1、12019 年浙江省绍兴市中考数学试卷一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1 （4 分）5 的绝对值是（ ）A5 B5 C D2 （4 分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金 126000000 元，其中数字 126000000 用科学记数法可表示为（ ）A12.610 7 B1.2610 8 C1.2610 9 D0.12610 103 （4 分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）A BC D4 （4 分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100
2、名九年级男生，他们的身高 x（ cm）统计如下：组别（ cm） x160 160 x170 170 x180 x180人数 5 38 42 15根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 180cm 的概率是（ ）A0.85 B0.57 C0.42 D0.155 （4 分）如图，墙上钉着三根木条 a， b， C，量得170，2100，那么木条a， b 所在直线所夹的锐角是（ ）2A5 B10 C30 D706 （4 分）若三点（1，4） ， （2，7） ， （ a，10）在同一直线上，则 a 的值等于（ ）A1 B0 C3 D47 （4 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y（ x
3、+5） （ x3）经变换后得到抛物线y（ x+3） （ x5） ，则这个变换可以是（ ）A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位8 （4 分）如图， ABC 内接于 O， B65， C70若 BC2 ，则 的长为（ ）A B C2 D2 9 （4 分）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ）A先变大后变小 B先变小后变大C一直变大 D保持不变10 （4 分）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水
4、平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时3的示意图，则图 2 中水面高度为（ ）A B C D二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11 （5 分）因式分解： x21 12 （5 分）不等式 3x24 的解为 13 （5 分）我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将 19 这九个数字填入33 的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图的幻方中，字母m 所表示的数是 14 （5 分）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD， PAD30，以点 B 为圆心， AB长为半径作弧，与 AP 交于
5、点 A， M，分别以点 A， M 为圆心， AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED，则 ADE 的度数为 15 （5 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A， C 都在曲线 y （常数是0， x0）上，若顶点D 的坐标为（5，3） ，则直线 BD 的函数表达式是 416 （5 分）把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块，其中点 O 为正方形的中心，点 E， F 分别为 AB， AD 的中点用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则四边形 MNPQ 的周长是 三、解答题（本大题共 8 小题，第 1720 小题每小题 8 分，第 2
6、1 小题 10 分，第 22，23小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17 （8 分） （1）计算：4sin60+（2） 0（ ） 2 （2） x 为何值时，两个代数式 x2+1，4 x+1 的值相等？18 （8 分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y（千瓦时）关于已行驶路程 x（千米）的函数图象（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程当0 x150 时，求 1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程（2）当 150 x200 时，求 y 关于 x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶
7、180 千米时，蓄电池的剩余电量19 （8 分）小明、小聪参加了 100m 跑的 5 期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们5的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）这 5 期的集训共有多少天？小聪 5 次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法20 （8 分）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC， CD 与 AB 始终在同一平面上（1）转动连杆 BC， CD，使 BCD 成平角， ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离桌面l
8、 的高度 DE（2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使 BCD165，如图 3，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 0.1cm，参考数据： 1.41， 1.73）21 （10 分）在屏幕上有如下内容：如图， ABC 内接于 O，直径 AB 的长为 2，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答6（1）在屏幕内容中添加条件 D30，求 AD 的长请你解答（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是 BD1，就可以求出 AD 的长小聪：你这样太简单了，我加的是 A30，连结 OC，就可以证明
9、 ACB 与 DCO 全等参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母） ，并解答22 （12 分）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE， AB AE6， BC5， A B90， C135， E90，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在 AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是 BC 或 AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由23 （12 分）如图 1 是实验室中的一种摆动装置， BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 A
