1、ADBADEBADCFEBADDQFEBAD图 1ADBADCFEBADDQFEBAD图 241. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图 1，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延长 DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCDS ABE 请你给出这个结论成立的理由，并过点 A 作出梯形 ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹） ；（3）如图，四边形 AB
2、CD 中，AB 与 CD 不平行，S ADC S ABC ，过点 A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由解：(1) 中线所在的直线 (2)法一：连接 BE，因为 ABCE,AB=CE，所以四边形 ABEC 为平行四边形所以 BEAC 所以ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等所以有 ABCES所以 DABCDAECDSS四法二： 设 AE 与 BC 相交于点 F因为 ABCE ，所以 ,F又因为 AB=CE所以 ABFE所以 ABFCBFAEDCDFCDAFDSSS四边 边 四过点 A 的梯形 ABCD 的面积等分线的画法如右图（
3、 1）所示 (3)能.连接 AC,过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E,连接 AE.因为 BEAC, 所以ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等所以有 ACES所以 DABCDAECDBSS四A BCD图 1A BCD图 3周长_A BCD图 4A BCD图 2周长_因为 ACDBS四所以面积等分线必与 CD 相交,取 DE 中点 F则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面积等分线作图如右图(2)所示42. 如图 1，有一张菱形纸片 ABCD，AC8，BD6（1）请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平行四边形，在图 2 中用实线画出你所拼
4、成的平行四边形；若沿着 BD 剪开，请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长（1） 沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图 4 中用实线画出拼成的平行四边形（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）43. 在ABC 中，BAC =45，ADBC 于 D，将ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处；将ACD 沿 AC 所在直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M(1)判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明(2)若 BD=1，CD=2 ，试求四边形 AEMF 的面积解：（1）AD BCA
5、EB 是由ADB 折叠所得1=3，E=ADB= ，BE=BD, AE=AD09又AFC 是由 ADC 折叠所得2=4，F= ADC= ，FC=CD，AF=AD0AE=AF 又1+2= ， 05AB CD43 21MFED CBA3+4= 045EAF= 9四边形 AEMF 是正方形。（2）方法一：设正方形 AEMF 的边长为 x根据题意知：BE=BD, CF=CDBM=x1; CM=x 2在 Rt BMC 中 ,由勾股定理得：22BMC 9)()1(2x032x解之得： (舍去)2712173x )3(AEMFS正 方 形方法二：设：AD=x = DBCA21x2 SSAEF3五 边 形 )2
6、(1 xMBMC且 BCAEFAEF五 边 形正 方 形 即)(2132xx 032x解之得： (舍去)71 172 3)3(2AEMFS正 方 形44. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB ； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小； M 点在何处时，AMBMCM 的值最小， 并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.13解：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BM
7、ANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小.如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小.理由如下：连接 MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.根据“两点之间线段最短” ，得 ENMNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长.过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF906030.设正方形的边长为 x，则 BF x，EF .23在 RtEFC 中，E
8、F 2FC 2EC 2，（ ） 2（ xx） 2 .x3213解得，x （舍去负值）.正方形的边长为 . 245.问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.EA DB CNMOFEA DB CNM我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个
9、正六边形的内角问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得： ，8209036xyA238我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 1xy结论 1
10、：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证 2：结论 2： 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想 3： 验证 3：结论 3： 解：3
