1、嘉应学院 物理 系 数学物理方法B 课程考试题一、简答题（共 70 分）1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6 分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。2、奇点分为几类？如何判别？ （6 分）在挖去孤立奇点 Zo 而形成的环域上的解析函数 F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将 Zo 称为函数 F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数 f(z)的奇点 ；B，把函数在 的环域作洛朗展开1）
2、如果展开式中没有负幂项，则 为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则 为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为 m 阶奇点。3、何谓定解问题的适定性？（6 分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6 分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.2） 这两曲线族在区域上正交。21,Cyxvu3） 和 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数),4）在边界上达最大值。4、数学物理泛定方程一般分为哪几类
3、？波动方程属于其中的哪种类型？（6 分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。5、写出 挑选性的表达式（6 分）)(x)()()0Rfdvrfxff6、写出复数 的三角形式和指数形式（8 分）231i三角形式： 3sinco231si231c22i指数形式：由三角形式得： 31iez7、求函数 在奇点的留数（8 分）2)(1z解：奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点：z=2 1)2(1)(limRe1)( zzsf1)(lim)2(1)2(!1limRe 222)( zzzdsfz8、求回路积分 （8 分）zz13cos解： 有三
4、阶奇点 z=0（在积分路径内）)(zf 21-coszlimzcs!21limRe030)( zzdsf原积分=iifi )21()e9、计算实变函数定积分 （8 分）dx142解： )1(2)1(2)1(2)1(2)( 242 izizizizzf它具有 4 个单极点：只有 z= 和 z= 在上半平面，其留数分别为：)(i)(i2)12(I 21)(2)1()(limRe 21)(2)1(2)1(2lie 20)1(2 20)1(2 ii iizizizsf iizizizsfii10、求幂级数 的收敛半径（8 分）kkiz)(111limlilim1izkkaRk所 以 收 敛 圆 为二、
5、计算题（共 30 分）1、试用分离变数法求解定解问题（14 分）0,2/1,002ttlxxt uutlxa令 ，并代入方程得)(),(tTxXt移项 0)( 2tTlXaXTa2和0)(l02 axCxxXexx sincos)(0 2121时 ， 方 程 的 解 为 ：在 时 ， 方 程 的 解 为 ：在 时 ， 方 程 的 解 为 ：在由边界条件 得：0)( l，xlnCxXlnl lCllXxCxxXcos)(0i0cos)( sin(0)121 212 21 （ 否 则 方 程 无 解 ） ， ，时 ， 时 ，时 ， )3,21(sincos)( 000 22 ， 得 ：的 方 程代
6、 人和把 latBlatAtTTTlnn xlnlatBltAttxUnn cos)sico(,10由初始条件得 0cos2110xllaBn把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得 lnln ll xdlnaBxdlnxA0000 cos2cos)21( 得： )2(14)1(cos220 knAAl nn xllatlltxUn )4(21),(22、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解） （6 分）0,sin),(00byy axxuBuA),(,),(txwtvtxu令0sin0byyaxxyvBv， 0)(0byyaxxywA， ，则，v，w 都可以分别用分离变量法求解了。3、求方程 满足初始条件 y(0)=0,y(0)=1 的解。(10 分) 解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得 13212 pfpfpf解上式这个代数方程，得 31pf 184 pfttteety31teyy32
