1、1浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩 阵得知逆及矩阵的逆，和初等 变换中的应用。关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of
2、other relative matrix rank and elementary matrix. Key words: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。1. 预备知识：1.1 分块矩阵的定义：将分块矩阵
3、A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。1.2 分块矩阵的运算：21.2.1 分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A= ，11nm 11nmB 其中 与 的行数相同，列数相同，那么 A+B=ijAijB11nmm 1.2.2 分块矩阵与数的乘法：A= ,11nmA 11nmmA 1.2.3 设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，分块成ll1111t rsstttrB 其中 ， ， 的列数分别等于 ， ， 的行数，那么1iA2iit 1j2jtj，其中 (i=1s； j=1，r)11r
4、ssrCB 1tijikCAB1.2.4 设 ，则11tsstA 11TTtsstA 2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都3为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A= ，其中 （i=1，2，s）都是方阵，那么称 A 为分块对角矩10nA iA阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质，由此性质可知，若 0( )则 ，并有12sA iA1,2s 0110sA 例：设 A= 求503211解： = ，其中 ，0A10A115,A， ，所以231123101232.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩
5、阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块： 对其进行行（列）对换等作0mnE用，可得到如下类型一些矩阵：用这些矩阵左乘或右乘任000,0n mmmnnnEPPEE一个分块矩阵 ，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应ABCD的变换，如 ，适当选择 P 可使 =0，0mnEABPCPD CA例如 A 可逆时，选 则 ，于是上式的右端可成为104，其在求逆矩阵方面是非常有用的，10ABDC例 1： ，A D 可逆，求0T1T解：由 及1 0mnEC 110AD易知 =10ATD1mnE11C例 2： ，设 可逆，D 可逆，试证 存在，并求1BCT()AB1T解：由 ，而又端仍可逆故 存
6、在10mnAE10CD1()ABDC再由上题例 1 可知 =1111()BTD 10mnEB11 111()()mABCEADCD 23 分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设 A 是数域 P 上 矩阵，B 是数域 P 上矩阵，于是秩（） 秩（） ，nmsmin秩（） ，即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩 秩 ，同时秩 秩 ，分别证明这两个不等式AB设 ，1212123mnnaaA 121212smmsbb 令 表示的行向量（即对进行分块） 表示 AB 的行向量，由计2,mB 12,nC算可知， 的第 个分量和 的第 的分量都等于 ，因而iCj12iiimaBaB j1m
7、ikjab即矩阵 的行向量组 可经由 B 的行12,iiiiman A2,nC向量组线性表示出所以 的秩不能超过 B 的秩，即秩 秩A5同样，令 表示 的列向量， 表示 的列向量，由计算可知，12,mA A12,sD AB这个式子表明，矩阵 的列向量组可由矩阵 的1 1,2iiiiDbbs A列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅可能超过后者的秩，这就是说秩 秩（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即 这就是 的一种分块，按分块相乘就有12mB很容易看出 的行向量是 的行向量的线性组合）1212212mnnmaBaBA AB. 分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组 记 ，121212nmmn
8、axaxb ijAa， ， ， 为系数矩阵， 为未知向量， 为12nxX2mb112mmnaabB Xb常数项向量， 为增广矩阵按分块矩阵记法可记为 或 此方程也可记为BAb,，把系数矩阵 按行分成 块，则 可记做 把系数矩阵 按列AXbAX12mAX12mbA分成 块，则与相乘的 对应按行分成 块，记作 ，即nXn12,n 12nxb，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快12nxxb捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于 个变量 个方程线性方程组n6如果他的系数行列式 ，则它有唯一解，即121212nnnaxaxb 0D121,2jjjjnjxDbAbAn 证明把方程组改写成矩阵方程 ，这里 为 阶矩阵，因 ，故Xija 0AD存在，令 ，有 表明 是方程组的解向量，由 ，有1A1X11b xb，即 ，根据逆矩阵的唯一性，知 是方程的唯一解向量，由1b1Ab1X逆矩阵公式 ，有 即xbD即112112112 2 212 12n nnnnnnx AbAADb ,jjjjjxbAD 结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。参考文献：高等代数线性代数72.2 降分亏秤发育初等变换结合