11、个； 验证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 a 个正三角形和 b 个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程： 601360ab整理得： ， 可以找到两组适合方程的正整数解为 和 2ab41结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或者围绕着 4 个正三角形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m 个正三角形、 n 个正方形和 c 个正六边形的内角可以拼成一个周角
12、. 根据题意，可得方程：，60912036mnc整理得： ，4可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 .12nc结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形、2 个正方形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. 46. 在 ABCD 中，AC 、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE.（1）如图，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图，当 EFGH 时，四边形 EGFH 的形状是 ；（3）如图，在（2）的条件
13、下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；（4）如图，在（3）的条件下，若 ACBD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由.解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形 证明： ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O点 O 是 ABCD 的对称中心EO=FO，GO=HO四边形 EGFH 是平行四边形 （2）菱形 （3）菱形 （4）四边形 EGFH 是正方形 证明：AC= BD， ABCD 是矩形 又AC BD， ABCD 是菱形 ABCD 是正方形，BOC=90 ，GBO =FCO=45OB=OCEFGH ，GOF=90BOG =COF BOGCOFOG= OF，GH=EF 由（
14、1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又EFGH，EF=GH.四边形 EGFH 是正方形 47.关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根230xkHGFEODCBA图HGFEODCBA图AB CDOEFGH图AB CDOEFG H图（第 23 题图）（1）求 k 的取值范围（2）请选择一个 k 的负整数值，并求出方程的根解：（1）方程有两个不相等的实数根， 02(3)4)k即 ，解得， 4994k（1 ） 若 k 是负整数，k 只能为1 或2 如果 k1，原方程为 310x解得， ， 1352x25（如果 k2，原方程为 ，解得， ， ）30x1x248.已知关于 的一元二次方程 有两个
15、实数根 和 x22(1)m12（1）求实数 的取值范围；m（2）当 时，求 的值210解：（1）由题意有 ， 2(1)40解得 全品中考网4即实数 的取值范围是 m4（2）由 得 210x1212()0xx若 ，即 ，解得 2m ， 不合题意，舍去4m若 ，即 ，由（1）知 120x12x014故当 时， 449.类比学习：一动点沿着数轴向右平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，相当于向右平移1 个单位用实数加法表示为 3+（ ）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴2方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移 个单位） ，沿 y 轴方向平移的数量a为 b（向上为正，向下为负，平移
16、 个单位） ，则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b 与“平移量”c，d的加法运算法则为dbcadcba，解决问题：（1）计算：3，1+1 ，2；1 ，2+3，1（2）动点 P 从坐标原点 O 出发，先按照“平移量”3，1平移到 A，再按照“平移量”1， 2平移到 B；若先把动点 P 按照“平移量”1 ，2平移到 C，再按照“平移量”3， 1平移，最后的位置还是点 B 吗? 在图 1 中画出四边形 OABC.证明四边形 OABC 是平行四边形.（3）如图 2，一艘船从码头 O 出发，先航行到湖心岛码头 P（2，3） ，再从码头 P 航行到码头 Q（5，5） ，最后回到出发
17、点 O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程解：（1）3，1+1 ，2=4，3 1， 2+3，1=4，3 （2）画图 最后的位置仍是 B 证明：由知，A（3，1 ） ，B(4，3) ，C（1，2）OC=AB= = ，OA=BC= = ，2530四边形 OABC 是平行四边形 （3）2，3+3 ，2+-5 ，-5=0, 0 50.已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）xm 2 的两实数根为 x1，x 2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m 2 = 0
18、 原方程有两个实数根， = 2（m1） 24m 2 =8m + 40，得 m 1（2） x 1，x 2 为 x2 + 2（m1）x + m 2 = 0 的两根， y = x 1 + x2 =2m + 2，且 m 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 2时，取得极小值 151.已知一元二次方程 02x（第 22 题）yO 图 2Q（5, 5）P（2, 3）yO图 111xxyO 11xABC（1）若方程有两个实数根，求 m 的范围；（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 +3 =3，求 m 的值。1x21x2解：（1）=4-4m因为方程有两个实数根， 所以，4-4m0，即 m1（2）由一元
