1、 专题一 压轴选择题第一关 以函数与方程、不等式相综合为背景的选择题【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数 与方程 以及不()yfx()0fx等式 的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键解决该类问题的途径往往是构造函数，()0fx进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.【典例解剖】类型一 用函数与方程求解零点问题典例 1 【2017 届河南天一大联考】设函数 若关于 的方程2(),(1),()1|fxfx（ 且 ）在区间 内恰有 5 个不
2、同的根，则实数 的取值范围是()log()0afxa0, aA B C D1,345,)(3,)4(,3)【答案】C【名师指点】求解零点问题时，往往转化为 的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化()0fx为两熟悉图象的交点问题求解 本题首先应正确求出函数 的解析式，准确画出函数图象，注意yfx分段函数在分界点处的连续性以及对参数 的范围的讨论，根据方程解的个数确定图像交点个数， “临界a点” 和 的函数值要倍加关注24【举一反三】已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，且关于 的方程243,0log1axxaf1aRx恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ）fxA B C. D20
3、,3,423,4123,4【答案】C类型二 用函数与方程求解不等式问题典例 2 【云南大理 2017 届高三第一次统测】定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数Rfxfx，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集是（ ）xffx2017f2017xeA B C D 来源:学&科&网 Z&X&X&K,0,1,e【答案】B【解析】设 ，则 ，所以 是 上的减函数，由于xfge0xffgegxR为奇函数，所以 ，因为2017fx0217,217fg即 ，结合函数的单调性可知 ，所以不等式xxfe0x0x的解集是 ，故选 B.2017xf0,【名师指点】结合已知条件 ，联想构造函数 ，利用导数判断其单
4、调性，利用fxfxfge单调性解解抽象不等式问题是解题关键【举一反三】己知定义在 R上的可导函数 ()fx的导函数为 ()fx，满足 ()fxf，且 (2)fx为偶函数， (4)1f，则不等式 ()exf的解集为（ ）A 2, B 4, C 1, D 0,来源:学科网【答案】D类型三 用构造法求解问题来源:学|科|网 Z|X|X|K典例 3 设 ， ，且满足 ，则 （ ）xyR3(2)sin(2)6xxyyxyA.1 B.2 C.3 D.4【答案】D.【解析】令 ，则 的图象关于 原点点对称，由题设3()2sinfxx()f得： ，即 ，3(2si)(6yy 32)sin(2)()(xyy (
5、2)()fxfy，即 .选 D.(0x4x【名师指点】解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到理想的解题途径，构造函数，利用函数性质解决问题是构造函数法蕴含的数学思想【举一反三】 【宁夏育才中学 2017 届高三上学期第二次月考数学（理）试题】设 函数 ，3()fx. 若当 时，不等式 0)1()sin(mff恒成立，则实数 m的取值范围是（ ）xR02A. B. C. D.1(,21(,)21,)(,1【答案】D【解析】易得 是奇函数， 在 上是增函数，又 ()fx2()30()fxfxR，故选
6、 D.11(sin1sin,sini sinfmmm类型四 关于复合方程的解的问题典例 4 【2017 湖南长沙一中月考】 已知实数 若关于 的方程,0(x)lg)x,efx有三个不同的实根，则 的取值范围为（ ）2(x)ft0ftA. B. ,1,)C. D.21(2,)【答案】A【解析】设 ，作出函数 的图象，如图所示，则 时， 有两个根，当mfxfx1mfx时， 有一个根，若关于 的方程 有三个不同的实根，则等价为1 2(x)ft0f由两个不同的实数根，且 或 ，当 时， ，此时由 ，2t01m1220m解得 或 ，满足 有两个根， 有一个根，满足条件；当 时，设m2fx2fx1，则 即
7、可，即 ，解得 ，综上实数 的取值范围为 ，2th10h0ttt2t故选 A.学科网【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程 分解为 和 处理，先从方程()0fgx()0ft()gxt中求 ，再带入方程 中求 的值()0ftt()gxt【举一反三】若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程32fxabxc1x21fxx的不同实根的个数是（ ）230fxabA3 B4 C5 D6【答案】A.【解析】函数 有极值点 ， ，说明方程 的两根为 ，32fxabxc1x22()30fxaxb1x， 方程 的解为 或 ，若 ，即 是极大值点，2x20f()f2f121是极小值点，由于 ， 是极大值，
8、有两解， ， 只有一1x1x1xx21()()fxfx解，此时只有 解，若 ，即 是极小值点， 是极大值点，由于 ， 是极小值，3221有 解， ， 只有一解， 此时只有 解，综上可知，选 A.1()fx21x1()()fxfx3【精选名校模拟】1 【山东潍坊 2017 届高三上学期期中联考】设函数 ，若函数1 log 1axf x， ，有三个零点 ， ， ，则 等于 . 2gxfbfxc1x231231【答案】1 2 3 4-1-2-3-4-1-212xyO2 【广东郴州市 2017 届高三第二次教学质量监测试卷，12】若方程 有四个不同的实数2|1|0xt根 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
