1、1课时提升作业(五)充要条件的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.设 , ,那么“=1,=0,所以 a 与 b 同向.而 ab 包括同向与反向两种情况.3.设 a,b 是实数,则“ab”是“a 2b2”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选 D.当 abb 不一定推出 a2b2,反之也不一定成立.4.(2015湖北高考) l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2是异面直线,q: l1,l2不相交,则 ( )A.p 是 q 的充分条件,但不
2、是 q 的必要条件B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件C.p 是 q 的充分必要条件D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件2【解析】选 A.若 p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知, l1,l2不相交,所以命题 q:l1,l2不相交成立,即 p 是 q 的充分条件,反过来,若 q:l1,l2不相交,则 l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出 l1,l2是异面直线,即 p 不是 q 的必要条件.5.(2015烟台高二检测)已知 a,bR,ab0,则“a0,b0”是“ ”a+2 a的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不
3、必要条件【解析】选 C.当 a0,b0 时由基本不等式可得 .a+2 a当且仅当 a=b 时取等号.反之,当 时,由 有意义结合 a,b0,可得 a,b 同号,即 a0,b0 或 a0,b0 成立,故“a0,b0”是“ ”的充要条件.a+2 a二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2015郑州高二检测)等差数列a n的首项为 a,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,则数列S n为递增数列的充要条件是 .【解题指南】若S n为递增数列,则 Sn+1Sn(nN *),据此转化求解.【解析】由 Sn+1Sn(nN *)(n+1)a+ dna+ d(nN *)dn+a0(nN *)n(+1)
4、2 n(1)2d0 且 d+a0.因此数列S n为递增数列的充要条件是 d0 且 d+a0.答案:d0 且 d+a07.(2015三明高二检测)直线 x+y+m=0 与圆(x-1) 2+(y-1)2=2 相切的充要条件是 .【解析】直线 x+y+m=0 与圆(x-1) 2+(y-1)2=2 相切圆心 (1,1)到直线 x+y+m=0 的距离等于 23 = |m+2|=2m=-4 或 0.|1+1+|2 2答案:m=-4 或 0【补偿训练】 “x2-2x0”的充要条件是 .【解析】x 2-2x0x(x-2)0x2 或 x2 或 x2 且 y3”是“x+y5”的充要条件;“b 2-4ac2 且 y
5、3 时,x+y5 成立,反之不一定,如 x=0,y=6,所以“x2 且 y3”是“x+y5”的充分不必要条件;不等式解集为 R 的充要条件是 a0,y0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1 必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是.答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.求方程 3x2-10x+k=0 有两个同号且不相等的实根的充要条件.【解析】方程 3x2-10x+k=0 有两个同号且不相等的实根等价于 解得=100120,12=30, 02.3答案:a2二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.(2015佛山高
6、二检测)数列a n既是等差数列又是等比数列的充要条件为 .【解析】依题意,a n+1-an=d,且 =q(d,q 为常数),对一切正整数 n 都成立,则 qan-an=d,所a+1以 an(q-1)=d 对一切正整数 n 都成立,故 d=0,q=1,数列a n为常数列.由于 an=0 不是等比数列,所以数列a n既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列a n是非零常数列.答案:数列a n为非零常数列4.(2015广州高二检测)设函数 f(x)=|log2x|,则 f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是 .【解析】由题意知函数 f(x)=|log2x|=l2,1,2,
7、00 且在三角形中,故 B=A-B,即 A=2B.必要性:若 A=2B,则 A-B=B,sin(A-B)=sinB,又 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.7所以 sin(A+B)=sinB(1+2cosA).因为 A,B,C 为ABC 的内角,所以 sin(A+B)=sinC,即 sinC=sinB(1+2cosA).所以 =1+2cosA=1+ = ,即 = .sin b2+22 b2+22+ cb2+2+2化简得 a2=b(b+c).所以“a 2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【补偿训练】已知a n为等差数
8、列,且 a1+a4=10,a1+a3=8,前 n 项和为 Sn.求证:a 1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是 k=6.【证明】设数列a n的公差为 d,由题意得 解得 所以 an=2+2(n-21+3=10,21+2=8, a1=2,=2,1)=2n,由此得 Sn= = =n(1+n).n(1+)2 n(2+2)2充分性:当 k=6 时,a 1=2,ak=a6=12,Sk+2=S6+2=S8=89=72,因为 = = = ,所以 a1,a6,S6+2成等比数列,即 a1,ak,Sk+2成等比数列.a611227212S86必要性:由 a1,ak,Sk+2成等比数列,得 =a1Sk+2,从而(2k) 2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0,解得 k=-a21(舍去)或 k=6.综上可知,k=6 是 a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件.8
