1、1第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量 , ,则以 ,1,4a30bab为边的平行四边形的面积等于 .2. 曲面 在点 处sincozxy1,2的切平面方程是 .3. 交换积分次序 .20,xdfdy4. 对于级数 (a0) ,当 a 满足条件 时收敛.1n5. 函数 展开成 的幂级数为 .2yx二、 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分)1. 平面 的位置是 ( )0z( A) 通 过 轴 ( B) 通 过 轴yx( C) 垂 直 于 轴 ( D) 平 行 于 平 面oz2. 函 数 在 点 处 具 有 偏 导 数,zfx0,y, ,是函数在该
2、点可微分的 0,xfyy( )( A) 充 要 条 件 ( B) 充 分 但 非 必 要 条 件( C) 必 要 但 非 充 分 条 件 ( D) 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件3. 设 , 则 ( )cosinxzey10xydz( A) ( B) ()e2( C) ( D)1()edxy()xedy4. 若 级 数 在 处收敛,1nna1则此级数在 处( )2( A) 敛 散 性 不 确 定 ( B) 发 散 ( C) 条 件 收 敛 ( D) 绝 对 收 敛5. 微 分 方 程 的 通 解 是 ( )yx( A) ( B)21e21xye( C) ( D)2xy2C三、(本题满分
3、 8 分)设平面通过点 ,而且通过直线 ,3,1243521xyz求该平面方程四、(本题满分 8 分)设 ,其中 具有二阶连续偏导数,,zfxy,fuv试求 和 2z五、(本题满分 8 分)计算三重积分 ,yzdx其中 ,01,2xyz六、(本题满分 8 分)计 算 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ,2xyLeds3其 中 L 是 圆 周 在 第 一 象 限 的 部 分 22xyR七、(本题满分 9 分)计算曲面积分 ,其中 是柱面3Adzxdy 与平面 和 所围成的边界曲面外侧21xy01八、(本题满分 9 分)求幂级数 的收敛域及和函数1nx九、(本题满分 9 分)求微分方程 的通解4xy
4、e十、(本题满分 11 分)设 是上半平面 内的有向分段光滑曲线,L0其起点为 ,终点为 ,1,22,3记 LxIxydyd1证明曲线积分 与路径 无关;IL2求 的值I第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量 , ,则以 ,1,4a30bab为边的平行四边形的面积等于 .492. 曲面 在点 处sincozxy1,2的切平面方程是 .0z43. 交换积分次序 .20,xdfyd 20,yfxd4. 对于级数 (a0) ,当 a 满足条件 时收敛.1n1a5. 函数 展开成 的幂级数2yx为 .102n二、 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分
5、)1. 平面 的位置是 ( )2xzA( A) 通 过 轴 ( B) 通 过 轴yx( C) 垂 直 于 轴 ( D) 平 行 于 平 面oz2. 函 数 在 点 处 具 有 偏 导 数,zfx0,y, ,是函数在该点可微分的 0,xfyy( )C( A) 充 要 条 件 ( B) 充 分 但 非 必 要 条 件( C) 必 要 但 非 充 分 条 件 ( D) 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件3. 设 , 则 ( )cosinxzey10xydz( A) ( B) ()e( C) ( D)1()d xd4. 若 级 数 在 处收敛,1nnax1则此级数在 处( )2( A) 敛 散 性
6、 不 确 定 ( B) 发 散 5( C) 条 件 收 敛 ( D) 绝 对 收 敛5. 微 分 方 程 的 通 解 是 ( )yx( A) ( B)21e21xye( C) ( D)2xy2C三、(本题满分 8 分)设平面通过点 ,而且通过直线3,1,求该平面方程452xyz解: 由于平面通过点 及直线上的点 ,,2A4,30B因而向量 平行于该平面。14B该平面的法向量为: (5,2)(,)(8,92).n则平面方程为: 43(0).xyz或: ()(1)即: 8925.四、(本题满分 8 分)设 ,其中 具有二阶连续偏导数,,zfxy,fuv试求 和 2zy解: , 12zfx6212z
7、fyx12fxf1fx五、(本题满分 8 分)计算三重积分 ,yzd其中 ,01,2xyz解: 20113Azdydz 六、(本题满分 8 分)计 算 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ,2xyLes其 中 L 是 圆 周 在 第 一 象 限 的 部 分 2xR解法一: yeds20 0earcsinRe2Rxx解法二: 2xyLeds( 的弧长) ARLe2R解法三: 令 , , ,cosxsiny02yLed0Re7七、(本题满分 9 分)计算曲面积分 ,其中 是柱面3Axdyzdxy 与平面 和 所围成的边界曲面外侧21xy01解: , , ,PQz3R由高斯公式: 3AxdyzdxyPQ
8、Rvz八、(本题满分 9 分)求幂级数 的收敛域及和函数1nx解: 收敛半径: 1limnaR易判断当 时,原级数发散 。x于 是 收敛域为 , 1 211nnxs九、(本题满分 9 分)求微分方程 的通解4xye解:特征方程为: 20r特征根为: ,的通解为:4y 221xxYCe8设原方程的一个特解为: ,xyAe4xAe3113原方程的一个特解为:xye故原方程的一个通解为:22113xxyYCee十、(本题满分 11 分)设 是上半平面 内的有向分段光滑曲线,L0其起点为 ,终点为 ,1,22,3记 LxIxydyd1证明曲线积分 与路径 无关;IL2求 的值I证明 1:因为上半平面 是单连通域,在 内:GG,21,Pxy2,xQxy有连续偏导数,且:, , 。2y21yxPQx所以曲线积分 与路径 无关。IL解 2: 设 , , ,由于曲线积分 与1,A,3B,CI路径 无关,故可取折线路径: 。LAB9221LxIxydyd22AC221Bxxydyd2321297446