1、1.在等差数列 an中，已知 a6 a9 a12 a15 34，求前 20 项之和 解法一 由 a6 a9 a12 a15 34 得 4a1 38d 34 20a1 190d 5(4a1 38d)=5 34=170 由等差数列的性质可得： a6 a15=a9 a12 a1 a20 a1 a20=17 S20 170 2.已知等差数列 an的公差是正数，且 a3 a7= 12， a4 a6= 4，求它的前 20 项的和S20 的值 解法一 设等差数列 an的公差为 d，则 d 0，由已知可得 由，有 a1 2 4d，代入，有 d2=4 再由 d 0，得 d 2 a1= 10 最后由等差数列的前
2、n 项和公式，可求得 S20 180 解法二 由等差数列的性质可得： a4 a6 a3 a7 即 a3 a7 4 又 a3 a7= 12，由韦达定理可知： a3， a7 是方程 x2 4x 12 0 的二根 解方程可得 x1= 6， x2 2 又 S 20a d20 1 20 192解法二 S = (a + a ) 202 = 1 0 ( a a )20 1 20 1 20 (a 2 d )(a bd) 1 2 a 3d a 5d = 4 1 11 1 d 0 an是递增数列 a3 6， a7=2 3. 等差数列 an的前 n 项和 Sn m，前 m 项和 Sm n(m n)，求前 m n 项
3、和 Sm+n 解法一 设 an的公差 d 按题意，则有 = (m n) 解法二 设 Sx Ax2 Bx(x N) ，得 A(m2 n2) B(m n) n m m n A(m n) B= 1 故 A(m n)2 B(m n) (m n) 即 Sm+n (m n) 4.设 x y，且两数列 x， a1， a2， a3， y 和 b1， x， d = a = 2 a 10 S 1807 1 20 a 37 3 ， ， S na d mS ma d n (m n) a d = n mn 1m 11 ，得 n nm mm n m n( )( )( )( ) 121212即 a d = 11m nS m
4、 n am n m ndm n am ndm n 12121211( )( )( )( )( )Am Bm n An Bn m 22 b b y b2 3 4， ， ， 均为等差数列，求 b ba a4 32 15.在等差数列 an中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且 Sm Sn， m n，求 Sm+n 且 Sm Sn， m n Sm+n 0 6. 在等差数列 an中，已知 a1 25， S9 S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值 解法一 建立 Sn 关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值 a1=25， S17 S9 解得 d 2 当 n=13 时， Sn 最大，最大值
5、 S13 169 解法二 因为 a1=25 0， d 2 0，所以数列 an是递减等 分析解d=y x5 1 (1 )=y x5 2 (2 )可采用 由a am na ab bm n2 14 33 26 4(2 ) (1 ) ，得 b ba a4 32 1 83 解 S (m n )a (m n )( m n 1 )d(m n ) a (m n 1 )d m + n 11 1212 整理得 ma m ( m 1 ) d na n ( n 1 ) d(m n ) a (m n ) ( m n 1) = 01 1112122d即 由 ，知 (m n )a (m n 1 )d = 0m n a (m
6、 n 1 )d 0111212根据题意： ， S = 17a d S 9a d17 1 9 117 162 9 82 S 25n ( 2) = n 26n = (n 13) 169n 2 2n n( ) 12 a1 25， S9 S17 an=25 (n 1)( 2)= 2n 27 即前 13 项和最大，由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169 解法三 利用 S9=S17 寻找相邻项的关系 由题意 S9=S17 得 a10 a11 a12 a17=0 而 a10 a17=a11 a16=a12 a15=a13 a14 a13 a14 0， a13= a14 a13 0， a14 0
7、S13=169 最大 解法四 根据等差数列前 n 项和的函数图像，确定取最大值时的 n an是等差数列 可设 Sn An2 Bn 二次函数 y=Ax2 Bx 的图像过原点，如图 3 2 1 所示 S9 S17， 取 n=13 时， S13 169 最大 差数列，若使前 项和最大，只需解 ，可解出 n a 0a 0 nnn + 1 ，解得 9 25 2 d = 17 25 d d = 29 8 17 162 2n 27 02 (n 1) 27 0 n 1 3 . 5n 1 2 . 5 n = 13 对称轴 x = 9 + 172 = 137求数列的通项公式： (1)an中， a1 2， an+1
8、 3an 2 (2)an中， a1=2， a2 5，且 an+2 3an+1 2an 0 思路：转化为等比数列 an 1是等比数列 an 1=3 3n-1 an=3n 1 an+1 an是等比数列，即 an+1 an=(a2 a1) 2n-1=3 2n-1 再注意到 a2 a1=3， a3 a2=3 21， a4 a3=3 22， an an-1=3 2n-2，这些等式相加，即可以得到 +2 说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知 (1)中发现 an 1是等比数列， (2)中发现 an+1 an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现 8. 三个数成等比数列，若第二个数加 4
