1、2016 年全国 100 所名校高考数学冲刺试卷（理科） （二）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z= ，则 z2 等于（ ）A1+i B1 i C2i D2i2 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S5=25，则 a3 的值为（ ）A2 B5 C10 D153 （5 分）已知 =（2，1） ， =（3，m ） ，若 （ ） ，则| + |等于（ ）A3 B4 C5 D94 （5 分）下列关于函数 y=ln|x|的叙述正确的是（ ）A是奇函数，且在（0，+）上是增函数
2、B是奇函数，且在（0，+ ）上是减函数C是偶函数，且在（0，+ ）上是减函数D是偶函数，且在（0，+）上是增函数5 （5 分）已知命题 p：xR，2 x3 x；命题 q：x 0（ 0， ） ，x 0= ，则下列命题中，真命题为（ ）A （p）q Bpq Cp（q） D （p）（q）6 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）的两条渐近线与直线 y=1 所围成的三角形的面积为4，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C D7 （5 分）执行如图所示的程序框图，当输出 i 的值是 4 时，输入的整数 n 的最大值是（ ）A22 B23 C24 D258 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则
3、 z=4x+6y+3 的取值范围为（ ）A17，48 B17，49 C19，48 D19，499 （5 分）某校 8 名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出 3 名同学先后参与，并且完成任务，已知该活动中 A，B，C 三人至多一人参与，若 A 参加，则 D 也会参加，且 A 必须最先完成任务，则不同的安排方案有（ ）A70 B168 C188 D22810 （5 分）已知函数 f（x） =2cos（x） （ 0， 0，）的部分图象如图所示，若 A（ ， ） ，B（ ， ） 则下列说法错误的是（ ）A=B函数 f（x）的一条对称轴为 x=C为了得到函数 y=f（x）的图象，只需将
4、函数 y=2sin2x 的图象向右平移 个单位D函数 f（x）的一个单调减区间为 ， 11 （5 分）如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A12+4 +2 B12 +8 +2 C12+4 +2 D12+8 +212 （5 分）抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a（a0） ，n=|MF|+|NF|，则 2an 等于（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分。13 （5 分）已知函数
5、 f（x） = ，则 f（f（ 1） ）等于 14 （5 分）观察下列等式：1= + + ；1= + + + ；1= + + + + ；以此类推，1= + + + + + + ，其中 nN*，则 n= 15 （5 分） （2016 春 安徽校级月考）已知一个圆锥内接于球 O（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上） ，若球的半径 R=5，圆锥的高是底面半径的 2 倍，则圆锥的体积为 16 （5 分）已知数列a n满足 a1= ，若 3 na n+2an，则 a2017= 三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤17 （12 分）在ABC 中，A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinC
6、= （1）若 a+b=5，求ABC 面积的最大值；（2）若 a=2，2sin 2A+sinAsinC=sin2C，求 b 及 c 的长18 （12 分）甲、乙两家快餐店对某日 7 个时段光顺的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示（下面简称甲数据、乙数据） ，且乙数据的众数为 17，甲数据的平均数比乙数据平均数少 2（1）求 a，b 的值并计算乙数据的方差；（2）现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为 m，n并进行对比分析，有放回的选取 2 次，记mn 的次数为 X求 X 的数学期望 E（X ） 19 （12 分）已知三棱柱柱 ABCA1B1C1，如图所示，其中 CA平面 ABB1A1，四边
7、形 ABB1A1 为菱形，AA 1B1=60，且 AB=2AC，E 为 BB1 的中点，F 为 CB1 的中点（1）证明：平面 AEF平面 CAA1C1；（2）求二面角 E 一 AFB1 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 E： + =1（ab0）的焦距为 2 ，其上下顶点分别为 C1，C 2，点A（1，0） ，B（3，2） ，AC 1AC 2（1）求椭圆 E 的方程及离心率；（2）点 P 的坐标为（m ，n） （m 3） ，过点 A 任意作直线 l 与椭圆 E 相交于点 M，N 两点，设直线MB，BP，NB 的斜率依次成等差数列，探究 m，n 之间是否满足某种数量关系，若是，请给出 m，n
