1、逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。关键词：矩阵 逆矩阵 逆矩阵的求法 逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrixAbstract: In modern mathematics，m
2、atrix is an effective tool with extensive application， and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and
3、properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix1一：引言在现代数学
4、中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。二：矩阵的逆的定义对于 n 矩阵 A，如果存在一个 n 矩阵 B，使得 AB=BA=E（E 为单位矩阵） ，那么说矩阵 A 可逆，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。记 A 的逆矩阵为 A .1三：可逆矩阵的性质1、如果矩阵 A、B 均可逆,那么矩阵 AB 可逆，其逆矩阵为 B 1A .（推广：如果矩阵 A1 ，A 2 , An 均可逆,那么矩阵
5、 A1A2An可逆，其逆阵为 An A2 1A1 ）2、如果 A 可逆，那么 1可逆，且 =A；3、如果 A 可逆，那么 T可逆，且 . 1TT4、 .()()15、如果 A 可逆，数 0，那么 A可逆，且 ；11A6、如果矩阵 A 的逆存在，那么该逆矩阵唯一。以上结论见文献1四：矩阵可逆的几种判别方法设矩阵 A 为 n 阶方阵，那么 A 可逆的充要条件有：1、存在 n 阶方阵 B，使得 AB=I；2、对 PAQ= ，其中 P 为 s 矩阵，Q 为 nm 矩阵，r（A）=n；0In23、 0A；4、 是非退化矩阵.5、A 的行向量（列向量）组线性无关；6、A 可由一系列初等矩阵的乘积表示；7、
6、A 可经过一系列初等行变换（列变换）化成单位矩阵 I；8、齐次线性方程组 AX=0 只有零解.以上结论见文献1 8五：逆矩阵的几种求法（一）定义法定义：矩阵 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B，使得 AB=E,那么称 A 可逆，称 B 为A 的逆矩阵，记为 1.求矩阵024的逆矩阵.解 ： 因为 A0,所以 1存在.设12133xA,由定义知 1A=E,所以 021412133x=0.由矩阵乘法得 21323231131444xxx =10.由矩阵相等可解得312314x;123;1323x.故11423A（二）伴随矩阵法定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且 ，其1212
7、112nnnA 中，A ij是|A|中元素a ij的代数余子式.矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，12212nnA 记作A*，即有A -1 = A*.1|A|该定理见文献1注 此方法适用于计算阶数较低矩阵（一般不超过 3 阶）的逆，或用于元素的代数余子式易于计算的矩阵求逆。注意 A* = （A ji） nn的元素位置以及各元素的符号。特别地，对于 2 阶方阵12aA，其伴随矩阵为212*a.对于分块矩阵 ，上述求伴随矩阵的规律不适用.BCD例 2：已知 ，求 A-1.132A解: = -1 0 A 可逆.由已知得 1122= ,4A-1 = A* = 1|A| 231（三）行(列)初等变化法设 n
8、阶矩阵 A，作 n2n 矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块 A 变为 nI，那么子块 I变为 1，即由A,E作初等行变换得E,A-1，所得的 1即为 A 的逆矩阵.注 对于阶数较高的矩阵（n3） ，用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换.也可以利用 求得 A 的逆矩阵.1EAE 初 等 列 变 换若矩阵 A 可逆，可利用 1 1EB ,CBA 初 等 行 变 换 初 等 列 变 换得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了 A-1B 或 CA-1.例 3：用初等行变换求矩阵 的逆矩
9、阵.2310解： 231010110AE23143210 41015646所以 14356A（四）用Cramer法则求矩阵的逆5若线性方程组1212212 nnnaxaxb 的系数行列式 |0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解 12, , nDDxx.这里 i是将 中的第 i 列 1,inia 换成1,nb得到的行列式.定理1 若以 = (1 , 0 , 0 , , 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 1 230 , 1) 表示F n(Fn表示数域F上的n维行向量空间)上的一组标准基,那么F n中任一向量 = (a1 , a2 , , an )都能且只能表示为
10、: =a1 + a2 + an 的 形式,这里a iF(i = 1 , 2 , , n).定理2 若称矩阵A与矩阵B相乘所得的矩阵为AB，以A的第i行右乘以B，其乘积即为矩阵AB的第i行.求矩阵的逆可用以下方法:令n阶可逆矩阵A=(a ij),A的行向量分别为 1, , , 其中 =(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得: 21=a ij (i = 1 , 2 , , n) ，解方程组（ , , , 为未知量）,由于系数行1j 12n列式D=|A| 0 (因为A 可逆),所以, 由Cramer法则可得唯一解: = bj1 + jjD1bj2 + + bjn (j = 1 ,
11、 2 , , n) .其中D j是用方程组的常数项 1 , 2, n替2n换行列式D的第j列的元素得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A -1= B.其中B=(b ij).以上定理见文献1、 7 、8下面举例说明这种方法.6例4：求矩阵 的逆矩阵.102A解：矩阵A的行向量为 ，由标准基 表示为：123,123,23312解以 123,为未知量的方程组得： 123231236所以 16133A（五）解方程组求逆矩阵由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(下)三角矩阵的逆矩阵，其主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的
