1、第四章：曲线运动一、高考考点与考纲要求知识点 要求运动的合成与分解 曲线运动中质点的速度沿轨道切线方向，且必具有加速度。平抛运动 匀速圆周运动，线速度，角速度，周期，向心加速度。说明，不要求向心加速度的推导。二、考纲解读本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合
2、外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。三、复习指导在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转
3、化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。2、记住匀速圆周运动的 v、 、 T、 f、 a、向心力等运动学公式。3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同） 。4、掌握几种情景中的圆
4、周运动：重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件） 。天体的匀速圆周运动。点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法） 。复合场中的圆周运动。四、命题热点与展望本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。 （2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。 （3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的
5、考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是高考命题的热点。预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发
6、射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。第一模块：曲线运动、运动的合成和分解夯实基础知识考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向：做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。4、物体做
7、曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。5、分类匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变) 作用下所做的曲线运动，如圆周运动。
8、考点二、运动的合成与分解1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存） ；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。运动的矢量性（加
9、速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 ）4、运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动） 。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动） 。常见的类型有：（1）a=0：匀速直线运动或静止。（2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a 同向，匀加速直线运动；v、a 反向，匀减速直线运动；v、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、a 之间，和速度 v 的方向相切，方向
10、逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到。 ）（3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。具体如：两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是曲线运动。第二模块：平抛运动夯实基础知识平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。2、条件：a、只受重力；b、初速度与重力垂直
11、3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度 g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。 ga4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性0vx=v0vvyP(x,y)yxxx/2v0S a5、平抛运动的规律水平速度：v x=v0，竖直速度：v y=gt合速度（实际速度）的大小： 2yxv物体的合速度 v 与 x 轴之间的夹角为：0tangtxy水平位移： ，竖直位移tv21gty合位移（
12、实际位移）的大小： xs物体的总位移 s 与 x 轴之间的夹角为：02tanvgty可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。而且 而tant 2轨迹方程：由 和 消去 t 得到： 。可见平抛运动的轨迹为抛物线。vx01gy20xvgy6、平抛运动的几个结论落地时间由竖直方向分运动决定：由 得：21gthgh水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定： gvtx20平抛物体任意时刻瞬时速度 v 与平抛初速度 v0 夹角 a 的正切值为位移 s 与水平位移 x 夹角 正切值的两倍。平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明： 21tan20x
13、sgtv平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量 vgt，方向恒为竖直向下（与 g 同向） 。任意相同时间内的 v 都相同（包括大小、方向） ，如右图。v0v1v2v3vvv以不同的初速度，从倾角为 的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角 a 相同，与初速度无关。 （飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。 ）A v0 vxvyyxv如右图：所以 tan20gv0)tan(vtxy所以 ， 为定值故 a 也是定值与速度无关。tan2)t(速度 v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加， 变大，tan，速度 v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不
14、能到达。从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。7、平抛运动的实验探究如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时B球松开，自由下落，A、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、 B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分
15、运动是匀速直线运动。8、类平抛运动（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。2、类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。3、类平抛运动的处理方法：在初速度 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 。0v Fam合处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线规律来处理。第三模块：圆周运动夯实基础知识匀速圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆
16、周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。注意：这里的合力可以是万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力锥摆、静摩擦力水平转盘上的物体等 变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。（2）线速度（v）：定义
