1、1一、整式的运算1、幂的运算（重点）（1）同底数幂相乘，底数_，指数_（2）同底数幂相除，底数_，指数_。（3）幂的乘方，底数_，指数_。（4）积的乘方，等于把积中的每一个因式_，然后把所得的幂_。2、单项式、多项式的乘法（重点、难点）（5）单项式相乘，_、_分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则_。（6）单项式乘以多项式，就是用这个单项式_，然后把所得的积_。（7）多项式相乘，就是_，然后把所得的积相加.（8）平方差公式：_.（9）完全平方公式：_。3、整式的除法（10）单项式相除，就是_。（11）多项式除以单项式，就是用这个多项式的每一项除以这个_，然后把所得的商相加。【典型例题】考
2、点一：同底数幂的运算例 1、若 2x=3，4 y=5，则 2x2y 的值为（ ）A. B. 2 C. D. 533556考点二：积的乘方、单项式、多项式的乘法例 2、计算 的结果是（ ） 432baA. B. C. D. 187617612ba128ba例 3、下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 535()3()325()6xx例 4、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第 个图案中正三角形的个数为（用含 的代数式表示）_个. nn例 5、已知： ， ，化简 的结果是 . 32ab1(2)ab考点三：平
3、方差公式、完全平方公式例 6、已知 9， ，则 223=_.例 7、先化简，再求值：代数式 ，其中 . 2()()abab13ab，2【模拟试题】一、选择题1. 多项式 3241xyx的项数、次数分别是（ ）A. 3、4 B. 4、4 C. 3、3 D. 4、32. 下列各式计算正确的是（ ）A. 442x B. aaxxC. 25x D. 326xy3. ab等于（ ）A. 2 B. 2b C. 22bD. 2ab4. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）A.（1+x） （x+1） B. 1a C.（a+b ） （a b） D. 22xyx5. 下列各式计算结果与 245相同的是（
4、 ）A. 21a B. C. 21 D. 216. 若 23yymn，则 、 的值分别为（ ）A. 5m， 6n B. ， 6 C. ， 6n D. 5m， 6n7. 一个长方体的长、宽、高分别是 34a、 、 ，它的体积等于（ ）A. 324aB. 2C. 328D. 28a8. 一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（ ）A. 三项 B. 四项 C. 五项 D. 六项9. 2bc与 2abc的关系是（ ）A. 相等 B. 互为相反数 C. 前式是后式的 a倍 D. 前式是后式的 a倍10. 下列各式的计算中不正确的个数是（ ）（1） （2）100 10)7(104（3）
5、（0.1） 0 =8 （4） （10） 4 （ =13)2( 4A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个二、沉着冷静耐心填11. 单项式23mn的系数是 ，次数是 . 12. 2334ab .13. 若 A= xy， 4Bxy，则 2AB . 14. m .15. 205204. . 16. 若 2nx，则 6nx .17. 要使 1a的展开式中不含 3项，则 .18. 若 1n， ，则 2m .三、神机妙算用心做19. 当 x=3 时，代数式 538axbc的值为 6，试求当 x=3 时， 538axbc 的值.3二、二元一次方程组与一次函数【典型例题】例 1. A、B 两地相
6、距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A、B 两地出发，相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到 A 地的距离 s（千米）都是骑车时间 t（时）的一次函数，1 小时后乙离 A 地 80 千米，2小时后甲距离 A 地 30 千米，经过多长时间两人将相遇？例 2. 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过规定的质量则需要购买行李票，且行李费 y（元）是行李质量 x（千克）的一次函数。现知李明带了 60 千克的行李，交了行李费 5 元；张华带了90 千克的行李，交了行李费 10 元。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）乘客最多可以免费携带多少千克的行李？、【
7、模拟试题】一、填空题1、写出一个二元一次方程，使 和 是它的两个解，这个二元一次方程可写为 1,yx22、一场足球赛共赛 15 轮，每队均赛 15 场，胜一场记 2 分，平一场记 1 分，输一场记 0 分某中学足球队所胜场数是所负场数的 3 倍，结果共得 19 分，则这个足球队共平_场3、若 都是方程 axby10 的解，则 a_，b_,yx1.,24、近年来，国家为了加快贫困地区教育事业的发展步伐，进一步解决贫困地区学生上学难的问题，实行了“两免一补”政策，收到了良好效果某地在校中小学生比原来增加了 4217 名，其中在校小学生增加了 10%，在校初中生增加了 23%，现在校中小学生共有 3
8、2191 名则该地原来在校中学生有_人，小学生有_人二、选择题1、已知方程 3xy 70，2x 3y1，ykx9 有公共解，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 322、如果两个单项式3x 2ab y2 与 x3ab y5a8b 的和仍是单项式，那么这两个单项式之和是（ ） A. x 5y2 B. x 10y4 C. x10y4 D. x5y28843、如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于点 B，能表示这个一次函数图象的方程是（ ） A. 2xy30 B. x y30C. 2y x30 D. x y304、古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，