9、就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加32 又成等比数列，求这三个数 解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a， aq， aq2 由已知： a， aq 4， aq2 成等差数列 即： 2(aq 4)=a aq2 a， aq 4， aq2 32 成等比数列 即： (aq 4)2=a(aq2 32) 解 ( 1 ) a = 3a 2 a 1 = 3 ( a 1)n + 1 n n + 1 n ( 2 ) a 3a 2a = 0 a a = 2 ( a a )n + 2 n + 1 n n + 2 n + 1 n + 1 n a = 3 1 2 2 2 = 3 = 3 ( 2 1)n 2 n
10、 - 2 n 1 2 12 11n aq 2 = 4a 解法二 按等差数列设三个数，设原数列为 b d， b 4， b d 由已知：三个数成等比数列 即： (b 4)2=(b d)(b d) b d， b， b d 32 成等比数列 即 b2=(b d)(b d 32) 解法三 任意设三个未知数，设原数列为 a1， a2， a3 由已知： a1， a2， a3 成等比数列 a1， a2 4， a3 成等差数列 得： 2(a2 4)=a1 a3 a1， a2 4， a3 32 成等比数列 得： (a2 4)2=a1(a3 32) ，两式联立解得： 或这三数为： ， ， 或 ， ， a = 2q
11、= 3a = 29q = 52 6 1829 109 509 8b d = 162 32b d 32d = 02 、两式联立，解得 ： 或三数为 ， ， 或 ， ， b =269d =83b = 10d = 82 6 1829109509得： a = a a22 1 3说明 将三个成等差数列的数设为 a d， a， a d；将三个成 简化计算过程的作用 9. 证 Sn=a1 a1q a1q2 a1qn-1 S2n=Sn (a1qn a1qn+1 a1q2n-1) =Sn qn(a1 a1q a1qn-1) =Sn qnSn =Sn(1 qn) 类似地，可得 S3n=Sn(1 qn q2n) 说
12、明 本题直接运用前 n 项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处理了 S2n、 S3n 与 Sn 的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧 10数列 an是等比数列，其中 Sn=48， S2n=60，求 S3n 解法一 利用等比数列的前 n 项和公式 若 q=1，则 Sn=na1，即 na1=48， 2na1=96 60，所以 q 1 、式联立，解 得： 或a =29a =109a =509a = 2a = 6a = 18123123等比数列的数设为 ， ， 或 ， ， 是一种常用技巧，可起 到a aq aq
13、( a a q )2 aq【例2 】 求证：对于等比数列， 有 S S = S (S S )n2 2n2 n 2n 3n S + S = S S (1 q )= S (2 2q q )n2 2n2 n2 n n 2n2 n 2nS (S S ) = S S (1 q ) S (1 q q )= S (2 2q q )S S = S (S S )n 2n 3n n nnnn 2nn2 n 2nn22n2n 2n 3n S = a (1 q )1n 1 n q=Sn(1 qn q2n) 解法二 利用等比数列的性质： Sn， S2n Sn， S3n S2n 仍成等比数列 (60 48)2=48 (S
14、3n 60) S3n=63 解法三 取特殊值法 取 n=1，则 S1=a1=48， S2n=S2=a1 a2=60 a2=12 an为等比数列 S3n=S3=a1 a2 a3=63 11已知数列 an中， Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an 2(n N*)， a1=1 (1)设 bn=an+1 2an(n N*)，求证：数列 bn是等比数列； 解 (1) Sn+1=4an 2 Sn+2=4an+1 2 S =a (1 )a (1 )(1 + )1 q2n11 qqq qS qnn nnn211( ) q =14S =a (1 q )1 qn3n13n a q q qqn n n1
15、21 11( )( ) S = 4 8 ( 1 + 116 ) = 633n 14 q = aa a = 321 3 14(2 ) c = a2 (n N * ) c n nn n设 ，求证：数列 是等差数列两式相减，得 Sn+2 Sn+1=4an+1=4an(n N*) 即： an+2=4an+1 4an 变形，得 an+2 2an+1=2(an+1 2an) bn=an+1 2an(n N*) bn+1=2bn 由此可知，数列 bn是公比为 2 的等比数列 由 S2=a1 a2=4a1 2， a1=1 可得 a2=5， b1=a2 2a1=3 bn=3 2n-1 将 bn=3 2n-1 代入，得 说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决 (2 ) c =a2(n N * )c=b2nnnn + 1nn + 1 ca a a annnnnn nn11112 222c c = 34 (n N * )n + 1 n 由此可知，数列 是公差 的等差数列，它的首项，故 即：c d =34 c =a2c = (n 1)C =34n 11nn12123414n
