1、 初一数学全等三角形之动点问题专题（B 类）1、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。等边三角形中的动点问题是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运
2、动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变” ，以“不变的”来解决“变” ，以达到“以静制动” ，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。 本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、
3、三角函数等思想方法。 2、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图ABC 是边长 3cm 的等边三角形.动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动.设点 P 的运动时间为（s） ，那么 t=_时，PBC 是直角三角形？2、双动点问题引例：已知，如图ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，如果动点 P、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时，PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图ABC 是边长 3cm 的等
4、边三角形. 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于 D. 如果动点P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为 t（s） ，那么 当 t 为何值时，DCQ是等腰三角形?B CPACQBPAQDB CPAABCDEF变式练习：1、已知，如图ABC 是边长 3cm 的等边三角形.动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于D. 如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t（s） ，连接 PC.
5、请探究：在点 P、Q 的运动过程中PCD 和QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形ABC， （1）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 运动，连接 CP、AQ 交于 M，如果动点 P、Q 都以相同的速度同时出发，则AMP=_ 度。(2)若动点 P、Q 继续运动，分别沿射线 AB、BC 方向运动，.AMP=60 的结论还成立吗？2、实战训练1、如图，在等腰ACB 中，ACBC 5，AB8，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合） ，DEAC，DFBC ，垂足分别为 E，F ，则DEDF QDB CPAMAB
6、 CQPMAB CP Q2、如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，AC=CB，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE连接DE、DF、EF（1）求证：ADFCEF（2）试证明DFE 是等腰直角三角形3、如图，在等边 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以B每分钟 1 各单位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它们分别爬行到 D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和 BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行，EB 与 CD 交于点
7、 Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中 的大小条件不变，求证：CQE60CQE（3）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC 的延长线爬行，连接 DE交 AC 于 F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确 4、如图 1，若 ABC 和 ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出
8、当 AB=2AD 时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明理由图 1 图 2 图 3图 85、如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中ABC 10A8BCDAB点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与P是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？BPD C（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B
9、同时出发，都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在AB的哪条边上相遇？A6、 （2009 年本溪）在 中， ，点 是直线 上一点（不与ABC ADBC重合） ，以 为一边在 的右侧作 ，使BC、 DE，连接 AE，（1）如图 1，当点 在线段 上，如果 ，则 度；90E（2）设 ， BCE如图 2，当点 在线段 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请说明D，AQCDBP理由；当点 在直线 上移动，则 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的DBC，结论7、 如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF和 BE.(1)线段 AF 和 B
10、E 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.AE EAC CDDB B图 1 图 2A A备用图B C B C备用图8、已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE，BACDE，且点 ， ， 在一条直线上，连接 MN， ， ， 分别为，的中点（1）求证： ； ；NM（2）在图的基础上，将 AE 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他
11、条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. CENDABM图CAEMB DN图9、 直线 CD 经过 BCA的顶点 C， CA=CB E、 F 分别是直线 CD 上两点，且BECFA（1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、 F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BA（填“ ”， “”或90,“ ”号） ；如图 2，若 18BCA，若使中的结论仍然成立，则 与 C 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD 经过 的外部， BCA，请探究 EF、与 BE、 AF 三条线段的数量关系，并给予证明10、 如图1，已知正方形 的边 在正方形 的边
12、 上，连接 ， .ABCDDEFGAEGC（1）试猜想 与 有怎样的位置关系，并证明你的结论；EG（2）将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，使 点落在 边上，如图2，连接FBCABCEF D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 3和 .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理AEGC由.附加题之等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图， 中， ， ， 是 中点， ， 与 交ABCA90BCDBCEFDAB于 ， 与 交于 求证： ， EFDFEAFAB CDEF2. 两个全等的含 ， 角的三角板 和三角板 ，如图所示放置， 三点3
13、06ADEBC,EA在一条直线上，连结 ，取 的中点 ， 连结 试判断 的形状，并BM,MC说明理由MEDCBA考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上
14、述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 RtABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DGAC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证：DG=DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形
15、。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）A DBCG E图2GHFED CBA图1同类变式： 已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动， （点 E 不与点 B、C 重合） ，斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 . 1连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 . 2请证明你的上述猜想； 3（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？图图1图N FMCBAE图图2图FMCBAE四、课后反馈教学进度： 学生掌握情况： 存在问题及改进措施：