9、它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干嘛？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题1、已知关于 x、y 的方程组 和 的解相同，求 的值293,1ymx.205,34nyx2nm2、直线 a 与直线 y2x 1 的交点的横坐标为 2，与直线 yx2 的交点的纵坐标为 1，求直线 a 对应的函数解析式3、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共 554 台，其中甲种机器产量要比第
10、一季度增产 10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？四、某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数（千克）不超过20 千克20 千克以上但不超过 40 千克40 千克以上每千克价格 6 元 5 元 4 元张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次） ，共付出 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？5三、不等式【典型例题】不等式的性质及运用例 1、下列四个命题中，正确的有（ ）若 ab，则 a+1b+1；若 ab，则 a1b 1；若 ab，则2ab，则 2a x2，并将其解集表示在数轴上1例 3、解不等式组，并在数轴上表示解集.
11、会列不等式（组）解应用题例 4、将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个苹果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友分不到 8 个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数解：例 5、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人， 那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人求这个中学共选派值勤学生多少人？ 共在多少个交通路口安排值勤？ 解：例 6、内江市对城区沿江两岸的部分路段进行绿化工程建设，整个工
12、程拟由甲、乙两个安装公司共同完成从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用 12 天完成；若甲 、乙合做 9 天后，由甲再单独做5 天也恰好完成如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？解：6例 7、华溪学校科技夏令营的学生在 3 名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活现有两个旅行社前来承包，报价均为每人 2000 元，他们都表示优惠；希望旅行社表示带队老师免费，学生按 8 折收费；青春旅行社表示师生一律按 7 折收费经核算，参
13、加两家旅行社费用正好相等（1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？（2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？解：例 8、我市某乡 A、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔 200 吨，B 村有柑桔 300 吨现将这些柑桔运到 C、D两个冷藏室，已知 C 仓库可储存 240 吨，D 仓库可储存 260 吨；从 A 村运往 C、D 两处的费用分别为每吨 20元和 25 元，从 B 村运往 C、D 两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元设从 A 村运往 C 仓库的柑桔重量为 x 吨，A、B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为 yA 元和 yB 元（1）请填写下表，并求出 yA、y B 与 x
14、之间的函数关系式：（2）试讨论 A、B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到 B 村的经济承受能力， B 村的柑桔运费不得超过 4830 元在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值解：【模拟试题】一、认真选一选1. 已知 ab0，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. abb2 B. a+cb+c C. bc1ab2. 不等式 2x1 的解集是（ ）A. x1 B. x1 D. x 1 B. 1x 2 C. 1x2 D. x24. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）C D 总计A x 吨 200 吨B 300 吨总计 240 吨 260 吨 500
15、吨75. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）20,1x6. 不等式组 的解集是（ ）53(1),82xA. 0x4 B. 3x4 C. 1x4 D. 2x87. 关于 x 的不等式组 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是（ ）153,2xaA. 5a B. 5a 14313C. 5a D. 5a 48. 九年级的几位同学拍了一张合影作留念， 已知冲一张底片需要 0.80 元，洗一张相片需要 0.35 元. 在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 0.5 元，那么参加合影的同学人数（ ）A. 至多 6 人 B. 至少 6 人 C. 至多 5 人 D. 至少
