1、12015-2016 学年 xx 中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1若直线 l 经过原点和点 A（2，2） ，则它的斜率为（ ）A1 B1 C1 或 1 D02如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（ ）A B C2 D43三个平面把空间分成 7 部分时，它们的交线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D1 条或 2 条4已知半径为 1 的动圆与定圆（x5） 2+（y+7） 2=16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A （x5） 2+（y+7） 2=25B （x5） 2+（y+7） 2=3
2、或（x5） 2+（y+7 ） 2=15C （x5） 2+（y+7） 2=9D （x5） 2+（y+7） 2=25 或（x5） 2+（y+7） 2=95在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1=a，E，F 分别是 BC，DC 的中点，则异面直线AD1 与 EF 所成角为（ ）A90 B60 C45 D306过点 A（1，2）且垂直于直线 2x+y5=0 的直线方程为（ ）Ax2y+4=0 B2x+y7=0 Cx2y+3=0 Dx2y+5=07在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2） ，B（1，3，1） ，点 M 在 y 轴上，且 M到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是（
3、）A （0，1，0） B （0，1， 0） C （1，0，1） D （0，1，1）8若直线 l1：ax+y1=0 与 l2：3x+（a+2）y+1=0 平行，则 a 的值为（ ）2A3 B1 C0 或 D1 或39给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个10若直线 l1：y=kx+k+2 与 l2：y=2x+4 的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak Bk2 C k2 Dk 或
4、k2二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）11棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12点 P（2，1）为圆（x3） 2+y2=25 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是 13过点（0，1）的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则|AB|的最小值为 14把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1：4，母线长是 10 cm，则圆锥的母线长为 cm三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共 44 分）15如图所示，圆心 C 的坐标为（ 2，2） ，圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切（1）求圆 C 的一般方程；（2）求与圆 C 相切，且在 x 轴和 y
5、 轴上的截距相等的直线方程316已知三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点 D 是 AB 的中点（）求证：BC 1平面 CA1D；（）若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，BB 1= ，求三棱锥 B1A 1DC 的体积17如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，E 是 PC 的中点，求证：（1）平面 PAC平面 BDE；（2）求二面角 EBDC 的大小418在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x26x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线 xy+a=0 交与 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的
6、值52015-2016 学年 xx 中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1若直线 l 经过原点和点 A（2，2） ，则它的斜率为（ ）A1 B1 C1 或 1 D0【考点】斜率的计算公式 【专题】计算题【分析】把原点坐标（0，0）和点 A 的坐标（2，2）一起代入两点表示的斜率公式 k= ，即可得到结果【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k= = =1，故选 B【点评】本题考查用两点表示的斜率公式得应用，注意公式中各量所代表的意义，体现了代入的思想2如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何
7、体的体积为（ ）A B C2 D4【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆柱，高和底面直径都是 2据此即可计算出其体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆柱，高和底面直径都是 2V=122=2故选 C【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键3三个平面把空间分成 7 部分时，它们的交线有（ ）6A1 条 B2 条 C3 条 D1 条或 2 条【考点】平面的基本性质及推论 【分析】画出把空间分成 7 部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题【解答】解：根据题意，三个平面把空间分成 7 部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交
8、线故选 C【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题4已知半径为 1 的动圆与定圆（x5） 2+（y+7） 2=16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A （x5） 2+（y+7） 2=25B （x5） 2+（y+7） 2=3 或（x5） 2+（y+7 ） 2=15C （x5） 2+（y+7） 2=9D （x5） 2+（y+7） 2=25 或（x5） 2+（y+7） 2=9【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【专题】数形结合【分析】由圆 A 的方程找出圆心坐标和半径 R，又已知圆 B 的半径 r，分两种情况考虑，当圆 B 与圆 A 内切时，动点 B 的
9、运动轨迹是以 A 为圆心，半径为 Rr 的圆；当圆 B 与圆A 外切时，动点 B 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 R+r 上网圆，分别根据圆心坐标和求出的圆的半径写出圆的标准方程即可【解答】解：由圆 A：（x 5） 2+（y+7） 2=16，得到 A 的坐标为（5，7） ，半径 R=4，且圆 B 的半径 r=1，根据图象可知：当圆 B 与圆 A 内切时，圆心 B 的轨迹是以 A 为圆心，半径等于 Rr=41=3 的圆，则圆 B 的方程为：（x5） 2+（y+7） 2=9；当圆 B 与圆 A 外切时，圆心 B 的轨迹是以 A 为圆心，半径等于 R+r=4+1=5 的圆，则圆 B 的方程为：（x5
