1、 1 教工自助餐优化问题 摘要 ： 通过运用排队论、泊松分布，为教工食堂服务工作建立相应的数学模型，为节约教工排队就餐时间，以高教工食堂服务质量，为优化教工食堂资源配置提供一种较有效的管理决策方案。 关键字：排队论、泊松分布、 M/M/n 模型、 MATLAB 软件 引言 在学校里，常常可以看到这样的情景：中午放学后，去多同学争相跑向食堂去买饭，食堂窗口在几分钟内就排成了长长的队伍，饥饿的同学见到这种长蛇阵，怎么能不埋怨。同样，学校教工再给学生上了四节课后，早已是精疲力尽，很是饥饿。每当中午放学后，教工来到 教工食堂后，都要排长队，但往往排好队后，凉菜和汤也就完了， 然而学校就一个教工食堂，教
2、工往往不满意食堂的服务，但也没有什么办法。 一、问题重述 在西北民族大学榆中校区，为了使中午不回家的教工就餐方便，学校专门在大学生活动中心三楼设立了教工就餐点。就餐方式刚开始采用的是全自助方式，但由于经常出现热菜几分钟之内被抢一空、人员与菜肴协调不匹配的现象。目前经改进，食堂采用半自助的服务方式，即热菜部分教工排队由服务员服务，其余如凉菜、汤、主食等由教工自己盛取。教工来就餐时每人刷卡 4 元，学校补贴 11 元，食堂按 15 元标准提 供饭菜。这种运营方式充分显示了好处，但也出现了一些问题：如教工就餐点一般在 12： 00 开始营业，部分行政人员和没有课的教师可从 12： 00 开始陆续来就
3、餐，到 12： 40 第四节课下课后，来就餐的教师逐渐增多，一般 10 分钟内达到高峰，此时在打热菜的地方经常会排起长队。这时，教工经常采取的策略和问题主要有： 1、大部分教工为了能先打上热菜，来到食堂就会直接去排队打热菜，但由于食堂不能及时添加菜，教工打完热菜后经常发现凉菜和汤已没有了。但若教工先去盛凉菜和汤后再去排队盛热菜，就要排到后面去了。教工应该如何安排自己的打菜方 式才能使自己尽快吃上饭？ 2 2、食堂现在提供的热菜品种约有 8 到 9 种，高峰时一般由 2 个服务员盛菜，食堂通常将这几种菜并列 2 排排列，一边一个服务员。由于教工上了一上午的课，且在高峰时经常会排起长队等待服务，所
4、以经常会发生教工埋怨打菜速度慢的情况。食堂在运营成本相对稳定的前提下，应如何改进服务方式，最大程度地提高教工的满意度？ 试通过建立数学模型，就不同的打菜方式和服务方式进行定量分析，并得出明确、有说服力的结论。论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据模型分析结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 二 、模型假设 A、假设教工在高峰期这段时间达到的人数是无限的。 B、高峰期这段时间教工的人数近似服从泊松分布，到达的时间间隔是随机的，服从负指数分布。 C、每个服务窗口对教工来说都是一样的，且都是并联，服务时间服从指数分布。 D、教工食堂实行先来先服务原则，且教工可在列队之间进行转移，并总
5、向较短的队伍进行转移，没有教工会因为排队过长而离开，可认为排队方式是单一的队列等待制。 E、假设教工盛凉菜和汤的平均时间是 30 秒。 三、符号说明 ： 泊松分布的参数 ： 服务时间的负指数分布的参数 S： 教工食堂服务人员数 t ： 每个教工平均服务时间 3 四、问题分析 问题一的分析： 对题目中给 定的数据，结合在网上查到的数据和一系列指标，初步建立评判标准，再 运用评判标准对各个可能的事件进行分析，得到最优结果。 问题二的分析： 建立相应的模型，将推导的数据拿到模型里面进行分析比较， 得出对双方都有利的优化的结果。 五、模型的建立 教工排队打热菜 基于以上 假设，我们所建立的模型符合排队
6、论中的服务窗等待模型（ M/M/n）。该模型中，有两个服务人员，教工按泊松分布来到食堂，到达的强度为 。服务时间按负指数分布，当教工到达食堂后，如果多于 2 个人，就要排队。 我们估算到每天中到教工食堂吃饭就餐的教工大约有 400 余人，去掉部分行政人员和没课的老师，在高峰期就餐的教工大约为 360 人左右。每个 服务人员平均打热菜的时间为 3S。高峰期是指 12:45 到 12:55。而在 12:00 到 12:45 是非高峰期，不予考虑。 有以上数据可知： =0.6 S=2 t =3S 服务能力： =t1 =0.333 教工食堂服务强度： =1.8 s =s =0.9 空 闲概率： =1/
7、 sisi0 !+ sss!1 =0.053 4 食堂排队 教工平均数： qL = 2! sssoss =14 教工平均排队时间： qLW =23.33 教工平均逗留时间： EWWq =26.33 教工食堂中排队教工的平均数： qLL =16 所以平均每个服务人员那里要排 8 个人，而平均每个教工逗留 26.33S，所以教工从开始排队到打上热菜需要 210.6S。 六、模型的求解 问题 一 ： 我们假设教工盛凉菜和汤的时间为 30S，且不用排队，在高峰期，教工是一泊松分布过程到达食堂的。在高峰期中的一段时间，凉菜和汤不是很足够，所以在这一时期，教工若先打热菜，很可能凉菜和汤就完了。在这一时期里
