1、三定理的小结在前面二次课中，我们已经讲完了三个基本定理和三个守恒定律，这三个基本定理和三个守恒定律再加上牛顿第二定律 就构成了整个质点动力学的基本内容。这次课amF就先对三个定理作一个很简单的小结。通过前面的讨论我们不仅要知道质点动力学的三个基本定理是（） 的推论，但不要满足于那些纯粹的数学推导过程我们的着重a点是要咱们确定它包含的物理内容。因为我们是搞物理的，而不是搞数学。数学只不过是作为工具为我们物理服务而已。 （2）在一定的条件下 存在一次积分，即三个守恒amF定律。 （）三个守恒定律的适用条件是不一样的：动量守恒的条件是：物体所受的合外力，某一方向上动量守恒的条件是 。动量矩守恒的条件
2、是： 。动量0F 0x 0Fr矩在某一轴上的分量的守恒条件是：( ) 。机械能守恒： = ， 是保守Frdv力，则 ，而 。质点动力学就这么些基本内容。由这些基本内容212d就能够解决质点动力学的各类问题。从现在开始我们就做一个质点动力学中的大题目，关于行星运动的问题。也就是第 7 节的有心力问题。有心力1、定义关于有心力的概念在上一次课中已经提到过，它就是指质点在运动过程中，所受的力如果总是通过一个固定点 O，这个固定点 O 就叫做力心，这样的力我们就定义它为有心力。一般来讲，有心力是矢径 r 的函数如果取力心 O 为原点的话，有心力就可以用 ，这F)(个式子来表示。这里的 是位矢方向的单位
3、矢量，如果用 表示r 0r这个单位矢量，上式则可简写成为= 。这里的 F(r)是任意的，它可以是正的也可以0)(rF是负的。如果 F(r)0，就表示这个有心力为斥力，斥力的方向是背离力心向外的。如果F(r)0，则表示有心力为引力，引力的方向是指向力心的。质点在这样的有心力作用下的运动就叫做有心力运动。有心力运动的现象，在自然界中是大量存在的。例如，行星绕太阳的运动，人造卫星绕地球的运动，以及小到我们肉眼直接看不到的原子内部的电子绕原子核的运动和 a 粒子的散射等等都属于有心力运动。接下去准备先讲有心力运动的一般问题，然后再着重讨论质点在与距离平方成反比的引力作用下的运动规律，也就是关于行星的运
4、动问题。最后再讲受距离平方反比斥力作用下的 a 粒子的散射问题。现在要讲的第二个问题是：一、 有心力运动的基本特点、在有心力场中，对力心的动量矩守恒。 在有心力场中运动的质点，它对力心的动量矩总是守恒的因为，在有心力场中运动质点所受的力永远是通过力心的。力 与矢径F总是共线的，所以有心力 对力心的力矩： 。显然力与矢径是rF 0)(rFr共线的，它对力心的力矩就等于零。所以质点对力心的动量矩是守恒的。即：(常矢量)，结合上一次课的讨论结果就很容易知道cvmrJ、在有心力场中质点作平面运动。在有心力场中，质点只能在垂直于动量矩的平面内运动，也就是在 与 所决定的rvm平面内运动。这个平面就是由质
5、点的初始状态 与 所决定的平面。如果我们再分析一0rvm下动量矩的量值保持不变的几何意义的话，将会发现：、有心力运动的面积速度是恒定的。因为在有心力场中，质点对力心的动量矩等于恒矢量。既然是恒矢量，则有： 。由于动量矩的量值cvmrJ cJ|。这里的 是矢径 与速度 之间的夹角见下图 。sin| rvrv在经典力学中，我们总是认为物体的质量 m 是不变的常量。因为在有心力场中，动量矩的量值等于恒量 c。显然 这三个量的乘sinr积也必定是一个常量。如果令这个常量为 h，那么它就可简写为： =mhsin| mrvvrJ我们从图上可以看出上式中的 vsin 等于速度的横向分量 v 。而速度的横向分
6、量等于 ，即：0 r。)1.(,sin 22hrmhJrv 则所 以另一方面我们从图上还可以看出，质点的位置矢量在 dt 时间内所扫过的面积就是这块扇形的面积 dA。由于 h 是恒量， 是个常数，面积速度当然也是个恒量，这就证明了有心21力运动的面积速度是恒定的这一结论。我们通过上面的讨论知道，由于 h 的守恒意味着面积速度的不变，rdtrA2121这 块 扇 形 元 的 面 积所以也就说明了，质量对力心的动量矩量值不变的直接结果是质点对力心的位置矢径在单位时间内所扫过的面积恒定。有心力运动的还有一个重要特点是有心力一定是保守力，这也就是说有心力必定存在与其相关的势能，作有心力运动的质点的机械