10、） 2+（y+7） 2=25综上，动圆圆心的轨迹方程为：（x5） 2+（y+7） 2=25 或（x5） 2+（y+7） 2=9故选 D7【点评】此题考查学生掌握圆与圆相切时所满足的条件，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题5在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1=a，E，F 分别是 BC，DC 的中点，则异面直线AD1 与 EF 所成角为（ ）A90 B60 C45 D30【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线 AD1 与 EF
11、 所成角【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角系，A（a，0，0） ，D 1（0，0，a） ，E（ ，a ，0） ，F （0， ， 0） ，=（ a，0，a ） ， =（ ） ，设异面直线 AD1 与 EF 所成角为 ，cos=| |=| |= ，=60，异面直线 AD1 与 EF 所成角为 60故选：B8【点评】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用6过点 A（1，2）且垂直于直线 2x+y5=0 的直线方程为（ ）Ax2y+4=0 B2x+y7=0 Cx2y+3=0 Dx2y+5=0【考
12、点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆【分析】根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于 ，用点斜式求得所求直线的方程【解答】解：直线 2x+y5=0 的斜率等于2，故所求的直线的斜率等于 ，故过点 A（1，2）且垂直于直线 2x+y5=0 的直线方程为 y2= （x1） ，即x2y+3=0，故选 C【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题7在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2） ，B（1，3，1） ，点 M 在 y 轴上，且 M到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是（ ）A （0，1，0） B （0，1， 0） C （1，0，
13、1） D （0，1，1）【考点】空间两点间的距离公式 【专题】空间位置关系与距离【分析】根据点 M 在 y 轴上，设出点 M 的坐标，再根据 M 到 A 与到 B 的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得 AM，BM，解方程即可求得 M 的坐标【解答】解：设 M（0，y，0）由 12+y2+4=1+（y+3 ） 2+1可得 y=1故 M（0，1，0）9故选：A【点评】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题8若直线 l1：ax+y1=0 与 l2：3x+（a+2）y+1=0 平行，则 a 的值为（ ）A3 B1 C0 或 D1 或
14、3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】直线与圆【分析】利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出 a 的值【解答】解：a=2 时，l 1 不平行 l2，l1l2解得：a=1故选：B【点评】本题考查两直线平行条件，体现了转化的数学思想，属于基础题9给出下列命题过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【考点】平面的基本性质及推论 【专题】计算题【分析】过平面外一点有无数个平面
15、与已知平面垂直；过直线外一点有无数个平面与已知直线平行；过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直【解答】解：过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，过这条直线的平面都和已知平面垂直，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过平面外一点无数个平面与已知平面垂直故不正确；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，过这条直线的平面都和已知直线平行，因为过这条直线能作出无数个平面，所以过直线外一点无数个平面与已知直线平行故不正确；过直线外一点无数条直线与已知直线垂直，故不正确；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故正确故选 B【点评】本题考查平面的基
16、本性质和推论，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象力的培养1010若直线 l1：y=kx+k+2 与 l2：y=2x+4 的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak Bk2 C k2 Dk 或 k2【考点】两条直线的交点坐标 【专题】计算题【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于 0，解不等式组即可【解答】解：由 得 ，由 得 k2故选 C【点评】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）11棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 27 【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；综合题【分析】正方
17、体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为 l，则 l= =3 ，故答案为：27【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题12点 P（2，1）为圆（x3） 2+y2=25 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是 x+y1=0 【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题【分析】由圆的方程找出圆心 A 的坐标，再由 P 的坐标，求出直线 AP 的斜率，由 P 为弦的中点，根据垂径定理得到过 P 的直径与弦垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为1，得出弦所在直线的斜率，最后由 P 的坐标和求出的斜率，写出弦所在
18、直线的方程即可【解答】解：由圆的方程得到圆心 A 坐标为（3，0） ，又 P（2，1） ， 直线 AP 的斜率为 =1，由 P 为弦的中点，得到过 P 的直径与该弦垂直，11该弦所在直线方程的斜率为1，则弦所在直线的方程为：y（1）=（x2） ，即 x+y1=0故答案为：x+y1=0【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的斜截式方程，根据 P 为弦的中点，利用垂径定理得：过 P 的直径与弦垂直是本题的突破点13过点（0，1）的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则|AB|的最小值为 2 【考点】两点间的距离公式 【专题】计算