8、，教工若先打凉菜和汤需要 30S，在 30S 内，平均进入食堂 的教工数为18 人，而打好热菜的教工数为 10 人，所以平均每队会 增加 4 人。 若要维持 210.6秒或小于 210.6 秒平均打菜时间不变，且还要打上凉菜和汤，教工需在每队排队人 数 小于 4 人的情况下先去打凉菜和汤，然后排队打热菜。 所以在凉菜和汤紧张的情况下，若平均排队人数少于 4 人，教工课先去打凉菜和汤，然后再排队打热菜。若平均排队人数大于 4 人，教工若想尽快吃上饭，就先排队打热菜，打完热菜后，可能就吃不上凉菜和汤。 在凉菜和汤充足或者已完的 情况下，教工应先排队打热菜。 问题 二： 对教工来说，中午的时间有限，
9、尽快吃上饭很重要 。教工在食堂平均逗留时间 qW 由平均排队时间 W 和平均服务时间 t 相加。我们认为由于食堂服务人员工作时间很长，是一个熟练的员工，所以平均时间 t 是个常数，而5 排队时间 W 可变。对 W ，由 W 的公式可知， W 由教工强度 ，平均服务时间 t ，服务员数 S 来决定的。由于只有一个教工食堂，所以教工别无选择，我们认为教工数是稳定的，故 为常数。由于 t 也是常数，所以影响平均排队时间 W 的因素只有服务员数了。 所以我们就 S 的取值对 W 的影响进行分析： 由 matlab 我们可以得到 S 与 W 之间的散点图和拟合图： 散点图、拟合图、二次多项式拟合图、三次
10、多项式拟合图 6 三次多项式 拟合图 从图中我们可以看到散点图，我们用 matlab 对其进行了三次多项式的拟合，从而得到它们的拟合图。 （程序见附页） 从上图中 我们可以看出，随着服务人员的人数增加，平均排队时间急剧减少。当达 到 3 人的时候，变化趋于平缓。从拟合图中我们能看见 W 和 S 的大致关系。因此，要减少教工的排队时间，我们就要对食堂的服务人员 数 进行优化。 对教工来说，排队时间越短越好；对食堂来说，服务人员的增加，一方面会增加成本，增大运营压力，另一方面会缩短排队时间，给更多的教工服务，给教工更好的服务。一般来说，是否增加服务人员，取决于增加的收入和增加的成本之间的关系。因此
11、要对食堂员工进行优化，需要在收入和成本之间找到平衡点。 但对 于我们学校 的教工食堂来说，由于每天中午去教工食堂的教工人数是一定的，不会因 为食堂排队时间的长短 ，而影响教工食堂的收入。所以要解决教工食堂打菜速度慢的问题，就要增加服务人员数。另一方面，成本增加要最少。 所以，由散点图和拟合图我们可以看出，随着服务人员的人数增加，平均排队时间急剧减少。当达到 3 人的时候，变化趋于平缓。为了减少食堂增加的成本，食堂服务人员数为 3 人最合适。这样，即大大减少了教工的排队时间，有使食堂增加的成本最 小化。食堂增加一个员工，其成本大约为该员工的工资，相对于食堂 的成本和收入，可忽略不计。 7 七、模
12、型的评价与改进 模型的优点 本文最大的优点在于假设的合理性，充分的利用排队论和泊松分布在食堂排队方面上的运用。有助于问题的分析和简化。 模型的缺点 本文在高峰期时，为了 问题的简化，将 教工进入食堂的人数平均化， 认为教工打凉菜和汤不用排队， 这与实际情况不是很符合 模型的改进 在模型的建立中，只考虑到教工在食堂排队的时间，没有考虑到食堂饭菜是否可口，教工是否会为了自己喜欢的菜宁愿排队等等。应该将教工对食堂的饭菜是否满意，是否会为了自己喜欢的菜排队考虑在内，建立一个量化关系。从而更好的解决问题。 参考文献： 1陆传赉编， 排队论 (第二版 )，北京， 北京邮电大学出版社出版 ， 2009版 2
13、浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅编，概率论与数理统计（第四 版），北京市，高等教育出版社 8 程序： s = 2 3 4 5 6; w = 23.33 0.9 0.142 0.033 0.007; subplot(2,2,1), plot(s, w, ro), title(), xlabel(S), ylabel(W); subplot(2,2,2), plot(s, w, g-), title(), xlabel(S), ylabel(W); p = polyfit(s, w, 2); syms x; a = p(1), b = p(2), c = p(3) y2 = vpa(a*x2 + b*x + c, 5) subplot(2,2,3), ezplot(y2, 0,7); p = polyfit(s, w, 3); a2 = p(1), b2 = p(2), c2 = p(3), d2 = p(4) y3 = vpa(a2*x3 + b2*x2 + c2*x + d2, 5) subplot(2,2,4), ezplot(y3, 0,7); 二次多项式： y = 3.2469*x2-30.727*x+69.345 三次多项式： y = -1.7991*x3+24.836*x2-110.97*x+160.02