17、：质点沿圆周运动，质点通过的弧长 S 和所用时间 t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式： ts线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又称为圆频率）：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。大小： ( 是 t 时间内半径转过的圆心角)Tt2单位：弧度每秒（rad/s）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。（5）频率（f，或转速 n）：物体在单
18、位时间内完成的圆周运动的次数。各物理量之间的关系： rtvfTtrsv2注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。（6）圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。大小： （还有其它的表示形式，如： ）rvan2 rfTvan 22方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度 ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言， =0）a a（7）圆周运动的向心力匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力
19、，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力提供向心加速度（下式仍然适用） ，切向分力 提供切向加速度。nFF向心力的大小为： （还有其它的表示形式，如：rmvaFn2） ；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。rfrTmvFn 22实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。五、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、本质：离心现象是物体惯性的表现。离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞
20、出的运动。离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。3、条件：当物体受到的合外力 时，物体做匀速圆周运动；nmaF当物体受到的合外力 时，物体做离心运动当物体受到的合外力 时，物体做近心运动na实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。 vF=m2R04两类典型的曲线运动的分析方法比较（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为；20,gtyx.,0tyx（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和
21、加速度” ，运动规律可表示为.,022mrmaF向向法 切切题型解析类型题： 曲线运动的条件 【例题】 （1991 年上海高考题）如图所示，物体在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由变为。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ABD ）ABabA物体不可能沿曲线a 运动B物体不可能沿直线b 运动C物体不可能沿曲线c 运动D物体不可能沿原曲线由返回 A【例题】质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力 F1 时，物体可能做( )A匀加速直线运动； B匀减速直线运动；C匀变速曲线运动； D变加速曲线运动。解析
22、：当撤去 F1 时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于 F1，方向与 F1 方向相反。若物体原来静止，物体一定做与 F1 相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若 F1 与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故 A、B 正确。若 F1 与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故 C 正确，D 错误。正确答案为：A、B、C。【例题】我国“嫦娥一号” 探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在 2007 年 10 月 24 日晚 6 点 05 分发射升空。如图所示， “嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时
23、，沿曲线从 M 点向 N 点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ ）MMNB C DMNMNMNFF FF解析：C 卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于 ，由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向故选 C。90【例题】质点仅在恒力 F 的作用下，由 O 点运动到 A 点的轨迹如图所示，在 A 点时速度的方向与 x轴平行，则恒力 F 的方向可能沿（ ）yv00 xA vAx 轴正方向Bx 轴负方向Cy 轴正方向Dy 轴负方向解析：D 根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不
24、与合外力方向平行，可知 D 正确。【例题】一个物体以初速度 vo 从 A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过 A、B 两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是 ( )A Bv0A如果这个力是引力，则施力物体一定在 区域中B如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C如果这个力是斥力，则施力物体一定在区域中D。 如果这个力是斥力，则施力物体可能在 区域中解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度 vo 方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作
25、用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧(相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲) ，是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧 (相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲)。【答案】A C【例题】如图所示，质量为 m 的小球，用长为 l 的不可伸长的细线挂在 O 点，在 O 点正下方 处有2l一光滑的钉子 O。把小球拉到与钉子 O在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点 P 时（ ）OOPA小球的运动速度突然减小B小球的角速度突然减小C小球的向心加
26、速度突然减小D悬线的拉力突然减小解析：在通过位置 P 前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为 l 和 ，并且小球在通过 P 点瞬间受2到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。答案：B、C 、D类型题： 如何判断曲线运动的性质 曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变） ，则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化） ，则为非匀变速运动。例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为 g；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是
