.3（百万美

4、元）。 8/64 4.2 VaR 的计算例子 Example 2 假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和 5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。 项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀 分布，损失大于4900万美元的可能性为1。 因此，在1年后，基于99置信度的VaR为4900万美元。 9/64 4.2 VaR 的计算例子 Example 3 一个1年期项目，有98的概率收益200万美元，1.5的概 率损失400万美元，0.5的概率损失1000万美元。 10/64 4.2 VaR 的计算例子 在这样的累积分布下，对应于99累积概率的损失为4

5、00 万美元。 VaR400万美元 可以这样描述：我们有99的把握认为在未来1年后该项 目损失不会超过400万美元。 11/64 4.2 VaR 的计算例子 Example 4 续上例，试求99.5置信度下的VaR 上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任何损失值 出现的可能性都不超过99.5。 VaR在这一情形下不具备唯一性 一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值，即 99.5% 置信度下的VaR为700万美元。 12/64 4.3 VaR 与ES 在应用VaR 时，实际上是在问“最坏的情况将会是怎样”， 这一问题是所有金融机构高级管理人员都应关心的问题。 VaR将资产组合价值

6、对各种不同类型市场变量的敏感度压 缩成一个数字，这使管理人员的工作大为简化。 另外，VaR也比较容易进行后验分析（Backtesting analysis）。 13/64 4.3 VaR 与ES 然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。 例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内 99的VaR额度为1000万美元，该交易员可以构造某一资 产组合，该组合有99.1的可能每天的损失小于1000万美 元，但有0.9的可能损失5000万美元。 这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交易员使银 行承担了不可接受的风险。 14/64 4.3 VaR 与ES 交易员所追求的概率分布： 15/

7、64 4.3 VaR 与ES 许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。 某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使 我的交易无法进行”。 16/64 4.3 VaR 与预期损失 预期损失ES 一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为 预期损失ES（Excepted shortfall ），有时又被称为“条 件VaR” （conditional VaR ）、“条件尾部期望 （conditional tail expectation ）”、“尾部损失”（tail loss ）。 ES：超过VaR的损失期望值 17/64 ( ) 1 qq t t tt t ES E r

8、 r VaR = 4.3 VaR 与预期损失 ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X 。 例如，当X 99，T 10天时，VaR6400万美元的ES是 指在10天后损失超过6400万美元时的期望值。 ES比VaR更符合风险分散原理。 18/64 4.3 VaR 与预期损失 ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观；较难进行 后验分析。 ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。 19/64 4.4 VaR 和资本金 VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。 对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在未来10天 99VaR的若干倍数。 对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在

9、资本金计 算中，要采用1年的持有期和99.9的置信度。 20/64 4.4 VaR 和资本金 对于99.9的置信度和1年时间，某个组合的VaR为5000万 美元，这意味着在极端条件下（理论上，每1000年出现一 次），该组合在1年时间内的损失会超过5000万美元。 也就是说，我们有99.9的把握认为，持有该组合的金融 机构不会在1年内完全损失所持有的资本金。 如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度选择吗？ 21/64 4.4 VaR 和资本金 Artzner 等（1999）认为，一个好的风险测度应该满足： （1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件下，A 组 合的收益均低于

10、B 组合，那么A 组合的风险测度值一定要 大于B 组合的风险测度值； 含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第 一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。 22/64 4.4 VaR 和资本金 （2）转换不变性（Translation invariance ）：如果在交易 组合中加入K 数量的现金，则风险测度值必须减少K ； 含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则该现金可以为 损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可以减少K 。 23/64 4.4 VaR 和资本金 （3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产组合所包含 的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数

11、量的 n （n 0 ）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测 度值的n倍； 含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也 应该放大两倍。 24/64 4.4 VaR 和资本金 （4）次可加性（Sub-additivity ）：由两种资产构成的投资 组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之 和。 含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典 风险管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于 集中化投资的风险。 VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远满足条 件（4）。 25/64 4.4 VaR 和资本金 Example 5 假定两个独立的贷款项目在1年内均有2

12、的概率损失1000 万美元，同时均有98的概率损失100万美元，因此，任 意一个单笔贷款在期限为1年、置信度为97.5下的VaR均 为100万美元。 将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.020.02 0.0004的概率损失2000万美元，有20.020.980.0392 的概率损失1100万美元，有0.980.980.9604的概率损失 200万美元。 26/64 4.4 VaR 和资本金 在时间期限为1年，97.5的置信度下，贷款组合的VaR为 1100万美元，单笔贷款对应的VaR之和为200万美元。 贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元 违反次可加性 27/64 4.4

13、VaR 和资本金 Example 6 考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的贷款，每笔 贷款的违约率均为1.25。 当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回 收率介于0100的可能性均等。 当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美元。 28/64 4.4 VaR 和资本金 假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违 约。 首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25。如果发生违约， 损失均匀地介于01000万美元，这意味着损失大于零的 概率为1.25；损失大于500万的概率为0.625；损失大 于1000万的概率为零。 29/64 0 1000 概率：1.25 4.4 VaR