16、 5 人9. 现用甲、乙两种运输车将 46 吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重 5 吨， 乙种运输车载重 4 吨，安排车辆不超过 10 辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A. 4 辆 B. 5 辆 C. 6 辆 D. 7 辆10. 在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共 25 道，每道题都给 4 个答案，其中只有一个答案正确，选对得 4 分，不选或选错倒扣 2 分，得分不低于 60分得奖，那么要得奖至少应选对（ ）题A. 18 道 B. 19 道 C. 20 道 D. 21 道11. 一种灭虫药粉 30 千克，含药率 15%，现要用含药率较高的同种灭虫药粉 50千克和它混合，使混合后的含药率大于
17、 20%而小于 35%，则所用药粉的含药率 x 的范围是（ ）A. 15%x23% B. 15%x35% C. 23%x47% D. 23%x50%12. 某林场原计划在一定期限内固沙造林 240 公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多 4 公顷，结果提前5 天完成任务，设原计划每天固沙造林 x 公顷，根据题意，下列方程正确的是（ ）二、细心填一填13. 不等式组 的整数解是_. 102x14. 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 3 件； 若前面每人分 5 件，则最后一人得到的玩具8不足 3 件. 则小朋友的人数为_人. 15. 求不等式 +2y +8 所有正整数解的和 .1
18、42y三、耐心做一做16. 解下列不等式组（1） （2）253(2),.x 1(),.3x17. 九年级（3）班学生到学校阅览室上课外阅读课， 班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把 43 本书分给各小组，若每组 8 本，还有剩余；若每组分 9 本，却不够，你知道该分几个组吗？（请你帮助班长分组， 注意写出解题过程，不能仅有分组的结果哟 !）18. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行错峰用电. 规定：在每天的 7：00 到 24：00 为用电高峰期，电价为a 元/kWh；每天 0：00 到 7：00 为用电平稳期，电价为 b 元/kWh；下表为某厂 4 月和 5 月两个月的用电量和电费
19、的情况统计表：月份 用电量（万 kWh） 电费（万元）4 12 6.45 16 8.8（1）若 4 月份在平稳期的用电量占当月用电量的 ，5 月份在平稳期的用电量占当月用电量的 ，求13 14a，b 的值. （2）若 6 月份该厂预计用电 20 万 kWh，为将电费控制在 10 万元至 10.6 万元之间（不含 10 万元和 10.6万元） ，那么 6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应控制在什么范围？19. 某学校要印刷一批完全材料，甲印务公司提出制版费 900 元， 另外每份材料收印刷费 0. 5 元；乙印务公司提出不收制版费，每份材料收印刷费 0. 8 元. （1）分别写出两家印务公
20、司的收费 y（元）与印刷材料的份数 x（份） 之间的函数关系式. 9（2）若学校预计要印刷 5000 份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？四、等腰三角形1. 等腰三角形的性质与判定（1）性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 （等边对等角）如图，在ABC 中，AB=AC ，B= C. （2）定理的推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）如图，在ABC 中， AB=AC，ADBC， BAD= CAD ，BD=CD 。BAD=CAD，ADBC，BD=CD 。 BD=CD，BAD=CAD，ADBC 。2. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角
21、形是等腰三角形。 （等角对等边）如图，在ABC 中，B=C ，AB=AC。3. 等边三角形的性质与判定（1）性质定理： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60。CBA30CBA 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。如图，在 Rt ABC 中，A=30， 。12CA（2）等边三角形的判定定理：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。【典型例题】例 1. 求证：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。DCBA CBA图（1） 图（2） 图（3）D CBA10例 2. 已知：如图，ABC 是等边三角形，BD
22、 是 AC 边上的高，延长BC 到 E，使 CE=CD. 求证： DB=DE例 3. 已知：如图，在ABC 中， ， 平分 。2BCADBC求证： ACBD 21D CBA E21D CBA图评析：对于一条线段等于其他两条线段的和（或差）类型的证明题，基本的方法一般有两种：延长或截取，从而转化成证明线段相等的问题。练习：如图 RtABC 中， ， ， 平分 ，求证： .90CABCDABACDEDC BA11。【模拟试题】一、选择题1. ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC 交 AC 边于 D 点，BDC=75 ，A 为（ ）A. 35 B. 40 C. 70 D. 1102. 若等腰三角
23、形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A. 75或 15 B. 30或 60 C. 75 D. 303. 如图，ABC 中，AB=AC ，A=36，CD、BE 是ABC 的角平分线，CD、BE 相交于点O，则图中等腰三角形有（ ）A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个4. 一个等腰三角形底边的长为 5 ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为 3 ，则腰长为（ ）cmcmA. 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 10cmcm5. 三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 不确定 6. 等腰三角形的一边为