10、D 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转， AD30， DM10（1）在旋转过程中，当 A， D， M 三点在同一直线上时，求 AM 的长当 A， D， M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长（2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90，点 D 的位置由 ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处，连结 D1D2，如图 2，此时 AD2C135， CD260，求 BD2的长724 （14 分）如图，矩形 ABCD 中， AB a， BC b，点 M， N 分别在边 AB， CD 上，点 E， F分别在边 BC， AD 上， MN， EF 交于点 P，记 k MN： EF（1）若
11、a： b 的值为 1，当 MN EF 时，求 k 的值（2）若 a： b 的值为 ，求 k 的最大值和最小值（3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的顶点， MPE60， MP EF3 PE 时，求 a： b 的值82019 年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1 （4 分）5 的绝对值是（ ）A5 B5 C D【分析】根据绝对值的性质求解【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5故选： A【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它
12、本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （4 分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金 126000000 元，其中数字 126000000 用科学记数法可表示为（ ）A12.610 7 B1.2610 8 C1.2610 9 D0.12610 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：数字 126000000 科学记数法可表示为 1.26108
13、元故选： B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （4 分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）A B9C D【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案【解答】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故 A 符合题意，故选： A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图4 （4 分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年级男生，他们的身高 x（ cm）统
14、计如下：组别（ cm） x160 160 x170 170 x180 x180人数 5 38 42 15根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 180cm 的概率是（ ）A0.85 B0.57 C0.42 D0.15【分析】先计算出样本中身高不低于 180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解【解答】解：样本中身高不低于 180cm 的频率 0.15，所以估计他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15故选： D【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势
15、来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确5 （4 分）如图，墙上钉着三根木条 a， b， C，量得170，2100，那么木条a， b 所在直线所夹的锐角是（ ）A5 B10 C30 D7010【分析】根据对顶角相等求出3，根据三角形内角和定理计算，得到答案【解答】解：32100，木条 a， b 所在直线所夹的锐角1801007010，故选： B【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180是解题的关键6 （4 分）若三点（1，4） ， （2，7） ， （ a，10）在同一直线上，则 a 的值等于（
16、 ）A1 B0 C3 D4【分析】利用（1，4） ， （2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（ a，10）代入解析式即可；【解答】解：设经过（1，4） ， （2，7）两点的直线解析式为 y kx+b， ， y3 x+1，将点（ a，10）代入解析式，则 a3；故选： C【点评】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键7 （4 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y（ x+5） （ x3）经变换后得到抛物线y（ x+3） （ x5） ，则这个变换可以是（ ）A向左平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位C向左平移 8 个单位 D向右平移 8 个单位【分析】根据变换前后的
17、两抛物线的顶点坐标找变换规律【解答】解： y（ x+5） （ x3）（ x+1） 216，顶点坐标是（1，16） y（ x+3） （ x5）（ x1） 216，顶点坐标是（1，16） 所以将抛物线 y（ x+5） （ x3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y（ x+3） （ x5） ，11故选： B【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减8 （4 分）如图， ABC 内接于 O， B65， C70若 BC2 ，则 的长为（ ）A B C2 D2 【分析】连接 OB， OC首先证明 OBC 是等腰直角三角形，求出 OB 即可解决问题【解答】解：连
18、接 OB， OC A180 ABC ACB180657045， BOC90， BC2 ， OB OC2， 的长为 ，故选： A【点评】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9 （4 分）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ）12A先变大后变小 B先变小后变大C一直变大 D保持不变【分析】由 BCE FCD，根据相似三角形的对应边成比例，可得 CFCE CDBC，即可得矩形 ECFG 与正方形 AB