12、倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵. 例5： 求 的逆矩阵.10234A解：设7,2134124301XA先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素 , ， .2134X,31421X设E为4阶单位矩阵, 比较 的两端对应元素,得：21341243001234XE解得，41424310X0;431X;2解得，3132;43;解得，41424300;425;解得，4142431X; 431X8及所求的逆矩阵为 1021635842A（六）求三角矩阵的逆的一种方法8
13、定理：若如果n阶矩阵 可逆，121200nnttTt 则它的逆矩阵为 1 111222100nnnt ttTt 其中11,2,2;3,4iiiijjikjitntjn 例6： 求上三角阵 的逆矩阵.13025A解：由定理知 112233112234341122231141413452tttttt91 13204521A（七）用分块矩阵求逆矩阵设矩阵 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，则：1 1 11 11 111A00BCOACBOODBBA 例 7：已知 ，求 A-1.21035786A解：将 A 分块如下： 122103578116AO 可求得 * *1 12268,31|
14、|AA 112685757132221011 12210325741AO （八）用恒等变形法求矩阵的逆有些计算题看似与求逆矩阵无关,但实际上却能发现，这些题是计算需要求出逆矩阵的，需将给定矩阵等式作恒等变形，且通常化为两矩阵乘积等于单位矩阵的形式。例8：已知 ，试求 并证明 ,其中 .6AE1A1A132解: 由 ，得 ，故 ,而 A66661EAE11A为正交矩阵, ，所以 1A1321A（九）拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为
15、零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A -1.例9：求矩阵 的逆矩阵A -1.012311解:因为 ，所以 存在01203A1A构造矩阵 有：EO012|013|10|0|将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得： 012|0314|10|021|将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得： 012|031|0|201|再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得：12012|031|0|4312|故： 11A（十）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n
16、阶矩阵为A的特征多项式，1E-nfaa则 1 0nnE所以 12nnAa由此，可知 1121nnAa 例10：已知 ，求 A -1.2431A解：A 的特征多项式 32E-4710f由Hamilton-Caley定理可知， fAAE所以 12526147040AE （十一）.和化积法对于有些涉及矩阵和的问题，要先判断方阵之和A+B的非退化性，并求出它的逆矩阵。则此时A+B可直接转化为（A+B）C=E的形式,从而得出结论，A+B非退化，且13=C.或将A+B表示为几个已知的非退化阵之积，并得出它的逆矩阵.1)(BA例11.证明:如果 =0,那么E-A是非退化的，并求 .KA1)(AE证明：因为
17、，所以 是非退化的，且 =21()KEA 1)(AE.12K六：逆矩阵在编码解码方面的应用矩阵密码学是信息编码和解码的技术，其中一种利用了可逆矩阵的方法。首先，在26个英文字母和数字之间建立对应关系，例如，可以是A B Y Z 1 2 25 26使用上面的代码，则该信息的编码是19,5,14,4,13，15,14,5,25，其中5代表字母E。遗憾的是，这个编码表示的对应关系较为简易，人们很轻易就能破译。如果一个信息编码比较长，那么人们会找出那个出现频率最高的数值，并且猜出它代表哪个字母。比如，以上编码中，出现次数最频繁的编码值是5，所以人们很自然地会认为，5代表字母E，因由统计规律我们可以知道
18、，在英文单词中，字母E出现的频率最高。利用矩阵的乘法，我们可以对英文信息“SEND MONEY”进行加密，让其由明文转换成密文，然后再进行传递发送。这样，信息一经处理，就能有效地对非法用户破译编码增加一定的难度，而又为合法用户找到一条轻松解密的途径。若存在一个矩阵 A， 它的元素均为整数，而且它的行列式 =1.那么由伴随矩A阵求逆公式 可知， 1的元素也都是整数。我们可以通过这样的方法，1*利用矩阵A 来对明文进行加密，从而增加加密之后的密文的破译难度。14现在取A=1253用三列将明文“SEND MONEY”所对应的9 个数值按以下方法排列，可得矩阵B=194532矩阵乘积AB=129413
19、459535018227对应上数矩阵，发出去的密文编码为43，105，81，45，118，77，49，128，93，合法用户可用A -1左乘上述矩阵，即可得到明文从而解密。为了构造“密钥”矩阵A，我们可以进行有限次的初等行变换，从单位阵I开始对矩阵作变换，为了方便，通常我们只用某行的整数倍加到另一行。这样，我们可以得到一个元素均为整数的矩阵A。并且由于= 1，我们可以知道 1A的元素也必然都是整数。15参考文献1王萼芳，石生明.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2闫晓红.高等代数全程导学及习题全解 M.北京：中国时代经济出版社，2006.3同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社，2007.4同济大学.高等代数与解析几何M.北京:高等教育出版社，2005.5郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）M.济南:山东科学技术出版社，2005.6刘丽，林谦，韩本三等.高等代数学习指导与习题解析M.成都:西南财经大学出版社，2009. 7白述伟.高等代数选讲M.哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.8张禾瑞，郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社.1999.