19、二次方程根与系数的关系，得 + =21x2又 +3 =3 所以， =1x22x1再把 = 代入方程，求得 =m4352.问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述） ；（3 分）尝试证明以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底，以 为高的直角梯形ba（如图 2） ，请你利用图 2，验证勾股定理；（4 分）知识拓展利用图 2 中的直
20、角梯形，我们可以证明 其证明步骤如下：.2c= 。ADbaBC,又在直角梯形 ABCD 中有 BC AD（填大小关系） ，即 ，解答： 定理表述如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 ,22cba尝试证明ABERt,EDCABCt又 90,90D.,AEDRtDCtABERtABCDSS梯 形.2121)(21cabba整理，得 .2c知识拓展 cbaADRCA2, .2ba53.若关于 的一元二次方程 有实数根 x 01)(22kxx 、（1） 求实数 k 的取值范围；（2） 设 ，求 t 的最小值t解：（1）一元二次方程 有实数根 ，012)2(kxx 、 ，0即 ，
21、0)1(4)2(2k解得 k（2）由根与系数的关系得： ，k24)(2 ， 42kkt ， ，0 ，24k即 t 的最小值为4 54.八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：（）AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线.（）AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 O
22、P 就是AOB 的平分线.（1）方案（） 、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PMOA，PNOB.此方案是否可行？请说明理由. 解：（1）方案（）不可行.缺少证明三角形全等的条件. （2）方案（）可行. 证明：在OPM 和OPN 中OPNMOPMOPN(SSS)AOP=BOP(全等三角形对应角相等) （3）当AOB 是直角时，此方案可行 . 四边形内角和为 360，又若 PMOA,PNOB, OMP=ONP=90, MPN=9 0,AOB=90若 PMOA,PNOB,且 PM=PNOP 为AOB 的平分线.(到角
23、两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当AOB 不为直角时，此方案不可行 .55.关于 x 的一元二次方程 、1201xpx有 两 实 数 根.2（1）求 p 的取值范围；（4 分）（2）若 的值.（6 分）p求,9)()1(2解：（1）由题意得： .0)(4)(2p解得： 5（2）由 得，9)1(2)1(2xx.(21x.1, ,00,221pxpx的 两 实 数 根是 方 程.9)(,9)( 2即.4,或 .45pp的 值 为所 求说明：1可利用 代入原求值式中求解；,1,221xx得 1x56.如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D，E ，F 分别为边 AB，AC ，BC 的中点，
24、M 为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移EFNAB CDM动） （1）如图，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图 图
25、图第 25 题图ABCD EFNM FEDCBANM FEDCBA（1）判断 ： EN 与 MF 相等 （或 EN=MF） ，点 F 在直线 NE 上， （2）成立证明 ：法一：连结 DE， DF ABC 是等边三角形， AB=AC=BC又 D， E， F 是三边的中点， DE， DF， EF 为三角形的中位线 DE=DF=EF， FDE=60又 MDF+ FDN=60， NDE+ FDN=60， MDF= NDE 在 DMF 和 DNE 中， DF=DE， DM=DN， MDF= NDE， DMF DNE MF=NE 法二：延长 EN，则 EN 过点 F ABC 是等边三角形， AB=AC=
26、BC又 D， E， F 是三边的中点， EF=DF=BF BDM+ MDF=60， FDN+ MDF=60， BDM= FDN又 DM=DN， ABM= DFN=60， DBM DFN BM=FN BF=EF， MF=EN 法三：连结 DF， NF ABC 是等边三角形， AC=BC=AC又 D， E， F 是三边的中点， NCAB FMD ENCAB FMD E DF 为三角形的中位线， DF= AC= AB=DB 21又 BDM+ MDF=60， NDF+ MDF=60， BDM= FDN 在 DBM 和 DFN 中， DF=DB，DM=DN， BDM= NDF， DBM DFN B= D
27、FN=60又 DEF 是 ABC 各边中点所构成的三角形， DFE=60可得点 N 在 EF 上， MF=EN （3）画出图形（连出线段 NE） ， MF 与 EN 相等的结论仍然成立（或 MF=NE 成立） 57.如图，已知 ABC 中， 10厘米， 8BC厘米，点 D为 AB的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/ 秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，D与 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使
28、B 与 CQ 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 A 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条边上相遇？解：（1） 1t秒， 3P厘米， 0厘米，点 D为 AB的中点， 5B厘米又 8C， 厘米， 83厘米， P又 A， ， BDQ Pv， C，又 ， B，则 45PCQBD， ，AQCDB PAQCDB P点 P，点 Q运动的时间 43BPt秒， 5143Cvt厘米/秒 （2）设经过 x秒后点 P与点 第一次相遇，由题意，得 152104，解得 803x秒点 P共运动了 8厘米 24，点 、点 Q