19、CD 的面积相等【解答】解：正方形 ABCD 和矩形 ECFG 中， DCB FCE90， F B90， DCF ECB， BCE FCD， ， CFCE CBCD，矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等故选： D【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由相似三角形得出比例线段是解题的关键10 （4 分）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为（ ）13A B C D【分析】设 DE x，则 AD8 x，由长方
20、体容器内水的体积得出方程，解方程求出 DE，再由勾股定理求出 CD，过点 C 作 CF BG 于 F，由 CDE BCF 的比例线段求得结果即可【解答】解：过点 C 作 CF BG 于 F，如图所示：设 DE x，则 AD8 x，根据题意得： （8 x+8）33336，解得： x4， DE4， E90，由勾股定理得： CD ， BCE DCF90， DCE BCF， DEC BFC90， CDE BCF， ，即 ，14 CF 故选： A【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键二、填空题（本大题有 6
21、小题，每小题 5 分，共 30 分）11 （5 分）因式分解： x21 （ x+1） （ x1） 【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（ x+1） （ x1） 故答案为：（ x+1） （ x1） 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键12 （5 分）不等式 3x24 的解为 x2 【分析】先移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可【解答】解：移项得，3 x4+2，合并同类项得，3 x6，把 x 的系数化为 1 得， x2故答案为： x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键13 （5 分）我国的
22、洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将 19 这九个数字填入33 的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图的幻方中，字母m 所表示的数是 4 【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可【解答】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等” ，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于 15，第一列第三个数为：15258， m1583415故答案为：4【点评】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键14 （5 分）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD， PAD30，以点 B 为圆心， AB长为半
23、径作弧，与 AP 交于点 A， M，分别以点 A， M 为圆心， AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED，则 ADE 的度数为 15或 45 【分析】分点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的同侧、点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AD AE， DAE90， BAM180903060， AD AB，当点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的同侧时，由题意得，点 E 与点 B 重合， ADE45，当点 E 与正方形 ABCD 的直线 AP 的两侧时，由题意得， E A E M，
24、 AE M 为等边三角形， E AM60， DAE36012090150， AD AE， ADE15，故答案为：15或 45【点评】本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、16灵活运用分情况讨论思想是解题的关键15 （5 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A， C 都在曲线 y （常数是0， x0）上，若顶点D 的坐标为（5，3） ，则直线 BD 的函数表达式是 y x 【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到 A（ ，3） ， C（5， ） ，所以 B（ ， ） ，然后利用待定系数法求直线 BD 的解析式【解答】解： D（5，3） ， A（ ，3）
25、 ， C（5， ） ， B（ ， ） ，设直线 BD 的解析式为 y mx+n，把 D（5，3） ， B（ ， ）代入得 ，解得 ，直线 BD 的解析式为 y x故答案为 y x【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （ k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy k也考查了矩形的性质16 （5 分）把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块，其中点 O 为正方形的中心，点 E， F 分别为 AB， AD 的中点用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则四边形 MN
26、PQ 的周长是 6+2 或 10 或 8+2 17【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解【解答】解：如图所示：图 1 的周长为 1+2+3+2 6+2 ；图 2 的周长为 1+4+1+410；图 3 的周长为 3+5+ + 8+2 故四边形 MNPQ 的周长是 6+2 或 10 或 8+2 故答案为：6+2 或 10 或 8+2 【点评】考查了平面镶嵌（密铺） ，关键是得到与此正方形不全等的四边形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况三、解答题（本大题共 8 小题，第 1720 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22，23小题每小题 8 分，第 24