14、 和资本金 1年期99的VaR是多少？ 要求99的VaR，需要找出概率为1的损失值。 设该损失值为X ，有： 解得：X 200。 对单笔贷款， VaR200 （万美元） 30/64 1000 1.25% 1% 1000 X =4.4 VaR 和资本金 综合考虑两笔贷款。 由于每笔贷款的违约概率均为1.25，且两笔贷款不可能 同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为 2.5% 。 违约触发的损失介于01000万美元的概率为均等。 31/64 4.4 VaR 和资本金 贷款组合99的VaR是多少？ 要求99的VaR，需要找出概率为1的损失值。 设该损失值为X ，有： 解得：X 600（万

15、美元） 32/64 1000 2.5% 1% 1000 X =4.4 VaR 和资本金 由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20万美元，因 此将这一盈利考虑在内，可得贷款组合1年期99的VaR 580万美元。 单笔贷款的VaR之和200200400（万美元） 这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效应”的论断 相悖。 33/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件 的风险测度被称为“一致性风险测度” VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测度 Example 7 继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元，现在要计 算置信度为97.

16、5的尾部期望损失。 34/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 在2.5的尾部概率中，有2的概率损失1000万美元，有 0.5的概率损失100万美元。 因此，在2.5的尾部分布范围内，有2（占2.5的80） 的可能损失1000万美元，有0.5（占2.5的20）的可 能损失100万美元。 预期损失ES为0.8100.218.2（百万美元） 35/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 将两个贷款项目结合到一起时，在2.5的尾部概率中，有 0.04的概率损失2000万美元，有2.46的概率损失1100 万美元。 因此，在2.5的尾部分布内，预期损失ES为(0.04/2.5) 20(2.46/2.

17、5)11=11.144（百万美元） 28.2 11.144，故该例中，ES满足次可加性。 36/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均 就损失分布而言，VaR 对第X 个分位数设定了100的权重， 而对其它分位数设定了0权重； ES对高于X 分位数的所有分位数设定了相同的权重，但 对低于X 分位数的所有分位数设定了0权重。 基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所有分 位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测度” （Spectral risk measure）。 37/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 当光谱型风险测度对第q 个分位数的

18、权重为q 的非递减函 数时，这一光谱型风险测度一定满足次可加性，进而满足 一致性条件。 ES满足以上要求，但VaR不满足，因为VaR对高于X % 分 位数的所有分位数设定的权重小于对X 分位数所设定的 权重。 38/64 4.5 满足一致性条件的风险度量 研究人员提出其它风险测度，这些风险测度中，第q 个分 位数的权重随着q 的改变而有较大的变化。 例如，使第q 个分位数所对应的权重w q 与e -(1-q)/ 成比例，这 里的 为常数，这种风险测度被称为指数光谱型风险测度 （exponential spectral risk measure）。例如： 39/64 ( ) (1 ) 1 1 q

19、 q e w e = 4.5 满足一致性条件的风险度量 40/64 0.9 1.0 图5-1 权重作为分位数函数的3种情形 ES 0.05 0.15 权重 累积 概率 0.06 0.12 4.6 VaR 中的参数选择 计算VaR时，需要预先设定两个参数：持有期和置信度 通常假设：（1）资产价格变化（收益率）服从正态分布； （2）收益率的期望值为零 基于以上两个假定： 其中，X 为置信度， 为对应于持有期内资产组合的波动 率（连续复利收益率的标准差），N -1 ( ) 为累积标准正态 分布函数的反函数 （Excel 命令：NORMSINV） 。 41/64 ( ) ( ) 11 1 VaR N

20、X N X = = (5-1) 4.6 VaR 中的参数选择 对任何持有期和置信度，VaR都与 成正比。 假设某资产组合在10天持有期上的价值变化服从均值为0、 标准差为2000万美元的正态分布 10天持有期、99置信度下的VaR为： 2000N -1 (0.99) 4653（万美元） 42/64 4.6 VaR 中的参数选择 持 有期的选 择 持有期的选择要视具体情况而定 证券投资基金账户当中的头寸往往流通性较好，管理人员 的交易行为也往往比较活跃，因此证券基金计算每天的 VaR就非常有意义。 当VaR超出一定界限时，管理人员就需对组合进行调整。 基金公司计算较长时间的VaR没有太大意义，因

21、为在一个 较长的时期内，组合内的资产往往会有较大变化。 43/64 4.6 VaR 中的参数选择 对于养老基金投资组合，管理人员往往会选择一个较长的 持有期计算VaR。因为这类资产组合的交易往往不是太活 跃，而且资产的流动性不太好。 这类资产组合的VaR往往每个月计算一次。 44/64 4.6 VaR 中的参数选择 45/64 4.6 VaR 中的参数选择 对于任何投资组合，往往首先需要计算未来1天的VaR， 然后采用以下公式计算未来T 天的VaR： 46/64 T days 1 day VaR VaR T = (4-2) 4.6 VaR 中的参数选择 上式的正确性建立在 （1）资产价格的每天