24、4，另一边为 9，则这个三角形的周长为 （ ） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17 或 22二、填空题7. 等腰三角形的顶角为 30，腰长为 16cm，则它腰上的高是_cm，面积是_cm 2。8. 已知：直角三角形 ABC 中，C=90，斜边 AB=24cm，A= ，则直角边 AC=_cm，斜30边上的高是_cm。9. 等腰三角形一腰上的中线把周长分成 15 和 12 两部分，则它的底边长是 三、解答题10. 求证有两边上的高相等的三角形是等腰三角形。11. 已知，如图，O 是ABC 的 ABC、ACB 的角平分线的交点，OD AB 交 BC于 D，OEAC 交 BC 于 E，若
25、BC = 10 cm，求ODE 的周长。13. 已知，如图，AB=AC，A=108，BD 平分ABC 交 AC 于 D. 求证：BC=AB+CD. 12五、直角三角形 C BA 30CBA DCBA图 图 图1. 直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。 90A（2）勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 22abc（3）直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。如图，Rt ABC 中， ， 。301BC逆命题成立：如图，RtABC 中， ， 。2A30（4）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。如图， Rt ABC 中， ，AD12. 直角三角形的判定（1）定义：有一个角是
26、直角的三角形是直角三角形。（2）有两个锐角互余的三角形是直角三角形。（3）如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3. 直角三角形全等的判定定理： ABCC BA（1）有两条边对应相等的两个直角三角形全等。两条直角边对应相等；斜边和一条直角边对应相等（HL）【典型例题】例 1. 求证：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。13CBADCBA DCBA图 图 例 2. ABC 中，AB=13cm ， BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm。求证：AB=AC 。例 3. 已知：如图， ， ，E 为 AB 上的一点。9
27、0ACBDACD求证：CE=DE .例 4. 已知：如图，ABC 中，高 AD 和 BE 相交于点 H， 。45ABC求证：BH=AC.【模拟试题】一、选择题1. 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是A. 两条直角边对应相等 B. 有两条边对应相等C. 一条边和一个锐角对应相等 D. 一条边和一个角对应相等2. 以下面各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是 （ ）51213D CBAEDCBA21HDECBA14A. 1，1，2 B. 5，12， 13， C. 6，8，10， D. 9，12，153. 等边三角形的边长为 2，则它的面积是（ ）A. 2 B. 4 C. D. 3434.
28、已知：如图，CEAB，DFAB，垂足分别为 E , F , AF=BE , 且 AC=BD , 则不正确的结论是（ ）A. Rt AECRtBFD B. C +B=90 C. A=D D. ACBD. 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A. 如果 x0，那么 0 B. 全等三角形的面积相等2C. 内错角相等，两直线平行 D. 对顶角相等二、填空题6. 在 RtABC 中，C=90，A=30，则 abc=_7. 一个三角形三个内角之比为 112，则这个三角形的三边比为_8. 如图，在 RtABC 和 RtDCB 中，AB= DC，A=D =90，AC 与 BD 交于点 O，则有_， 其判定
29、依据是_，还有_，其判定依据是_ 9. 已知：如图，BE，CF 为ABC 的高，且 BE=CF，BE ，CF 交于点 H，若 BC=10，FC=8，则EC=_ 10. 有一个直角三角形纸片，两直角边的长 AC=5cm，BC=10cm，将ABC 折叠，点 B 与点 A 重合，则 DC的长=_ EDCBA三、解答题11. 已知：如图 , E, B, F, C 四点在同一直线上, A=D=90 , BE=FC, AB=DF求证：E= C12. 如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯
30、足将向外移多少米？1513. 如图，已知等腰 RtAOB 中，AOB=90，等腰 RtEOF 中，EOF=90，连接 AE、BF求证：（1）AE=BF；（2）AEBF六 线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如图， 点 在直线 上，ACBMNA，PMN P2. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ， 点 在线段 AB 的垂直平分线上。AB判断正误：“若 ，那么经过点 的直线就是线段 AB 的垂直平分线。 ”PP3. 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
31、如图，ABC 中，边 AB 和 BC 的垂直平分线 MN 和 GH相交于点 P，根据线段垂直平分线的性质定理则有 PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理，点 在P线段 AC 的垂直平分线上，因此，ABC 三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。【典型例题】例 1. 如图所示，已知 ABAC，A40，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D。求DBC 的度数例 2. 已知：如图所示，在 RtABC 中，过直角边 AC 上的一点 P 作直线交 AB 于点16M，交 BC 的延长线于点 N，且 APM A求证：点 M 在 BN 的垂直平分线上例 3. 如图，在ABC 中，A