27、小题 14 分，共 80 分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17 （8 分） （1）计算：4sin60+（2） 0（ ） 2 （2） x 为何值时，两个代数式 x2+1，4 x+1 的值相等？【分析】 （1）根据实数运算法则解答；（2）利用题意得到 x2+14 x+1，利用因式分解法解方程即可【解答】解：（1）原式4 +142 3；（2） x2+14 x+1，18x24 x0，x（ x4）0，x10， x24【点评】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这
28、就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 18 （8 分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量 y（千瓦时）关于已行驶路程 x（千米）的函数图象（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程当0 x150 时，求 1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程（2）当 150 x200 时，求 y 关于 x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量【分析】 （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米，据此即可求出 1 千瓦时的电量
29、汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出 y 关于 x 的函数表达式，再把 x180 代入即可求出当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为： 千米；（2）设 y kx+b（ k0） ，把点（150，35） ， （200，10）代入，得 ，19 ， y0.5 x+110，当 x180 时， y0.5180+11020，答：当 150 x200 时，函数表达式为 y0.5 x+110，当汽车已行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量为 20 千瓦时【点评】本题考查了一次函
30、数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义19 （8 分）小明、小聪参加了 100m 跑的 5 期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）这 5 期的集训共有多少天？小聪 5 次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法【分析】 （1）根据图中的信息可以求得这 5 期的集训共有多少天和小聪 5 次测试的平均成绩；（2）根据图中的信心和题意
31、，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可【解答】解：（1）这 5 期的集训共有：5+7+10+14+2056（天） ，小聪 5 次测试的平均成绩是：（11.88+11.76+11.61+11.53+11.62）511.68（秒） ，答：这 5 期的集训共有 56 天，小聪 5 次测试的平均成绩是 11.68 秒；20（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第 4 期与前面两期相比；从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第 4 期出现，建议集训时间定为 14 天【点评】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，
32、利用数形结合的思想解答20 （8 分）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的连杆 BC， CD 与 AB 始终在同一平面上（1）转动连杆 BC， CD，使 BCD 成平角， ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离桌面l 的高度 DE（2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使 BCD165，如图 3，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 0.1cm，参考数据： 1.41， 1.73）【分析】 （1）如图 2 中，作 BO DE 于 O解直角三角形求出 OD 即可解决问题（2）作 D
33、F l 于 F， CP DF 于 P， BG DF 于 G， CH BG 于 H则四边形 PCHG 是矩形，求出 DF，再求出 DF DE 即可解决问题【解答】解：（1）如图 2 中，作 BO DE 于 O21 OEA BOE BAE90，四边形 ABOE 是矩形， OBA90， DBO1509060， OD BDsin6020 （ cm） ， DF OD+OE OD+AB20 +539.6（ cm） （2）作 DF l 于 F， CP DF 于 P， BG DF 于 G， CH BG 于 H则四边形 PCHG 是矩形， CBH60， CHB90， BCH30， BCD165， DCP45，
34、CH BCsin6010 （ cm） ， DP CDsin4510 （ cm） ， DF DP+PG+GF DP+CH+AB（10 +10 +5） （ cm） ，下降高度： DE DF20 +510 10 510 10 3.2（ cm） 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题21 （10 分）在屏幕上有如下内容：如图， ABC 内接于 O，直径 AB 的长为 2，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答（1）在屏幕内容中添加条件 D30，求 AD 的长请你解答（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加
35、的条件是 BD1，就可以求出 AD 的长小聪：你这样太简单了，我加的是 A30，连结 OC，就可以证明 ACB 与 DCO 全22等参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母） ，并解答【分析】 （1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OCD90，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OD2，然后计算 OA+OD 即可；（2）添加 DCB30，求 AC 的长，利用圆周角定理得到 ACB90，再证明 A DCB30，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求 AC 的长【解答】解：（1）连接 OC，如图， CD 为切线， OC CD， OCD90， D30， OD
36、2 OC2， AD AO+OD1+23；（2）添加 DCB30，求 AC 的长，解： AB 为直径， ACB90， ACO+ OCB90， OCB+ DCB90， ACO DCB， ACO A， A DCB30，在 Rt ACB 中， BC AB1， AC BC 23【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理22 （12 分）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE， AB AE6， BC5， A B90， C135， E90，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在 AE 上，并使所截矩形材料的面积