22、变化均独立 （2）价格变化服从正态分布 （3）期望值为零 的基础上。 如果以上条件不符合，(4-2) 式就只是一个近似式。 47/64 4.6 VaR 中的参数选择 自 相关性的 影响 实际上，资产价格每天的变化之间并非完全相互独立 将资产组合第i 天的价格变化定义为P i ，假设P i 与P i-1 的 相关系数为，对于任意i ， P i 的方差均为 2 ，则P i + P i- 1 的标准差为： 48/64 22 2 2 4.6 VaR 中的参数选择 同理，可以计算T 天内的价格变化的标准差： 由上式可以看出，当价格变化存在自相关性时，式(5-2) 将 会低估VaR。 49/64 ( )

23、( ) 21 1 2122 2 T T i i std P T T T = =+ 4.6 VaR 中的参数选择 50/64 T=1 T=2 T=5 T=10 T=50 T=250 0 1.0 1.41 2.24 3.16 7.07 15.81 0.05 1.0 1.45 2.33 3.31 7.43 16.62 0.1 1.0 1.48 2.42 3.46 7.80 17.47 0.2 1.0 1.55 2.62 3.79 8.62 19.35 表5-1 当 存 在 一阶 自相关 性时T 天VaR 与1 天VaR 的比率 4.7 后验分析 将VaR与实际损失进行对照的过程，称为后验分析 （ba

24、cktesting analysis）。 如果我们计算了持有期为1天、置信度为99的VaR，则 首先要找出组合每天的损失中有多少次超过了这一VaR值， 并将超过的情形称为exception 。 如果exception 出现的天数占整体天数的1左右，则说明 VaR计算模型表现良好。 51/64 4.7 后验分析 如果exception 的比例较大，说明VaR值偏低，而这将导致 资本金数量偏低。 如果exception 的比例较小，说明VaR值偏高，而这将导致 资本金数量偏高。 一般的，如果VaR的持有期为1天，置信度为X% ，如果 VaR模型准确无误，则损失超出VaR的概率应为p=1-X% 假定

25、共有n个观察日，其中有m 天的损失超出VaR 52/64 4.7 后验分析 假定m/n p，说明VaR估计偏低，但我们是否应该拒绝这 一VaR计算模型？ 正式的统计检验： H 0 ：对于任意一天，exception 发生的概率为p H 1 ：对于任意一天，exception 发生的概率大于p 损失超过VaR的天数大于等于m 的概率为： 53/64 k n k n m k p p k n k n = ) 1 ( )! ( ! ! (5-3) 4.7 后验分析 假设该检验所选定的检验水平为5 如果由式(5-3) 所计算的概率小于5，则可以拒绝H 0 ，即 可以认为exception发生的概率大于p

26、，从而拒绝该VaR计算 模型。 反之不能拒绝。 54/64 4.7 后验分析 Example 采用600天的数据来计算VaR，置信度为99% ，在600天中 共发现了9个exception。 Exception期望发生次数为6，是否该拒绝这一VaR计算模 型？ 计算大于等于9个exception发生概率的Excel 命令： 1BINOMDIST(8, 600, 0.01, TRUE)=0.152 55/64 4.7 后验分析 如果采用5的检验水平，则不应该拒绝该模型。 假如我们发现exception的次数为12，则可计算出exception 大于等于12的概率为0.020，若再采用5的检验水平

27、，就 应该拒绝该模型。 实际上，若采用5的检验水平，当exception次数超出11 次时，就应该拒绝该VaR计算模型。 56/64 4.7 后验分析 当exception的个数m 小于理论值时，可以将式(5-3) 改为： 其它步骤与m 大于理论值的情况相同 57/64 k n k m k p p k n k n = ) 1 ( )! ( ! ! 0 (5-4) 4.7 后验分析 上述检验均为单尾检验，Kupiec 提出双尾检验： 变量： 服从自由度为1的卡方分布，即 2 (1) 当基于实际数据的式(5-4) 值大于给定置信度的 2 (1) 分布的 理论值时，可以拒绝该VaR模型。 58/64

28、 ( ) ( ) ( ) 2ln 1 2ln 1 nm nm m m p p mn mn + (5-4) 4.7 后验分析 独 立性检验 当投资组合每天的价格变化独立，那么exception的发生应 该比较均匀地分布在样本区间内。 现实中，exception的发生往往聚集在一起 Christofferson （1998）提出了检验VaR独立性的方法 59/64 4.7 后验分析 Christofferson独 立 性检验 状态0：某一天没有exception发生 状态1：某一天 有 exception 发生 u ij ：在某天我们处于状态i 且在第二天处于状态j 的次数 60/64 4.7 后

29、验分析 定义统计量C ： 其中： 61/64 ( ) ( ) ( ) 00 00 10 10 01 11 01 11 01 01 11 11 2ln 1 2ln 1 1 u uu u uu u u + + + 01 11 00 01 10 11 uu uuuu + = + 01 01 00 01 u uu = + 11 11 10 11 u uu = + (5-5) 4.7 后验分析 当组合价格的每天变化都独立时，统计量C 服从自由度为1 的卡方分布。 当基于实际数据的式(5-5) 值大于给定检验水平的 2 (1) 分布 的理论值时，可以拒绝价格变化独立的原假设。 62/64 The End