27、（ A ）A曲线运动一定是变速运动B曲线运动一定是变加速运动C圆周运动一定是匀变速运动D变力作用下的物体一定做曲线运动【例题】物体做曲线运动时，其加速度（ ）A一定不等于零 B一定不变 C一定改变 D可能不变解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零， A 正确；曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动加速度是改变的。【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）A速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变B速度一定不断地改变，加速度可以不变C速度可以不变，加速度一定不断地改变D速度可以不变，加
28、速度也可以不变解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A、C、 D 错误，只有 B 项正确。类型题： 运用运动的独立性解题 【例题】如图所示，一个劈形物体 M 各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球 m，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长） （ ）abcA沿斜面向下的直线 B竖直向下的直线C无规则曲线 D抛物线解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直线运动，所以 B 正确【例题】如图所示，A、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且
29、A 的游泳成绩比 B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现（ A ）ABAA、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用BB 沿虚线向 A 游且 A 沿虚线偏向上游方向游CA 沿虚线向 B 游且 B 沿虚线偏向上游方向游D都应沿虚线偏向下游方向，且 B 比 A 更偏向下游解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 A。【例题】如图为一空间探测器的示意图，P 1、P 2、P 3、P 4 四个喷气发
30、动机，P1 、P3 的连钱与空间一固定坐标系的 x 轴平行，P 2、P 4 的连线与 y 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率 v0 向正 x 方向平动要使探测器改为向正 x 偏负 y 60 的方向以原来的速率 v0 平动，则可（ ） xy0P2134A先开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间B先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间C开动 P4 适当时间D先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间解析：选 A在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即“向正 x 偏 y60 的方向以原来的速率v0 平动”为合运动，x 轴、
31、y 轴方向上的运动为分运动据平行四边形定则，由右图可得，u xv1 时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；船速 v2 小于水流速度 vl 时，即 v2v1 时，合速度 v 不可能与河岸垂直，只有当合速度 v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以 v1 的末端为圆心，以 v2 的长度为半径作圆，从 v1 的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。v1v2 vo设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成 角，则，2163cos120最短行程， md2cos小船的船头与上游河岸成 600 角时，渡河的最短航程为 120m。技巧点拔：对第一小问比较容易理解
32、，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为（ ）A B0 21dC D212d解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为 v2，到达江岸所用时间 t= ；沿2
33、vd江岸方向的运动速度是水速 v1 在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离 0 点距离。答案：C21vdts【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了 T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为 T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) 21T1(C) (D) 212T解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为 d ，则由题意可知 ： 1v2v 1vdT当此人用最短位移过河时，即合速度 方向应垂直于河岸，如图所示，则 212联立式可得： ，进一步得1221vT2121v【例题】小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，
34、x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为 ，则下列说法vkxv04，水 0v中正确的是（ A ）A、小船渡河的轨迹为曲线B、小船到达离河岸 处，船渡河的速度为2d02vC、小船渡河时的轨迹为直线D、小船到达离河岸 处，船的渡河速度为4/301类型题： 绳联物体的速度分解问题 指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆
35、）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。这类问题也叫做：斜拉船的问题有转动分速度的问题【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 拉水平面上的物体 A，当绳与水平方向成 0v角时，求物体 A 的速度。v0A解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度 的值。这样就可以将 按图01v Av示方向进行分解。所以 及 实际
36、上就是 的两个分速度，如图所示，由此可得1v2Av。cos01vA解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。v0ACB xL设船在 角位置经t 时间向左行驶x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 ，两边同除以 t 得：cosxLcostxL即收绳速率 ，因此船的速率为：cs0AvcosvA总结：“微元法” 。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分
37、解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为 ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为 F，则绳01FvP子对物体做功的功率为 ，因为 所以 。cos2A21Pcos0vA评点： 在上述问题中，若不对物体 A 的运动认真分析，就很容易得出 的错误结果；cos0vA当物体 A 向左移动， 将逐渐变大， 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体 A 却在做变速运动。Av总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合