7、能守恒。下面我们就来证明这一结论。、有心力存在势能，质点的机械能守恒。证明： drFrdrdrFrdF FWABoABAB AB)(.)()() .0.00. 0.0 考 虑 到有 心 力 的 功 为 ：有 心 力这个定积分它只取决于起点和终点的位置矢径，而与中间经过的途径无关。因此，这就证明了有心力必定是保守力。既然有心力是保守力，那么它一定存在势能，有心力的势能 。由于有心力存在势能，所以质点作有心力运动时的机drFrdV)(械能是守恒的。即质点的动能和势能之和等于不变的恒量。 。 如果Ervm)(21速度的平方用极坐标表示的话，机械能守恒的表达式可以写成为：到这里为止，我们比较详细地分析
8、了有心力运动的一些基本特征，了解了这些基本特征也就便于我们研究它的运动规律，研究有心力场中质点运动规律的基本方法有两种，一种方法就是根据刚才给出的有心力场中的两个守恒方程来研究。三、有心力问题的研究方法： 、用两个守恒方程来研究：一个是动量矩守恒方程 ，还有一个是机械能守恒hr2方程 ，这两个方程都是一次积分，从解方程的角度来.)(212Ervrm看这两个一阶微分方程比较容易求解。由它们就可以解得质点用极坐标表示的运动方程， 这是解决有心力问题的一种基本方法，还有一种基本方法是直接从受力分析)(tr出发，利用质点的运动的微分方程来讨论得到质点的运动规律。根据有心力运动特征知道，.)(212Er
9、vrm在有心力场中质点只能在某一固定的平面内运动。2、 用运动微方程来讨论：所以，有心力运动只需要两个坐标就足以描写它的运动了，那么采用哪一种坐标形式来研究有心力问题呢？从原则上说不管采用哪一种形式的坐标都可以。比如采用平面直角坐标系（a）直角坐标：在直角坐标系，如果以力心为原点，质点的运动平面为 x.y 平面，那么在有心力场中质点的运动微分方程的直角坐标分量表达式为： yrFymxxYX)(当然这里的 x.y 都是时间的函数：x=x(t).y=y(t)，这两个微分方程中的 r 是等于：。可见 r 是 x 和 y 这两个变量的函数。显然这样的微分方程是很难解的 .因2yxr此在求解有心力问题时
10、，一般都不采用直角坐标系，而是采用平面极坐标系。（b）平面极坐标系：在以力心为极点的平面极坐标系中质点的运动微分为：-这是径向微分方程 Frrm)(2-横向微分方程0因为有心力与矢量 r 共线，所以有心力 F 在横向的分量是等于 0 的。由此我们可以看到，这时的运动微分方程就不会出现象 。这样的复合函数的关系式，此外还使第二个微分方程的右边等2yxr于零。这样就给求微分方程带来了方便，正由于采用极坐标系研究有心力问题的这些好处，所以求解有心力问题一般都是采用极坐标系的。这里的（指式）横向运动微分方程对它进行一次积分得到更简单的形式。因为 是加速度的横向分量，我们由第一章的)2(r运动学知识知道
11、，它可以写成为： 所以上面的第二)(1,012rdtr即 ：个式子就可以改写为： 对这个式子积分一次就0)()(22rtdm可以得到：r =h ， h 是积分常数。其实这个关系式就是有心力场中质点动量矩守恒的表达式。因为它是一次积分，当然要比解二阶微分方程方便。所以，在研究有心力问题时，通常用这个式子代替横向微分方程，将式改写为： rFrm)(2-。下面我们就从这两个基本hr2方程出发导出求解有心力运动轨道的一个有名的微分方程，即四、比耐公式比耐公式就是从这两个基本方程出发，再根据有心力运动的特点，消去质点运动微分方程式中时间参数 t，得出关于 r 和 的一个轨道微分方程。为此就得先想办法找出
12、和 只是关于 r 与 的函数关系式，然后将它代入运动微分方程，这样就可消去 t 得r到 r 和 相互依赖关系的微分方程. 是容易求得的，由的第二个式子可以得出在这里考虑到为了使计算方便和形式简单起见，引进新的变量 u.令这个新的变量 。ru1于是 duhurdu udurhdtrtrh 22 2211 )(,1.?, 则求 得 了 ，将 r 对时间再求一阶导数可以得到 r32 22)(uhr duhduhdtt 将它们同时代入 这个方程中去就消去了 t，得到：Frrm)(2所得到的这个 u 与 依赖mrFudhuhd )( 2322 关系的二阶微分方程就是比耐公式。因为由比耐公式可以直接解出
