1、2009 年普通高等学校招生全国统一 1 卷考试文科数学（必修+选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件
2、 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PPB 24SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径，球的体积公式()()AB如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么P34VR次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nk()(1)(01,2)knnPCn， ， ，一、选择题（1） 的值为o58si(A) (B) (C) (D) 232(2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 ，则集合UAB中的元素共有()UAB(A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D ）6 个（3）不等式 的解集为1x（A） （B）0x01x（C） （D ）1x（4）已知
3、tan =4,cot = ,则 tan(a+ )=a3(A) (B) (C) (D) 711713（5）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线20xyabb ， 21y x的离心率等于（A） （B）2 （C ） （D ）356（6）已知函数 的反函数为 ，则()fx()10gxx 2l )1(gf（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4（7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种（8）设非零向量 、
4、、 满足 ，则abccba|,| ba,（A）150 （B）120 （C）60 （D）30（9）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为1A1ABC的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为BC1(A) (B) (C) (D) 34547434(10) 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为cos(2)yx(,0)(A) (B) (C) (D) 6432（11）已知二面角 为 600 ，动点 P、Q 分别在面 内，P 到 的距离为 ，l,3Q 到 的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为23（12）已知椭圆 的右焦点为 F,右准线 ，点 ，线段 AF 交 C
5、于点 B。2:1xCylAl若 ,则 =3FAB(A) (B) 2 (C) (D) 3第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3本卷共 10 小题，共 90 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（13） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于_.10()xy73xy37xy（14）设等差数列 的前 项
6、和为 。若 ，则 _.nanS9249a。(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若OAOAMOAM圆 的面积为 ，则球 的表面积等于_.M3（16）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，m12:0:30lxylxy与 2则 的倾斜角可以是 153045675其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，已nansnbnT知 的通项公式.133,1
7、7,2,nabTS求 a(18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）在 中，内角 的对边长分别为 .已知 ，且ABCBC、 、 bc、 、 2ab，求 .sin4cosinb(19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面SDASD， ， ，点 在侧棱 上，ABCD22CMC60M（）证明： 是侧棱 的中点；S（）求二面角 的大小。 （同理 18）AB(20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙
8、获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。（21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 .42()36fx（）讨论 的单调性；（）设点 P 在曲线 上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的()yfxll方程(22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线 与圆2:Eyx相交于 A、B、C、D 四个点。22:(4)(0)Mxyr（）求 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的
9、坐标。1【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解： ，故选择 A。245sin)180sin()25360sin(58si oooo2【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1）解： ， 故选 A。也可用摩根,47,9AB4,79()3,8UABAB定律： ()()UU3【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解： ，040)1()(|1|1 22 xxxx故选择 D。4【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题 ， ，故选择 B。3tan 17234tan1t)t( 5【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关
10、系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方20xyabb 1 ， abxy程整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即02abx 042ab，故选择 C。552eac（6） 【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，1lg2x1)(f)(g2)1(gf故选择 C。（7） 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有 ，故选择 D。34526151265C（8） 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为
11、起点abab处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9） 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7）解：设 的中点为 D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成BC1A1ABAB1C的角,由三角余弦定理，易知 .故选 D113cocs4osD(10) 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数 的图像关于点 中心对称cos2yx 3 43， 0由此易得 .故选 A42k1()6kZmin|6（11） 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10）解:如图分别作 ,QAClPB于 于 于，连 PDl于 60BDQ则，2
12、3,2又 213QAPA当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选 C。0点 与 点（12） 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解：过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 ,故 .Mll 3FAB2|3M又由椭圆的第二定义,得 .故选 A2|3F|2F（13） 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13）解: 因 所以有rrr yxCT101)( 3731010()4C（14） 【解析】本小题考查等差数列的性质、前 项和，基础题。 （同理 14）n解: 是等差数列,由 ,得na972S59,a8。24924564
13、()()32a(15)【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为 ，圆 M 的半径为 ，则 ，即 由题得 ，Rr232r3)2(R所以 。16422（16） 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜21|3|dm1lo301l角为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写或o45m07540o 05o(17)【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和，基础题。n解：设 的公差为 ，数列 的公比为 ，nadnbq由 得 317b2317得 2TS4q由及
14、 解得02,d故所求的通项公式为 。11(),32nn nab(18)【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得 ，Abccos22又 ，0,22bca，Abos即 c由正弦定理得 insBC又由已知得 i4coiA，sincB所以 sb故由解得 4(19)解法一：（I）作 交 于点 E，则 ， 平面 SADMECDSMABE连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作 ，垂足为 F，则 AFME 为矩形FAB设 ，则 ，xSx22()Dx2(),EBx由 2tan60()3()MFB。 得解得 1x即 ，从而E12DC所以 为侧棱 的中点S（） ，又 ,所以 为等边三角形，2MB
15、60,2ABMABM又由（）知 M 为 SC 中点，故,6,SA22,90SS取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则 ,由此知,BGAH为二面角 的平面角BHB连接 ，在 中，BHG23122,2AMSBHA所以226cos 3B二面角 的大小为SAarcos()解法二:以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz设 ，则(2,0)A(2,0)(,)(0,2)BCS（）设 ,则SM(,),(,)11又 0260ABAB故 |cos即 2224()()11解得 ，即SMC所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由 ，得 AM 的
16、中点(0,1)(2,0)A21(,)G又 3(,),(,)(,)GBSAM0,0AM所以 S因此 等于二面角 的平面角,GBAB6cos, 3|GBMSS所以二面角 的大小为Aarcos()(20)【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第 局甲获胜”为事件 ， “第 局乙获胜”为事件i )5,43(iAj。(3,45)jB（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则，由于各局比赛结果相互独立，故4343BA 3434()()()PPB34(52.0.60.（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比
17、赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故54354343 AAB)()P648.0.60.4.06. )()()()()( 535433 5 APBP（21） 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（） 3()()2fxx令 得 或 ；()0f066令 得 或()fx22x因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和xf)0,26(),()26,(为减函数。)26,0(（）设点 ，由 过原点知， 的方程为 ，)(,0xfPll0()yfx因此 ，即 ，0)64(6330204 x整理得 ，)1(x解得 或200因此切线 的方程为 或ly2y
18、x(22)解：（）将抛物线 代入圆 的方程，消:E22:(4)(0)Myr去 ，2y整理得 227160xr与 有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根EM12x、由此得22122()4()706rxA解得 54r又 0所以 的取值范围是r15(,4)2（II） 设四个交点的坐标分别为 、1(,)Ax、 、 。1(,)Bx2(,)Cx2(,)Dx则由（I）根据韦达定理有 ，212127,6r15(,4)则 21212|()|()Sxxx2 2112()4)76(415)r令 ，则 下面求 的最大值。6rt22(7)Stt2S方法 1：由三次均值有： 221(7)()7(14)Stttt3
19、3428当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。721tt7615(,4)2r方法 2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、1(,)Ax1(,)Bx2(,)Cx(,)Dx则直线 AC、BD 的方程分别为 )(),( 11211121 xxyxxy 解得点 P 的坐标为 。0,2设 ，由 及（）得21t6rt 7(0,)2t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)(22121xxS则 4)(2121211 x将 ， 代入上式，并令 ，得72xtx)(Stf，)270349828)()()3 tttttf ，24569(7)6fttt令 得 ，或 （舍去）()0ft7t2t当 时， ；当 时 ；当 时，670t()0ft67t()0ft276t()0ft故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐t)(tf标为 )0,67(
