1、九（上）数学预习专题,淮安外国语学校暑假学习指导,制 作：王从亮 审 核：成学斌,4.1一元二次方程,解：设花圃的宽是 则花圃 的长是 。,（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？,解：设正方形桌面的边长是,（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？,根据题意，得,问题情境,（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？,问题情境,解：设梯子滑动的距离是X米。根据勾股定理，由题意得,（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等
2、，求梯子滑动的距离。,X,问题情境,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2。,?,像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。,一元二次方程是刻画现实世界的一种数学模型,看谁眼力好！,下列方程中，哪些是一元二次方程？,先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件,把下列一元二次方程化简为右边为0的形式,a x 2 + b x + c = 0,(a、b、c为常数且a 0),a x 2 + b x + c = 0,(a、b、c为常数且a 0),一元二次方程的一般形式,为什么要限制a0，b,c可以为零吗？,二次
3、项系数,一次项系数,b x叫一次项,a x 2 又叫二次项,c叫常数项,例题讲解,例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： (1),例题讲解,(2),解：,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,牛刀小试,1、把下列方程化成一元二次方程的一 般形式， 并写出它的二次项系数、 一次项系数和常数项。,课堂练习,2、已知x=2是一元二次方程 的一个解，则m=_ 。,牛刀小试,课堂练习,3、已知 是方程 的一个解，则 的 值是_。,-3,5,1、（苏州）若 是关于 的一元二次方程，则（ ）,走进中考,2、,是关于 的一元二次方程，,则m的
4、值为,C,(南京),变式,一元一次方程,A、p为任意实数 B、p=0 C、p0 D、p=0或1,以2、3、0三个数作为一个一元二次 方程的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条件的不同的一元二次方程。,开放性试题,1、一元二次方程的概念,2、一元二次方程的一般形式,小结：,思考题,已知 是关于x的一元二次方程，求m,n 的值。,?,初中数学九年级上册 （苏科版）,一元二次方程的解法 直接开平方法 （第1课时）,1.什么叫做平方根?,如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。,知识回顾,用式子表示：,若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=,如：9的平方根是_,3,的平方根是_,2.平
5、方根有哪些性质？,(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。,即x= 或x=,尝试,如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?,解（1）x是4的平方根,即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =2,（2）移向，得x2=2, x就是2的平方根 x=,即此一元二次方程的根为： x1= ，x2=,x2,像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。,概括总结,说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a0）或 （x+h）2=k（k0）的形式，然后再根据平方
6、根的意义求解,什么叫直接开平方法？,试一试：,A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号,已知一元二次方程mx2+n=0(m0),若方 程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根， 则m、n必须满足的条件是（ ）,B,典型例题,例1解下列方程 （1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0,解（1）移向，得x2=1.21,x是1.21的平方根,x=1.1,即 x1=1.1，x2=-1.1,（2）移向，得4x2=1,两边都除以4，得,x是 的平方根,x=,即x1= ，x2=,x2=,典型例题,例2解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（32x）23 = 0,
7、分析：第1小题中只要将（x1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解；,解：（1）x+1是2的平方根,x+1=,典型例题,分析：第2小题先将4移到方程的右边，再同 第1小题一样地解；,例2解下列方程： （x1）24 = 0 12（32x）23 = 0,即x1=3，x2=-1,解：（2）移项，得（x-1）2=4,x-1是4的平方根,x-1=2,典型例题,例2解下列方程： 12（32x）23 = 0,分析：第3小题先将3移到方程的右边，再 两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后 两边都除以-2即可。,解：(3)移项，得12（3-2x）2=3,两边都除以12，得（3-2x）2=0.25,
8、3-2x是0.25的平方根,3-2x=0.5,即3-2x=0.5,3-2x=-0.5,典型例题,例3.解方程(2x1)2=(x2)2,即x1=-1，x2=1,分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解,解：2x-1=,即 2x-1=（x-2）,2x-1=x-2或2x-1=-x+2,首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解,讨论,1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？,如果一个一元二次方程具有（xh）2= k（k0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。,2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
9、是什么？,3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明,练一练,;x2=,(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4,1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）,(A)x2=-2,解方程，得x=,(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4,(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1=,D,练一练,2、解下列方程：（1）x2=16 （2）x2-0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2-144=0,3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-
10、5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2,练一练,初中数学八年级下册 （苏科版）,4.2一元二次方程的解法 配方法2 （第3课时）,知识回顾,1.什么是配方法？,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square),用配方法解一元二次方程的方法的助手:,如果x2=a,那么x= x就是a的平方根,2.什么是平方根？,3.什么是完全平方式？,式子a22ab+b2叫完全平方式,且 a22ab+b2 =(ab)2.,知识回顾,4.用配方法解下列方程：,(1)x2-6x-16=0(2)x2+3x-