29、在 AB边上相遇，经过 803秒点 与点 第一次在边 AB上相遇58.已知关于 的一元二次方程 （ 为常数） x2260xk（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设 ， 为方程的两个实数根，且 ，试求出方程的两个实数根和 的12 124xk值 解：（1） ，036)(4)6(42222 kkacb因此方程有两个不相等的实数根 （2） ，121bx又 ，4解方程组： 解得： 126,x218.,x方法一：将 代入原方程得： ，10)()(2k解得： 4k方法二：将 代入 ，得： ，21x和 12ca182解得： k59.如图，四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，函数 kyx(x0)
30、的图象经过点 B(1)求 k 的值；(2)将正方形 OABC 分别沿直线 AB、BC 翻折，得到正方形 MABC、MABC设线段MC、NA分别与函数 (x0)的图象交于点 E、F，求线段 EF 所在直线的解析式yx60.如图，P 1 是反比例函数 )0(kxy在第一象限图像上的一点，点 A1 的坐标为(2，0) （1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，P 1O A1 的面积 将如何变化？（2）若P 1O A1 与P 2 A1 A2 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 A2 点的坐标解：（1）P 1OA1的面积将逐渐减小 （2）作 P1COA 1，垂足为 C，因为P 1O A1为等边三角形，
31、所以 OC=1，P 1C= 3，所以 P1 )3,( 代入 xky，得 k= ，所以反比例函数的解析式为 xy3 作 P2DA 1 A2，垂足为 D、设 A1D=a，则 OD=2+a，P 2D= a，所以 P2 )3,(a 代入 xy，得 3(，化简得 012解的：a=-1 a0 21a 所以点 A2的坐标为 ，061.如图 13，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（ 4，2） 过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB，BC交于点 M，N（1）求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；（2）若反比例函数 （ x
32、0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通过my计算判断点 N 是否在该函数的图象上；（3）若反 比 例 函 数 （ x 0） 的 图 象 与 MNB 有 公 共 点 ， 请 直 接 写 出 m 的 取 值 范 围 解：（1）设直线 DE 的解析式为 ，bky点 D ，E 的坐标为（0，3） 、 （6，0） ， .60,3k解得 .3,21bk321xy 点 M 在 AB 边上，B（4， 2） ，而四边形 OABC 是矩形， 点 M 的纵坐标为 2又 点 M 在直线 上，31xy 2 = x = 2 M（2，2） 31（2） （x0）经过点 M（2，2） ， .my4mxy又 点 N
33、在 BC 边上，B （4，2） ，点 N 的横坐标为 4 点 N 在直线 上， N（4，1） 31y 当 时，y = = 1，点 N 在函数 的图象上4xxx（3）4 m 862.如图，已知反比例函数 与一次函数kyx的图象在第一象限相交于yxb点 (1,4)Ak（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点 的坐标，B并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 的取值范围x解：（1）已知反比例函数 经过点 ，kyx(1,4)AkxMNyDA BC EO图 13 ，即41k4k A(1，2)2一次函数 的图象经过点 A(1，2)，yxb 1b反比例函数的表达式为 ，
34、2yx一次函数的表达式为 。1（2）由 消去 ，得 。2yxy20x即 , 或 。()10x1 或 。y2 或1xy点 B 在第三象限，点 B 的坐标为 。(21)，由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时， 的取值范围是 或 。x2x01x63.如图所示，直线 AB 与反比例函数图像相交于 A， B 两点，已知 A（1，4）.（1）求反比例函数的解析式；（2）连结 OA，OB，当AOB 的面积为 时，求直线 AB 的解析式.152xyOBC A(1，4)xyOBC A（1，4）解：（1）设反比例函数解析式为 y= ，kx点 A（1，4）在反比例函数的图象上4= ，k=4，反比例函数的解
35、析式为 y= .4（2）设直线 AB 的解析式为 y=ax+b（a0，b0） ，则当 x=1 时，a+b=4 即 b=4a.联立 ，得 ax2 +bx4=0，即 ax2 +（4a）x4=0，4yxab方法 1：（x1） （ax+4）= 0，解得 x1=1 或 x= ，设直线 AB 交 y 轴于点 C，则 C（0，b） ，即 C（0，4a）由 SAOB =SAOC +SBOC = ，整理得15(4)()222aAAa2+15a16=0 ，a=1 或 a=16（舍去） b=4 1=3 直线 AB 的解析式为 y=x+3方法 2：由 SAOB = |OC|x2x 1|=12 152而|x 2x 1|
36、= = = = ，()44()()aA|a4(0)a|OC|=b=4a，可得 ，解得 a=1 或 a=16（舍去）.5()2a64.近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是 CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中 CO 的浓度达到 4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第 7 小时达到最高值 46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的 CO 浓度成反比例下降.如图，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的 CO 浓度达到 34 mg/L 时，井下 3
37、km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的 CO 浓度降到 4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设 y 与 x 的函数关系式为 1ykxb由图象知 过点（0 ，4）与（7，46）1kb . 解得 ,1476bk164kb ,此时自变量 的取值范围是 0 7.yxxx(不取 =0 不扣分， =7 可放在第二段函数中) 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设 y 与 x 的函数关系式为 .2kyx由图象知 过点（7,46） ，2k .