9、134,x1234xx41322()()xA B C. D(8,62)(8,56,5(62,45【答案】B【解析】方程 有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数 与函2|1|0xt 2()|1|fx数 的图象如下图所示，所以 是方程 的两根， 是方程 的()gt14x21xt23, t两根，由求根公式得 ，且 ，所以41322,xtt0，令 ，由41322()()()x()ftt得 ，函数 在区间 递增，在区间 递减，又20ttft65tft6(0,56,2)5，所以所求函数的取值范围是 ，故选 B.6(0),()45,()8fff 8,43 【山东省枣庄市 2017 届高三上学期期末】定义
10、在 上的奇函数 满足 ，且当 时，Ryfx30fx恒成立，则函数 的零点的个数为（ ）fxflg1gxfxA B C. D1234【答案】C【解析】因为当 时， ，所以 在 上单调递增，又函数0x()0fxfxf()xf0,)为奇函数，所以函数 为偶函数，结合 ，作出函数 与 的图象，()fx()3(yfxlg1yx如图所所示，由图象知，函数 的零点有 3 个，故选 C学科网lg1gf4. 【广西柳州市 2017 届高三 10 月模拟】设定义域为 的函 数 若关于 的方R|125,0()4xfx程 有 7 个不同的实数解，则 （ ）22()1)(0fxmfxmA6 B4 或 6 C6 或 2
11、D2【答案】D5 【2017 四川成都市一模】已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当fxR1fxf时， .则关于 的方程 在 上的所有实数解之和为（ 1,0x3fxcosfx5,2） A-7 B-6 C-3 D-1【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以 ，所以函数是周期为 2 的偶函数，如图11xffxf画出函数图像，两个函数在区间 有 7 给交点，中间是 ，其余 6 个交点关于 对称，2,5 1x所以任一组对称点的横坐标之和为-2，所以这 7 个交点的横坐标之和为 ，故选 A.71236 【贵州遵义市 2017 届高三第一次联考】已知定义域为 的偶函数 ，其导函数为 ，对任意Rfxfx，
12、均满足： 若 ，则不等式 的解集是（ 0,x2xffx2gxf21g）A B C D,11,31,31,3【答案】C7 【河南百校联盟 2017 届高三 11 月质检】已知函数 满足 ，当 时，fx14ffx,14，若在 上，方程 有三个不同的实根，则实数 的取值范围是（ ）lnfx1,4fxkkA. B. C. D. 4l,eln,44,lne4,lne【答案】D【解析】试题分析：来源:Zxxk.Com8 【2017 山西省山大师大附中模块检测】已知函数ln(1),0)2xf，若 mn，且 ()ffn，则 nm的取值范围是（ ）A.32l,) B.32ln, C.1,e D.1,)e【答案】
13、A【解析】如图，作出函数 ()yfx的图象，不妨设 ()fmfnt，由 ()fmfn可知函数 的图象与直线 yt有两个交点，而 0x时，函数 ()yfx单调递增，其图象与 轴交于点 (0,1)，所以 1t.又 n，所以 0m， n，由 ，得 l(1)，解得 1e.由 ()fmt，即 2t，解得 2t；由 n，即 l(1)nt，解得 1tne；来源:Zxxk.Com记 ()1(2)1t tgtnmete（ 0t） ， ()2tge.所以当 0l时， 0g，函数 ()gt单调递减；当 ln21t时， ()t，函数 单调递增.所以函数 ()g的最小值为ln2l)132lnge；而0e， (.所以 (
14、)2gt.9 【中原名校 2017 届高三上学期第三次质量考评】定义在实数集 上的函数 ，满足Rfx，当 时， .则函数 的零点个数为22fxffx0,1xf lg（ ）A B C. D9 19820【答案】B【解析】 是偶函数，图象关于直线 对称，周期是 ，画图可得，零点个数为 ，故选 B.fx1x2110 【浙江杭州地区重点中学 2017 届高三上学期期中】已知函数 （ ）有四个不同2|()xfkR的零点，则实数 的取值范围是（ ）kA B C D0k1k01k1k【答 案】D【解析】因为 是函数 的零点，则函数 有四个不同的零点，等价于方x()fx2()()xfR程 有三个不同的根，即方
15、程 有三个不同的根记函数 1(2)k1k ()2)gx由题意 y= 与 有三个不同的交点，由图知 ，所以 ，故选2,0()x()ygx10k1kD11 【湖北孝感 2017 届高三上学期第一次联考】定义域在 上的奇函数 ，当 时，Rfx，则关于 的方程 所有根之和为 ，则实数12log,013xfx01fa12的值为（ ）aA B C. D2122314【答案】B【解析】因为函数 为奇函数，所以可以得到当 时，)(xf 0,1(x，当 时，)1(log)log)( 221fxf ()(1|3|)fxfx，所以函数 图象如下图，函数 的零点即为函数 与 的交点，如上图|3|1(xf xfya所示
16、，共 个，当 时，令 ，解得： ，当 时，5,a|3| 2,41x0,(x令 ，解得： ，当 时，令 ，解得：ax)(log2 ax213),1xa|3-|，所以所有零点之和为：2,45， .故本题正确答案1234 4212aaxx 1为 B.学科网12已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，R()fx(4)(fxf(1,3x，则函数 的零点个数是（ ）2,(1,()cos3xfx |lggfA.7 B.8 C.9 D.10【答案】D.13 【2 017 湖北重点中学高三联考】已知函数 ，若)20(1ln)(2xxf的图象与 轴有 3 个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）axfxg|)(| xaA B C D1,0e)21,0(e),3le)21,3lne【答案】C【解析】 ， ，)20(1ln)(2xxf 20,1ln2xxf的图象与 轴有 个不同的交点， 函数 与函数 的图象有 个不同afg|)(| 3fay3的交点；作函数 与函数 的图象如下，图中 ， ，故此时直线 的斜率xfaxy0,1A3ln2，BAB；当直线 与 相切时，设切点为 ；则3ln10lxkAB1lnxf 1ln,x，解得 ；此时直线 的斜率 ；结合图象可知， ；故选ln1exABekea13lC学科网