8、的关系式，并证明；若不是，请说明理由21 （12 分）已知 x（1，+） ，函数 f（x）=e x+2ax（a R） ，函数 g（x）=| lnx|+lnx，其中 e 为自然对数的底数（1）若 a= ，求函数 f（x）的单调区间；（2）证明：当 a（2，+ ）时，f （x 1）g（x）+a请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图所示，AB 是圆 O 的直径，BC 与圆 O 相切于 B，D 为圆 O 上一点，ADC+DCO=180 （1）证明：BCO=DCO ；（2）证明：AD OC=ABOD选修 4-4：坐标
9、系与参数方程 23 （2016 春 库尔勒市校级期末）以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知A（2，） ，B（2， ） ，圆 C 的极坐标方程为 26cos+8sin+21=0F 为圆 C 上的任意一点（1）写出圆 C 的参数方程；（2）求ABF 的面积的最大值选修 4-5：不等式选讲24 （2016 春 库尔勒市校级期末）已知函数 f（x）=|x2|x+1|（）解不等式：f（x）2 ；（）若xR，f（x）t 2 t 恒成立，求实数 t 的取值范围2016 年全国 100 所名校高考数学冲刺试卷（理科） （二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,
10、共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z= ，则 z2 等于（ ）A1+i B1 i C2i D2i【分析】根据复数的运算法则，进行化简计算即可【解答】解：复数 z= = =1+i，z 2=（1+i） 2=2i故选：C【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S5=25，则 a3 的值为（ ）A2 B5 C10 D15【分析】利用等差数列a n的前 n 项和公式及其性质即可得出【解答】解：由等差数列a n的前 n 项和公式及其性质：S 5=25， =25，a 3=5故选：B【
11、点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （5 分）已知 =（2，1） ， =（3，m ） ，若 （ ） ，则| + |等于（ ）A3 B4 C5 D9【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为 0；利用向量的数量积公式列出方程求出 m，再根据向量模的定义即可求出【解答】解： =（2，1） ， =（3，m ） ， =（1，1m） ， （ ） ， （ ）= 2+1m=0，解得， m=1， + =（5，0） ，| + |=5故选：C【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题4 （5 分）下列关于函数 y=ln|x|的叙
12、述正确的是（ ）A是奇函数，且在（0，+）上是增函数B是奇函数，且在（0，+ ）上是减函数C是偶函数，且在（0，+ ）上是减函数D是偶函数，且在（0，+）上是增函数【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，f（ x）=ln|x|=ln|x|=f（x） ，函数 f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）=lnx 为增函数，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的大小的性质是解决本题的关键比较基础5 （5 分）已知命题 p：xR，2 x3 x；命题 q：x 0（ 0， ） ，x 0= ，则下列命题中，真命题
13、为（ ）A （p）q Bpq Cp（q） D （p）（q）【分析】命题 p：取 x=1，2 x3 x，不成立，即可判断出真假命题 q：取 x0=1 即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题 p：xR，2 x3 x，是假命题，取 x=1 不成立，因此是假命题命题 q： x0=1（0， ） ，使得 x0= 成立，是真命题则下列命题中，真命题为（p）q故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）的两条渐近线与直线 y=1 所围成的三角形的面积为4，则双曲线 C 的
14、离心率为（ ）A B C D【分析】求出双曲线的渐近线方程，令 y=1 可得两交点的横坐标，再由三角形的面积公式可得 b=4a，由 a，b，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 C： =1 的两条渐近线方程为 y= x，令 y=1 可得 x= ，由渐近线与直线 y=1 所围成的三角形的面积为 4，可得 1 =4，即有 b=4a，则 c= = a，即有 e= = 故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，同时考查三角形的面积的计算，属于基础题7 （5 分）执行如图所示的程序框图，当输出 i 的值是 4 时，输入的整数 n 的最大值是（ ）A22 B2