19、题；直线与圆【分析】计算弦心距，再求半弦长，由此能得出结论【解答】解：x 2+y2=4 的圆心 O（0，0） ，半径 r=2，点（ 0，1）到圆心 O（0，0 ）的距离 d=1，点（ 0，1）在圆内如图，|AB|最小时，弦心距最大为 1，|AB|min=2 =2 故答案为：2 【点评】本题考查圆的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的灵活运用14把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1：4，母线长是 10 cm，则圆锥的母线长为 13 cm【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】计算题【分析】作出圆锥的轴截面如图，利用平行线截线段成比例，求出 SA，求
20、出圆锥的母线长【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设 SA=y，OA=x；利用平行线截线段成比例，则 SA：SA=OA：OA，即（ y10）：y=x：4x，解得 y=13 即圆锥的母线长为 13 cm故答案为：1312【点评】本题考查旋转体的截面知识，考查计算能力，是基础题三、解答题（写出必要的文字说明和解答过程，共 44 分）15如图所示，圆心 C 的坐标为（ 2，2） ，圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切（1）求圆 C 的一般方程；（2）求与圆 C 相切，且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程【考点】圆的一般方程 【专题】计算题；直线与圆【分析】 （1）确定圆的半径，可得圆的标准方程，
21、进而可得一般方程；（2）设出直线方程，利用直线与圆相切，可得直线方程【解答】解：（1）由题意，圆心 C 的坐标为（2，2） ，圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切，则半径r=2所以圆 C 的方程是：（x2） 2+（y2） 2=4，一般方程是：x 2+y24x4y+4=0（2）由题意，在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线一定为斜率为1，可设为 y=x+b，直线与圆相切， =2，b=42 ，故直线方程为 x+y42 =0【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题16已知三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点 D 是 AB 的中点（）求证
22、：BC 1平面 CA1D；（）若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，BB 1= ，求三棱锥 B1A 1DC 的体积13【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】 （1）连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE，只要证明 DEBC1；（2）求出 CD面 AA1B1B，得到 CD 是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答【解答】 （）证明：连接 AC1 交 A1C 于点 E，连接 DE因为四边形 AA1C1C 是矩形，则 E 为 AC1 的中点又 D 是 AB 的中点，DEBC 1，又 DE面 CA1D，BC 1面 CA1D，所以 BC1面 CA1
23、D；（2）解：AC=BC，D 是 AB 的中点，AB CD，又 AA1面 ABC，CD面 ABC，AA 1CD，AA1AB=A，CD面 AA1B1B，CD 面 CA1D，平面 CA1D平面 AA1B1B 所以 CD 是三棱锥 B1A 1DC 的高，又 = ，所以 = AD= =1；【点评】本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法17如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，E 是 PC 的中点，求证：（1）平面 PAC平面 BDE；（2）求二面角 EBDC 的大小14【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的
24、判定 【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （I）利用线面、面面垂直的判定及其性质定理即可证明；（2）如图所示，连接 OE，OC 由（1）可知：BD OC，BDOE ，可得COE 是二面角EBDC 的平面角利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】 （）证明：PO 底面 ABCD，PO BD，又 ACBD，且 ACPO=OBD平面 PAC，而 BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE（2）如图所示，连接 OE，OC 由（1）可知：BDOC ，BDOE，COE 是二面角 EBDC 的平面角AB=2，OC= BD= OC=OP，又 POOC，PE=EC，COE=45【点评
25、】本题考查了线面、面面垂直的判定及其性质定理、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x26x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线 xy+a=0 交与 A，B 两点，且 OAOB，求 a 的值【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质 15【专题】直线与圆【分析】 （）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
26、（）利用设而不求思想设出圆 C 与直线 xy+a=0 的交点 A，B 坐标，通过 OAOB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于 a 的方程，通过解方程确定出 a 的值【解答】解：（）法一：曲线 y=x26x+1 与 y 轴的交点为（0，1） ，与 x 轴的交点为（3+2 ，0） ， （32 ，0） 可知圆心在直线 x=3 上，故可设该圆的圆心 C 为（3，t） ，则有 32+（t1 ） 2=（2 ） 2+t2，解得 t=1，故圆 C 的半径为 ，所以圆 C 的方程为（x3） 2+（y1） 2=9法二：圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1 有 1+E+F=0y=0，x 2 6x
27、+1=0 与 x2+Dx+F=0 是同一方程，故有 D=6，F=1 ，E=2，即圆方程为 x2+y26x2y+1=0（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其坐标满足方程组，消去 y，得到方程 2x2+（2a8）x+a 22a+1=0，由已知可得判别式=56 16a 4a 20在此条件下利用根与系数的关系得到 x1+x2=4a，x 1x2= ，由于 OAOB 可得 x1x2+y1y2=0，又 y1=x1+a，y 2=x2+a，所以可得 2x1x2+a（x 1+x2）+a2=0由可得 a=1，满足=5616a4a 20故 a=1 【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型