11、2=0,想一想：,请你思考方程x2- x+1=0与 方程2x2-5x+2=0有什么关系？,后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出 方程的解,如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？,试一试,用配方法解方程2x2-5x+2=0,，x2=2,解：两边都除以2，得,移项，得,配方，得,开方，得,即,系数化为1,移项,配方,开方,定解,典型例题,2.用配方法解方程-3x2+4x+1=0,分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1，再求解,解：两边都除以-3，得,移项
12、，得,配方，得,即,开方，得,系数化为1,移项,配方,开方,定解,1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？,概括总结,=,首先要把二次项系数化为1,2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：,（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根,概念巩固,用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）,A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0化为(t-,)2=,C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0化为(x-,)2=,C,典型例题,例 解下列方程,（1）4x2-12x-1=0 (2)2x
13、2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2,解：（1）系数化为1，得,移项，得,配方，得,开方，得,即,典型例题,(2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2,例 解下列方程,(2)解 系数化为1，得,移项、配方，得,即,开方，得,(3)3-7x=-2x2,例 解下列方程,典型例题,(3)解 系数化为1，得,移项、配方，得,即,开方，得,说明：对于二次项 系数不为1的一元二次 方程化为（x+h）2=k 的形式后，如果k是非 负数，即k0，那么 就可以用直接开平方 法求出方程的解； 如果k0，那么方程 就没有实数解。,想一想,一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小
14、球运动的时间 t（s）有如下关系：h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？,练一练,(3)2x2+3x=0(4)3x2-1=6x (5)-2x2+19x=20(6)-2x2-x-1=0,试一试,2.用配方法求2x2-7x+2的最小值,3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0,九年级数学(上)第三章： 一元二次方程,3.4 用因式分解法解 一元二次方程,配方法,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square),平方根的意义:,完全平方式:式子a22ab+
15、b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2.,如果x2=a,那么x=,用配方法解一元二次方程的方法的助手:,配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:,1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.,公式法,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(so
16、lving by formular).,老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0.,你能解决这个问题吗,一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？,小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,小颖做得对吗?,小明做得对吗?,你能解决这个问题吗,一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？,小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,小亮做得对吗?,分解因式法,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就
17、可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.,老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,分解因式法,例1、解方程: (1)15x2+6x=0; (2) 4x2-9=0.,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,2. 将方程左边因式分解;,3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,1.化方程为一般形式;,1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.,解：
18、1.(x+2)(x-2)=0,x+2=0,或x-2=0.,x1=-2, x2=2.,淘金者,你能用分解因式法解下列方程吗？,2.(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0,或x-4=0.,x1=-6, x2=4.,这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?,分解因式法,例2、解方程:,争先赛,1.解下列方程:,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,参考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：,二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解,但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢?,观察下列各式,也许你能发现
19、些什么,回味无穷,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解;(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.,解下列方
20、程,参考答案：,九年级数学(上)第三章： 一元二次方程,3.3 公式法解一元二次方程（1）,公式法是这样生产的,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0)吗?,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,公式法,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving b
21、y formular).,老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0.,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,3、代入求根公式 :,2、求出 的值，,1、把方程化成一般形式，并写出 的值。,4、写出方程的解：,特别注意:当 时无解,例 2 解方程：（x+1)(3x-1)=1,这里 a=3, b= 2, c= -2.,b2 - 4ac=22 - 43（-2）=28,解：去括号：3x2-x+3x-1=1,化简为一般式：,3x2+2x-2=0,例 2 解方程：,解：化简为一般式：,这里 a=1, b= , c=
22、3.,b2 - 4ac=( )2 - 413=0,即：x1= x2=,参考答案:,我最棒 ,解题大师规范正确!,解下列方程: (1). x2-2x80； (2). 9x26x8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;,例 3 解方程：,解：化简为一般式：,这里 a=2 b= 1 c= 0,b2 - 4ac=12 - 410=1,即：x1=0 x2=,我最棒 ,用公式法解下列方程,1). 2x2x6 ；2). 4x2- 3x - 1=x 2；3). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1);4). 9x2+6x+1 =0 ；5). 16x2+8x=3 ；,参考答案：,回味无穷,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式:,
