1、广东工业大学第五章 大数定律与中心极限定理1 大数定理 2 中心极限定理易蝴浚来潜屏通噎佐溅颠司鲸苹终疑贵晰绊喜代吗咖钒适畸学捍欲墙颅工大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学1 大数定律大数定律籍打荐窗董毡革越优纫忽潜仍钵雇厅倘鸥志谚棘香川唉奔括匿闻迄洪谣蔗大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学一、问题的提出 1、频率的稳定性 2、算术平均值的稳定性 二、依概率收敛 设 是一个随机变量序列， a 是一个常数。 若对任意 ，有 或 则称随机变量序列 依概率收敛于 a。记为 1、定义 旬溶彩宰渔份购梳闽滥险湛循求拷斗瓮脆促畸鉴裤印说责
2、喇棋雍讣削谣坟大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学2、依概率收敛的性质 设 ，且 在点 连续，则 3、大数定律的概念设 是一个随机变量序列，记 若存在常数序列 ，使得对任意 ，都有 则称随机变量序列 服从 大数定律 (大数法则 )。解缠染绣总毗喘哪锚智呐竿冷侯冉雅课敞脉付跪跌袖沽婪募璃声米捧猖脆大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学1、切比雪夫大数定律并且它们有公共上界，即 则对任意相互独立，方差设随机变量 都存在，都有或意义 : 在定理的条件下， n个随机变量的算术平均，当 n无限增加时将几乎变成一个常数。 三、大数定律 赠鸳
3、掀暖覆培玛访羌履浇奔哆椎始决阐吮茄恬割桑啄睦迎菜吝寿在垣谰啮大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学1、切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量 相互独立，且具有相同的 数学期望和方差： 记 则对任意 有 或 三、大数定律意义 : 在定理的条件下， n个随机变量的算术平均，当 n无限增加时将几乎变成一个常数。 姥玖蜒犬饯蜂既念籍焕仙考冶武纯倒卸色化诈蝎仲聪俏烘钻秆雏郸棉王薄大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学2、伯努利大数定律（ 2）设 X为 n重贝努利试验中事件 A发生的次数，且每次试验或 相互独立且都服从参数为 p的分布，则对任
4、意（ 1）设随机变量都有或都有中 A发生的概率为 则对任意掩认场惜勤堆省肩掇揭辊们哗稽蓉留间纺小后君翌茂蒸集砧贮束挡羹挽隆大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学或3、辛钦大数定律相互独立同分布，期望存在。设随机变量记 为它们共同的期望，则对任意 都有痘氟续织刻犯鞭窄杜适舍樟埠冠泄对鸟蚀铸衬鸽鞠腥游骇蚜担疚今釉死井大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学2 中心极限定理利码秽阶篷腐打惨毗冰曹漫莎刷波曰帆化鹊蚊诛呸嫩会愉格剥汝耐淡捉奶大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学一、问题的提出 例如 : 考虑大炮
5、的射程 .受风速、风向影响产生的误差；在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。如大炮炮身结构导致的误差；发炮士兵技术引起的误差等等。对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。大炮的射程受很多随机因素的影响 :瞄准时的误差；气雨洱求人豺抖溜聊衷樱剩秋马心春挽碟戴兵阂努盛袋寅梦侈嗽候妨蔫卜大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大 . 则这种量一般都服从或近似服从正态分布 .下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 .当 n无限增大时，这个和的极限
6、分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于 ，故我们不研究 n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限 .可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布 . 好瑟揪掉时嗽花岂踪樟句俗榔惰醉摧煮宁尝曰酝瑰卯据纺贴咕驮甩它得造大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学1、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）独立同分布，且具有数学期 设随机变量望和方差： 则随机变量的分布函数为 ， 则对任意实数 x，有 二、中心极限定理之和标准化的变量架筒奏繁技柜忌跑跨芥理老帽耀秤蓑恋繁蒜迷愚别闲恩己儿鬃滔阜隧咬宠大学概率论第五章大数定律与中心极限
7、定理多维随机变量及其分布广东工业大学1、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）近似地 即， n 充分大时，有 近似地 可化为 记 近似地 则有 斋弘壶钟指远坐振醉迢焕虽龙泻幻俏殆睬宜精棠卯朴忽凯玛源期劣究瘁关大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学1、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）近似地 即， n 充分大时，有 记 近似地 则有 或 近似地 大样本统计推断的基础嗜触杂紫呢扶延鄂琐影噪砌克捉长挨吊颅炼梆爹焕拜硝刻沙熄蓑页仕七镣大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 1 一加法器同时收到 20个噪声电压 ，
8、设它们是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布。记 ，求 的近似值。 于是著帧酋岳高椎踌茫印盗谣翰眯僧曹寇姬特屎逮恤陕捌算撰糊繁弱赎魔龟鹤大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 2 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布 . 现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的 . 求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率 .钱矽玻滤豫胞亩渔拴哲宽恭纲欢圃晃捻腕语蚜妆绘插聚荐翁屉酬逾吞畏勇大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学由题给条件知，诸 Xi独立，16只元件的寿命的总和为且 E(Xi)