32、B=AC ，A=120，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N 求证：CM=2BM 例 4. 如图，河的同侧有 A、 B 两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。练习： 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，点 E 是 BC 边的中点，当点 P 运动到 AC 上的什么位置时，PB+PE 的值最小？最小值是多少？【模拟试题】一、选择题1. 如左下图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A、CD 垂直平分 AB B、AB 垂直平分 CD C、CD 平分 ACB D
33、、以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是 ( )A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形3. 如图，ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm ，那么DBC 的周长是 ( )A、6 cm B、7 cm C、8 cm D、9 cm4. 三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（ ）17A、三角形内部 B、三角形外部 C、三角形的一条边上 D、三种情况都有可能二、填空题5. 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_6. 如图， D 为 BC 边上一点，且 BC=BD+AD，则 A
34、D_DC，点 D 在_的垂直平分线上7. 如图，在 ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于 E，交 BC 于 D，ABD 的周长是 12 cm， AC=5cm，则 AB+BD+DC=_cm；ABC 的周长是 _cm. 8. 如图，BAC=120 ，AB= AC，AC 的垂直平分线交 BC 于 D，则ADB=_度三、解答题9. 已知：如图所示，ABC 是等边三角形，AD 是高，并且 AB 恰好是 DE 的垂直平分线求证：ADE 是等边三角形 10已知：如图所示，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使 CECD求证：点 D 在线段 BE 的垂直平分线上七、角的平分线1. 角
35、的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。2. 角的平分线作图：如图（1） ，射线 OC 就是AOB 的角平分线。18PNM CBOA PNMCBOA图（1） 图（2）3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。如图（2） ，AOC=BOC，PMOA，PNOB，PM=PN。4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。如图（2） ，PMOA，PNOB，PM=PN，AOC= BOC。5. 三角形的三条角平分线的性质：如图，三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相
36、等。【典型例题】例 1. 如图（1） ，AOB=30，OP 平分AOB，PC OB 交 OA 于点 C，PMOB 于点 M。求证：PC=2PM CMPBAON图（1） 图（2）例 2. 如图（3） ，PA=PB， A+B=180。求证：点 P 在AOB 的角平分线上。BAPONMBAPO图（3） 图（4）例 3. 如图（5）ABC 的外角 CBM 和 BCN 的角平分线相交于点 P。求证：点 P 在MAN 的角平分线上。E FDN MCBA19NMPCBA NMFEDABCP图（5） 图（6）例 4. 如图（7） ，在 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=4，将ACD 沿 AD 折叠，
37、点 C 落在斜边 AB 上点 E处。计算线段 DE 的长。 ED BCA图（7）【模拟试题】一、选择题1. 如图，点 P 在AOD 的角平分线上，PCOA，PB OD，则图中的全等三角形共有多少对（ ） 。A、2 B、3 C、4 D、52. 到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ）A、三条中线的交点 B、三条高的交点 C、三条角平分线的交点 D、三条边的垂直平分线的交点3. 如图， RtABC 中，C=90，AD 平分CAB，DC=5cm，则点 D 到线段AB 的距离为（ ）A、5cm B、4cm C、3cm D、2cm 4. 如图，Rt ABC 中，A=90，BD 平分ABC ，AD
38、=2cm，则 DC 的长为（ ） DCBAA、 2cm B、4cm C、 cm D、 cm 22二、填空题5. 三角形的三条角平分线 ，并且 。6. 如图，ABC 中，BD 是角平分线，DEAB，AB=18cm，BC=12cm， ，则线段 DE= 。2ABCcm36SPCDBAO DC BAEDC AB207. 如图，点 P 是ABC 的内角 ABC 和外角 ACD 的角平分线的交点，点 P 到边 AC 的距离为 4cm，则点 P到边 AB 的距离是 。三、解答题8. 证明等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。9. 如图，点 P 在AOB 的角平分线上。PA=PB，求证：A+PBO=180。 DBAOP10. 如图，RtABC 中， C=90，沿经过点 B 的一条直线折叠ABC，使点 C 恰好落在斜边 AB 的中点 E处，求A 的度数。 EDCBA11. 如图，要在三条公路 AB、AC、BC 之间修建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，加油站应建在什么位置？ CBAPDCBA21
