1、奇异值分解及行转置矩阵与行反对称矩阵的奇异值分解定理的证明1.奇异值分解（Smgluar Value Decompositiong）设 M是一个 矩阵，则有mnM= *UV其中 U是 阶酉矩阵， 是半正定 阶对角矩阵，V 是 阶酉矩mnn阵， 表示 的共轭转置（下文中都是如此表示） ，称上述分解为 M 的奇异值*分解， 对角线上的元素 称为 M 的奇异值。iU（左奇异向量）系列是 系特征向量；*V（右奇异向量）系列是 系特征向量；（非零奇异值）的非零元素是 或 中非零特征值的平方根。*例：求矩阵 A= 的奇异值分解.10解：由 = 可求得 的特征值为 =3， =1， =0，*A012*A123
2、对应的特征向量依次为 = ， = ， = ，1x,T2x,0T3x,T于是可得 rank（A）=2， ，31令 ，其中 ， ，12,V12,6xV3Vx计算 ，构造 ，则*11=20UA2=0,1TU,从而可得 A的奇异值分解12102=,1U*30A=1V2.下面对矩阵的行转置与行反对称矩阵的定义与它们的奇异值分解定理的证明下面所用公式的表达方式与上稍有不同，但所用理论相同.用 表示反nJ对角线元素全为 1，其余元素全为 0的 n阶方阵； 为 m阶单位阵； ，ITA分别表示矩阵 A的转置、共轭转置.显然 .*A 21,TJJ行转置矩阵与行反对称矩阵定义 1 设 ，则称mnijaR,1,21,
3、21221mmnRnAaa 为矩阵 A的行转置矩阵并记为 .RA特别，若 ，则称 A为行对称矩阵；R若 ，则称 A为行反对称矩阵.显然：行反对称矩阵只有两种类型 或BJ0定理 1 设 为 的奇异值分解，其中 2酉阵*,mnBCUDV， ， , ， ，mnUCnV0D12(,)ndiag 120n则行反对称矩阵 存在一个奇异值分解 ,其中2mnBACJ HAPTV， .20DT1mUJPI证明：因为 ，*BAJ*2VD2*V为 的特征值，所以 为 的奇异值.又221,n * 12,n A，* 201mm mUJJP III因而 为酉矩阵，且* *1220m mmJBDVTV AI JJ 证毕.定理 2 设 为 的奇异值分解，其中 2酉阵*,mnBCU， ， , ， ，mnUCnV0D12(,)ndiag 120n则行反对称矩阵 ，存在一个奇异值分解 ,其中 (21)mnACJB *APTV, .20DT02mmUJPJI证明：因为,*2*002()mBABJVDV为 的特征值，所以 为 的奇异值.又221,n *A12,n A，* * 210001221mmmmUJUJUP IJII因而 为酉矩阵，且 * *02102mmmmUJDUVBPTV AJIJJ证毕.