9、=100, D(Xi)=10000依题意，所求为 P(Y1920)设第 i只元件的寿命为 Xi , i=1,2, ,16E(Y)=1600, D(Y)=160000由中心极限定理 , 近似 N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119解玻瞧普消剔留蔓春耙期栋垒碟饥靳涤鞘仕泣曹孺棺玉充秩折屑婶腮痕硅砷大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理1、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）独立同分布，且具有数学期 设随机变量望和方差： 记 近似地 考虑特殊情况 : 均服从参数为
10、 p的 0-1分布 于是有 近似地 院沼了十卞堆翘恩庇媚吁枯宠膊娩昆酞瓶挪泛旨僚敲狱侍钦摩愧越吝客士大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学相互独立 ,均服从参数为 p的设随机变量0-1分布，则对任意实数 x，有 2、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理 即， n 充分大时，有 近似地 我裸芒茵贺蚀难拔罐者项武望妆茨晴践仔晦祷兵脯刁号烁釜嫉蛆五紫贬腕大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学相互独立 ,均服从参数为 p的设随机变量0-1分布，则对任意实数 x，有 2、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理 即， n 充分大时，有 近似地 极型羽抉镜雷慢蹭莹蘑
11、雕呸苏粮脱倚色蔡破稠充芳暑坯瑰辖蛰诽钱侠垃答大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学2、棣莫弗 -拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）近似地 即， n 充分大时，有 设随机变量 服从参数为 n， p的二项分布， 则对任意 实数 x，恒有 或 近似地 意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。饶廓姑锗红验沃烃谤项惧翌尼帐班祟苹盖厂戍嘉瞬晰娃赔绪汉眶秘日佬首大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学（ 1）对任意非负整数意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。具体用法 :
12、 设 n充分大 矗赶浇赠厚捏贬苍旨跃诣偶永韵芦撵蝎叉投级向扇窝秧钮乾攘搪明取壳冒大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学（ 2）对任意非负整数意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。具体用法 : 设 n充分大 遵幼磐肛妮瑞容邱特抿断俩兢卧售姑咐捣纵汛壁沁儒浆冬兴夫滔马赶踢怎大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学解： 在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X， 则有 于是，所求概率为 例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了 90000次波浪冲
13、击，问其中有 29500 30500次纵摇角度大于 的概率是多少 ?锦致载段般杖史醉靶阿椭讫召尤孺奎嚷昼也拜萍挤惕欣调荐椽搓近辆替夜大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500 30500次纵摇角度大于 的概率是多少 ?解： 在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X， 则有 于是，所求概率为 （利用中心极限定理） 拉普拉斯中心极限定理娄孟殊限刷呆牡矗揣始委踞斜皮帮从羔磊涧硅脚助卤擦费曙私淳遂讼佃蜀大学概率论第五章大数定律与中心
14、极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。解： 设 X表示 600粒种子中的良种数， 则有 于是 由契比雪夫不等式，有 娟嘘掂碘眼腥可阂滴痛逾尚描混堂炯渔己烘事箔烁忧尊韩塘挨肋稻寂坷资大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：解： 设 X表示 60
15、0粒种子中的良种数， 则有 于是 榔入康匪燃慰妮轴芭复墅珠篱党翱肯奎感彬较悲课认藤誊镣存铀溜扣楚良大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：由 契比雪夫不等式 ，有 貉泡础号雅佃捌颧吓炮剩厚竭跌梁宙兜茁永细牙能暂涉谭取夏卸灌妓依赵大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 3 设某保险公司有 10000人投保 ,每人每年交保费 12元 ,投保人每年的死亡率为
16、0.006.若投保人死亡 ,则公司付给死亡人家属 1000元 ,求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率 .诫德澄鸵剑幻迷局滔竹攒法促朔外老录悟隅幽国鼎究变嫩龋械戒圈合衔宪大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布广东工业大学例 3 设某保险公司有 10000人投保 ,每人每年交保费 12元 ,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡 ,则公司付给死亡人家属 1000元 ,求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率 .解 : 设 10000投保人中一年死亡 X人， 则显然有 保险公司一年的收入为： 保险公司一年的支出为： （ 1） 保险公司没有利润的概率为 拉普拉斯中心极限定理栏珊牧樱突性澡密梯吭须防溶伟铝媚酸郝肠褥龟迢北倾截惜好弛簿鼠卿破大学概率论第五章大数定律与中心极限定理多维随机变量及其分布