37、尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是 BC 或 AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由【分析】 （1）若所截矩形材料的一条边是 BC，过点 C 作 CF AE 于 F，得出S1 ABBC6530；若所截矩形材料的一条边是 AE，过点 E 作 EF AB 交 CD 于 F， FG AB 于 G，过点 C 作CH FG 于 H，则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形，证出 CHF 为等腰三角形，得出 AE FG6， HG BC5， BG CH FH，求出BG CH FH FG HG1， AG AB
38、BG5，得出 S2 AEAG6530；（2）在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM AB 于 M， FN AE 于 N，过点 C 作 CG FM 于 G，则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形，证出 CGF 为等腰三角形，得出MG BC5， BM CG， FG DG，设 AM x，则BM6 x， FM GM+FG GM+CG BC+BM11 x，得出 S AMFM x（11 x） x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果【解答】解：（1）若所截矩形材料的一条边是 BC，如图 1 所示：24过点 C 作 CF AE 于 F， S1 ABBC6530；若所截矩形材料的一条边是 A
39、E，如图 2 所示：过点 E 作 EF AB 交 CD 于 F， FG AB 于 G，过点 C 作 CH FG 于 H，则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形， C135， FCH45， CHF 为等腰直角三角形， AE FG6， HG BC5， BG CH FH， BG CH FH FG HG651， AG AB BG615， S2 AEAG6530；（2）能；理由如下：在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM AB 于 M， FN AE 于 N，过点 C 作 CG FM 于 G，则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形， C135， FCG45， CGF 为等腰直
40、角三角形， MG BC5， BM CG， FG DG，设 AM x，则 BM6 x， FM GM+FG GM+CG BC+BM11 x， S AMFM x（11 x） x2+11x（ x5.5） 2+30.25，当 x5.5 时， S 的最大值为 30.2525【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键23 （12 分）如图 1 是实验室中的一种摆动装置， BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，
41、 AD30， DM10（1）在旋转过程中，当 A， D， M 三点在同一直线上时，求 AM 的长当 A， D， M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长（2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90，点 D 的位置由 ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处，连结 D1D2，如图 2，此时 AD2C135， CD260，求 BD2的长【分析】 （1）分两种情形分别求解即可显然 MAD 不能为直角当 AMD 为直角时，根据 AM2 AD2 DM2，计算即可，当 ADM90时，根据 AM2 AD2+DM2，计算即可26（2）连接 CD首先利用勾股定理求出 CD1，再利用全等三角形的性质证明 BD2
42、 CD1即可【解答】解：（1） AM AD+DM40，或 AM AD DM20显然 MAD 不能为直角当 AMD 为直角时， AM2 AD2 DM230 210 2800， AM20 或（20 舍弃） 当 ADM90时， AM2 AD2+DM230 2+1021000， AM10 或（10 舍弃） 综上所述，满足条件的 AM 的值为 20 或 10 （2）如图 2 中，连接 CD由题意： D1AD290， AD1 AD230， AD2D145， D1D230 ， AD2C135， CD2D190， CD1 30 ， BAC A1AD290， BAC CAD2 D2AD1 CAD2， BAD1
43、CAD2， AB AC， AD2 AD1， BAD2 CAD1（ SAS） ， BD2 CD130 【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2724 （14 分）如图，矩形 ABCD 中， AB a， BC b，点 M， N 分别在边 AB， CD 上，点 E， F分别在边 BC， AD 上， MN， EF 交于点 P，记 k MN： EF（1）若 a： b 的值为 1，当 MN EF 时，求 k 的值（2）若 a： b 的值为 ，求 k 的最大值和最小值（3）若
44、k 的值为 3，当点 N 是矩形的顶点， MPE60， MP EF3 PE 时，求 a： b 的值【分析】 （1）作 EH BC 于 H， MQ CD 于 Q，设 EF 交 MN 于点 O证明 FHEMQN（ ASA） ，即可解决问题（2）由题意：2 a MN a， a EF a，当 MN 的长取最大时， EF 取最短，此时 k的值最大最大值 ，当 MN 的最短时， EF 的值取最大，此时 k 的值最小，最小值为（3）连接 FN， ME由 k3， MP EF3 PE，推出 3，推出 2，由 PNF PME，推出 2， ME NF，设 PE2 m，则PF4 m， MP6 m， NP12 m，接下
45、来分两种情形如图 2 中，当点 N 与点 D 重合时，点M 恰好与 B 重合如图 3 中，当点 N 与 C 重合，分别求解即可【解答】解：（1）如图 1 中，作 EH BC 于 H， MQ CD 于 Q，设 EF 交 MN 于点 O四边形 ABCD 是正方形， FH AB， MQ BC， AB CB，28 EH MQ， EF MN， EON90， ECN90， MNQ+ CEO180， FEH+ CEO180 FEH MNQ， EHF MQN90， FHE MQN（ ASA） ， MN EF， k MN： EF1（2） a： b1：2， b2 a，由题意：2 a MN a， a EF a，当 MN 的长取最大时， EF 取最短，此时 k 的值最大最大值 ，当 MN 的最短时， EF 的值取最大，此时 k 的值最小，最小值为 （3）连接 FN， ME k3， MP EF3 PE， 3， 2， FPN EPM， PNF PME， 2， ME NF，设 PE2 m，则 PF4 m，