13、u=u().再根据就可以得到-质点的运动轨道方程 r=r().所以说比耐公式就是轨道微分方程，ru1它主要是用来求轨道的。反过来如果知道质点的运动轨道，那么由比耐公式也可以求得质点所受的有心力。即：a.已知有心力 F(r)u() 求出- r()轨道方程.b.已知轨道 r() u() -F(r) 在应用比耐公式时要注意的几点是：因为比耐公式是从有心力场中质点运动微分方程直接推出求的，所以它只适用于有心力问题。因此我们应用比耐公式时要注意到：已知力，必须是有心力，不是有心力的话，比耐公式就不能使用。采用的坐标是极坐标.质点的运动轨道要用 r() u()来讨论。公式中的 F(r)是包括正.负在内的，
14、F(r)是引力时取负号，是斥力时取正号。例：质量为 m 的质点沿半径为 R 的圆周运动，力心在圆心，求有心力 F=?解：由解析几何知道以力心为极点的极坐标系中圆的轨道方程就是：r=R=c.显然这是一个已知有心力运动轨道而求有心力的问题。这里我们只要将轨道方程转换成 u 这个量代到比耐公式就可求出有心力。mrFduh)(2 RmvRhumhrFcrR 2323232322 )(),1, （ 则 ：这里的负号表示有心力为引力，它是指向圆心即力心的向心力.五、在力与距离平方成反比的引力场中运动质点的轨道下面我们利用比耐公式来求出：在力与距离平方成反比的引力场中运动质点的轨道。这个问题刚好与上面的例子
15、相反。它是已知有心力求轨道的问题。1、轨道之解：令：与距离成反比的引力 ，其中的 为比例系数，这里的比例系数为什2rmkF2k么要用 k 的二次方表示，这完全是为下面解微分方程方便起见服务的。不用 k 的二次方表示的话可以吗？当然是可以的，只不过给计算带来麻烦一点而已。因为比耐公式中是令：将此有心力代入比耐公式则有：21vFur的显然这个方程是二阶齐次的线性徽分方程，2222)( hkudkdh与谐振动方程： 差一个常数项 。不过我们将变量 u 变换一下可以得到与谐02xw2振动方程形式完全相同的齐次线性微分方程。化成齐次线性方程比非齐次方程容易求解为此，令 。则有 。所以上式就可改写成： ，
16、这样2hku22du02d就化成了与谐振动方程完全一样的形式。对它的解我们是很熟悉的。它的，于是可得： ，式子中的 A 与 0是两个积分)cos(0A20)cos(hkAu常数，由初始条件决定。如果将极坐标转过一个角度 ，以新坐标代替旧坐标 ， 0则 ，将一撇去掉则有2coshkU，再将 u 换成 r，2coshkAu cos1cos1,cs1, 2222 hkArhkArkr 这就是在平方反比引力作用下的质点运动轨道方程。而此轨道方程中的 h，A，k2 都是常数。虽然它们都是常数，但是它们包含的意义是不同的。h 与 A 是两个动力学常数，它们的量值取决于质点有心运动的初始条件，而 k2 与初
17、始条件无关，只与具体的平方反比引力有关。例如，行星和太阳之间作用的万有引力，就是一个与距离平方成反比的引力。根据万有引力定律它就等于 2/rGMmF其中的 G 是万有引力常数，M 为太阳的质量，m 为行星的质量，r 就是行星和太阳之间的距离。于是这个与距离平方成反比的引力的比例系数 。显然，它就是一个与GMk2行星无关而只与太阳有关的量，这个量就叫做太阳的高斯常数。为了讨论轨道类型，下面还得补充讲一点圆锥曲线的基本概念。2、补充圆锥曲线如图所示，DD / 为准线， ；令圆锥曲线的焦点 F到准线的垂直距离为 d。如果圆锥曲线上一点 到),(rA焦点的距离 r 与点 A 到准线的垂直距离之比刚好都等于常数，即： ,也就是说满足常 数到 准 线 的 距 离点 到 焦 点 的 距 离点 这样的要求的轨迹曲线就叫做圆锥曲线。这就是圆锥曲线的定义。根据圆锥曲线的定义就能得到圆锥曲线极坐标方程，因为点 A 到焦点的距离为 r并令这两者之比的常数为 e。则有：称 为 半 正 焦 弦令 称 离 心 率 ） ， edpdreererdr cos1coscos(cos。亦称圆锥曲线的焦点参数，它就是圆锥曲线点 B 到 F 的垂直距离（如图所示） 。则 ，这就是所要求的圆锥曲线极坐标方程，e 和 p 是决定圆锥曲线类型及cos1r形状的两个参数。由解析几何知 。双 曲 线抛 物 线为 椭 圆,1,e