15、3 C24 D25【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=1，i=1S=1n，T=2，S=3，i=2S=5n，T=4，S=9，i=3S=12n，T=8，S=n，i=4S=24n，输出 i=4，故输入的整数 n 的最大值是 23故选：B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据
16、进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=4x+6y+3 的取值范围为（ ）A17，48 B17，49 C19，48 D19，49【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可【解答】解：由 z=4x+6y+3 得 y= x+ ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线 y= x+ ，由图象知当直线 y= x+ 经过 B 点时，直线 y= x+ 的截距最大，此时 z 最大，当直线 y= x+ 经过 A 点时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 得 ，即 B（4，5） ，此时 z=4
17、4+65+3=49，由 得 ，即 A（2，1） ，此时 z=42+61+3=17，即 17z49，即 z=4x+6y+3 的取值范围为17，49，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用平移法确定直线截距的大小关系是解决本题的关键9 （5 分）某校 8 名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出 3 名同学先后参与，并且完成任务，已知该活动中 A，B，C 三人至多一人参与，若 A 参加，则 D 也会参加，且 A 必须最先完成任务，则不同的安排方案有（ ）A70 B168 C188 D228【分析】由题意可以分三类，第一类，A ，B，C 三人没有一人参
18、加，第二类，A 参加，并且 A 先做，则 D 参加，第三类，B，C 二人其中一人参加，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，A，B，C 三人没有一人参加，故有 A53=60 种，第二类，A 参加，并且 A 先做，则 D 参加，再从剩下的 4 人选 1 人和 D 完成任务，故有 C41A22=8 种，第三类，B，C 二人其中一人参加，再从剩下的 5 人选 2 人一起完成任务，故有 A21C52A33=120 种，根据分类计数原理，共有 60+8+120=188，故选：C【点评】本题考查了分类计数原理，正确分类是关键，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x） =2cos（x） （ 0， 0，
19、）的部分图象如图所示，若 A（ ， ） ，B（ ， ） 则下列说法错误的是（ ）A=B函数 f（x）的一条对称轴为 x=C为了得到函数 y=f（x）的图象，只需将函数 y=2sin2x 的图象向右平移 个单位D函数 f（x）的一个单调减区间为 ， 【分析】观察函数图形，求得周期 T=， =2，将点 A 代入，求得 ，求出函数的解析式，再求函数的对称轴和单调递减区间【解答】解：对于 A：由函数图形 T=丨 丨=，=2 ，将 A 点（ ， ）代入 f（x）=2cos（2x ） ， =2cos（ ） ，cos= ，0，） ，= ，故 A 正确；f（x）=2cos（2x ） ，对于：B，由 f（x）=
20、2cos（2x ） ，将 x= ，求得 2 =3，故 B 正确；C 选项，将 y=2sin2x 向右平移 个单位，得 y=2sin（2x ）=cos（2x ）=2cos（2x ）=f （x）故 C 正确；对于 D，f（x）=2cos（2x ） ，2x 2k，2k+kZ，xk+ ，k+ kZ，选项 D 错误，故答案选：D【点评】本题考查求正弦函数解析式，对称轴、单调区间及函数图象变换，属于中档题11 （5 分）如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A12+4 +2 B12 +8 +2 C12+4 +2 D12+8 +2【分析】由已知中的三视
21、图，可得对应的几何体在正方体中的直观图，分别求出三角形的面积，可得该几何体的表面积【解答】解：由已知中的三视图，可得对应的几何体在正方体中的直观图，SABD =SBCD = =6，S ABC = =8 ，S ADC = =2故该几何体的表面积 S=62+8 +2 =12+8 +2 ，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12 （5 分）抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a（a0） ，n=|MF|+|NF|，则 2an 等于（ ）