38、,246723 ，此时自变量 的取值范围是 7. 3yxxx（2）当 =34 时，由 得,6 +4=34， =5 .64y撤离的最长时间为 7-5=2(小时).撤离的最小速度为 32=1.5(km/h).(3)当 =4 时，由 得 , =80.5，80.5-7=73.5(小时).y32x矿工至少在爆炸后 73.5 小时能才下井.65.如图 1，在ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若点 B、P 在直线 a的异侧，BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N，连接 PM、PN。（1）延长 MP 交 CN 于点 E（如图 2） 。求证：BPM CPE；PM=PN；（
39、2）若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B、P 在直线 a 的同侧，其它条件不变，此时 PM=PN 成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时 PM=PN 还成立吗？不必说明理由.(1）证明：如图 2BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 NBMN=CNM=90BMCNMBP=ECP又P 为 BC 边中点BP=CP又BPM=CPEBPMCPE BPMCPEPM=PEPM= ME21在 RtMNE 中，PN= ME21PM=PN（2）成立。如图 3 证明：延长
40、 MP 与 NC 的延长线相交于点 EBM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 NBMN=CNM=90BMN+CNM=180BMCNMBP=ECP 又BPM=CPEBPMCPEPM=PEPM= ME21则在直角三角形中，PM= ME21PM=PN(3)四边形 MBCN 是矩形PM=PN 成立66. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但 A 到 EF 的距离 AH始终保持与 AB 长相等，问在 E、F 移动过程中：（1）EAF 的大小是否有变化？请说明理由（2）ECF 的周长是否有变化？请说明理由答：不变，理由是：在 Rt ABE 和 RtAHE 中，AB=
41、AH，AE=AE，所以 RtABERtAHE，所以 HE=BE，同理 HF=DF.所以ECF 的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见ECF 的周长等于正方形边长的两倍.67.如图 1，在ABC 中，AB=BC，P 为 AB 边上一点，连接 CP，以 PA、PC 为邻边作APCD， AC 与 PD 相交于点 E，已知ABC= AEP=（090）.（1）求证：EAP=EPA；（2）APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图 2，F 为 BC 中点，连接 FP，将AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到MEN（点 M、N 分别是 MEN 的两边与 BA、FP 延长线的交点）.猜想线段 EM
42、 与 EN之间的数量关系，并证明你的结论.(1)证明：在 ABC 和 AEP 中ABC=AEP，BAC=EAP ACB=APE在 ABC 中，AB=BCACB=BAC EPA=EAP(2)答： APCD 是矩形四边形 APCD 是平行四边形 AC=2EA, PD=2EP 由（1）知 EPA=EAP EA=EP则 AC=PDAPCD 是矩形(3)答： EM=ENEA=EP EPA=90 12EAM=180-EPA=180-(90- )=90+ 12 12由（2）知CPB=90,F 是 BC 的中点， FP=FBFPB=ABC= EPN=EPA+APN=EPA+FPB=90- +=90+ 12 1
43、2 EAM= EPN AEP 绕点 E 顺时针旋转适当的角度，得到 MEN AEP=MEN AEP- AEN=MEN-AEN 即 MEA=NEP EAM EPN EM=EN68.如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，AB BC ，DCB=75，以 CD 为一边的等边DCE 的另一顶点 E 在腰 AB 上（1）求AED 的度数；（2）求证：AB= BC；（3）如 图 2 所示，若 F 为线段 CD 上一点，FBC=30求 的DFFC 值图 1ABD CEP图 2A BD CEPMNF69. 问题: 已知ABC 中，BAC=2ACB，点 D 是ABC 内的一点，且AD=CD，BD =BA，探究DBC 与ABC 度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图观察图形，AB 与 AC 的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC 的度数为 ；可得到DBC 与ABC 度数的比值为 （2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明解：（1）相等；15；1:3(2)猜想： DBC 与 ABC 度数的比值与（1）中的结论相同证明：如图 2，作 KCA= BAC，过 B 点作 BK AC，