38、速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。【例题】如图所示，在高为 H 的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮 C，由地面上的人以均匀的速度 v0 向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘 A 处向右行走距离 s 到达 B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？hv0s BAs解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。全解设人运动到 B 点时，绳与地面的夹角为 。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为cos0
39、v。200hsv物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，。ssd2co答案： ， 20hsvhd2小结分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动【例题】如图所示，重物 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？m vM解
40、析：重物 M 的速度 v 的方向是合运动的速度方向，这个 v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率 v运动，如图所示，由图可知，vvcos 【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为 ，BAv,则（ BD ）vAvBA、 B、 vBAvC、 D、重物 B 的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 mA 和 mB 的两个小球 A 和 B（可视为质点） 。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成 角时，A 球沿槽下滑的速度为 VA，求此时 B 球的速度VB？ABa解析
41、：A 球以 VA 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为 VA1；一个使杆绕 B 点转动的分运动，设其速度为 VA2。而 B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为 VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为 VB1，V B1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为 VB2；ABavA2vAvBvA1 vB2vB1由图可知： cossin11ABVVcotABV类型题： 面接触物体的速度问题 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出
42、。【例题】一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为，求竖直杆运动的速度。R OP v0v1解析：设竖直杆运动的速度为 V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿 OP 方向，所以 V0、V 1 在 OP 方向的投影相等，即有 ，解得cossin0V1=V0。 tan【例题】一根长为 L 的杆 OA，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球 A，靠在一个质量为 M，高为 h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度 v 向右运动时，小球 A 的线速
43、度vA（此时杆与水平方向夹角为 ） 。o A解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点。 （不直接选 A 点，因为 A 点与物块速度的 v 的关系不明显） 。因为 B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故 B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度 v；B 点又在棒上，参与沿棒向 A 点滑动的速度 v1 和绕 O 点转动的线速度v2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=vsin。设此时 OB 长度为 a，则 a=h/sin。令棒绕 O 点转动角速度为 ，则：=v2/a=vsin2/h。故 A 的线速度 vA=L=vLsin2/h。
44、类型题： 平抛运动 1常规题的解法【例题】如图所示，某滑板爱好者在离地 h= 1.8 m 高的平台上滑行，水平离开 A 点后落在水平地面的B 点，其水平位移 = 3 m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为 v=4 m/s，并以此为初速沿水平地1S面滑行 =8 m 后停止，已知人与滑板的总质量 m=60 kg。求：2S1 S2hAB C（1）人与滑板离开平台时的水平初速度。（2）人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。 （空气阻力忽略不计，g 取 10 )2m/s解析：（1）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为 ，飞行时间为 t，0v根据平抛运动规律有 ， 2htg10Svt解得 10
45、3m/s52.80Svhg（2）设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为 f，根据动能定理有 2210fSmv解得22604N8mvfS本题主要考查的知识点是动能定理和平抛运动的规律。滑行者共参与了两个运动：在 AB 段做的是平抛运动；在 BC 段做的是匀减速运动由动能定理可求出平均阻力，而根据平抛运动的规律可求出人离开平台时的速度【例题】如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖 A 与竖直墙壁成 530角，飞镖 B 与竖直墙壁成 370 角，两者相距为 d，假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离?(sin37 0=0.6，cos37 00.8)dBA5337解
46、析：设射出点离墙壁的水平距离为 s，A 下降的高度 h1，B 下降的高度 h2，根据平抛运动规律可知：（根据反向沿长线是中点） 53tan21sh37tan2sh答案： 74d知识链接：本题的关键是理解箭头指向的含义箭头指向代表这一时刻速度的方向，而不是平抛物体的位移方向。理解两个重要的推论：推论 1：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为 ，则 tan=2tan推论 2：做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 【例题】如图所示，排球场总长为 18m，设球网高度为 2m，运动员站
47、在网前 3m 处正对球网跳起将球水平击出。3m18m(1)若击球高度为 2.5m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间： sght 2105.201由此得排球越界的临界速度。smstxv/1/21若球恰好触网，则球在网上方运动的时间:。sgHht 10)25.()(02 由此得排球触网的临界击球速度值。smstsv/3/10/2使排球既不触网又不越界，水平击球速度 v 的取值范围为: 。smvs/21/03(2)设击球点的高度为 h，
48、当 h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有:v0h Hx2x112xgh2)(xgHh。mx153)2()(21即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网【例题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高 h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。 （设重力加速度为 g）（1）若球在球台边缘 O 点正上方高度为 h1 处以速度 v1 水平发出，落在球台的 P1 点（如图实线所示） ，求 P1 点距 O 点的距离 x1。h1oP1 h P22Lv1v2P3（2）若球在 O 点正上方以速度 v2 水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的 P2 点（如图虚线所示） ，求 v2 的大小。（3）若球在 O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方
