1、数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入 知 识 点 （ 一 ）1 复 数 的 概 念 ：（ 1） 虚 数 单 位 i；（ 2） 复 数 的 代 数 形 式 z=a+bi， (a, b R)；（ 3） 复 数 的 实 部 、 虚 部 、 虚 数 与 纯 虚 数 。2 复 数 集 (0) (,)(-) (0 () babiRa 3 复 数 a+bi(a, b R)由 两 部 分 组 成 ， 实 数 a 与 b 分 别 称 为 复 数 a+bi 的实 部 与 虚 部 ， 1 与 i 分 别 是 实 数 单 位 和 虚 数 单 位 ， 当 b=0 时 ， a+bi 就 是 实数 ， 当 b 0 时
2、 ， a+bi 是 虚 数 ， 其 中 a=0 且 b 0 时 称 为 纯 虚 数 。应 特 别 注 意 ， a=0 仅 是 复 数 a+bi 为 纯 虚 数 的 必 要 条 件 ， 若 a=b=0， 则a+bi=0 是 实 数 。4 复 数 的 四 则 运 算若 两 个 复 数 z1=a1+b1i， z2=a2+b2i，（ 1） 加 法 ： z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（ 2） 减 法 ： z1 z2=(a1 a2)+(b1 b2)i；（ 3） 乘 法 ： z1z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（ 4） 除 法 ： ；22)i（ 5） 四 则 运 算
3、的 交 换 率 、 结 合 率 ； 分 配 率 都 适 合 于 复 数 的 情 况 。（ 6） 特 殊 复 数 的 运 算 ： (n 为 整 数 )的 周 期 性 运 算 ； (1i)2 =2i；i 若 =- + i， 则 3=1， 1+ + 2=0.2135 共 轭 复 数 与 复 数 的 模（ 1） 若 z=a+bi， 则 ， 为 实 数 ， 为 纯 虚 数 (b 0).zabizz（ 2） 复 数 z=a+bi 的 模 |Z|= , 且 =a2+b2.2|6.根 据 两 个 复 数 相 等 的 定 义 ， 设 a, b, c, d R， 两 个 复 数 a+bi 和 c+di相 等 规
4、定 为 a+bi=c+di . 由 这 个 定 义 得 到 a+bi=0 .cb 两 个 复 数 不 能 比 较 大 小 ， 只 能 由 定 义 判 断 它 们 相 等 或 不 相 等 。7 复 数 a+bi 的 共 轭 复 数 是 a bi， 若 两 复 数 是 共 轭 复 数 ， 则 它 们 所 表 示 的点 关 于 实 轴 对 称 。 若 b=0， 则 实 数 a 与 实 数 a 共 轭 ， 表 示 点 落 在 实 轴 上 。8 复 数 的 加 法 、 减 法 、 乘 法 运 算 与 实 数 的 运 算 基 本 上 没 有 区 别 ， 最 主 要 的是 在 运 算 中 将 i2= 1 结
5、 合 到 实 际 运 算 过 程 中 去 。如 (a+bi)(a bi)= a2+b29 复 数 的 除 法 是 复 数 乘 法 的 逆 运 算 将 满 足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi 0)的 复 数 x+yi 叫 做 复 数 a+bi 除 以 复 数 c+di 的 商 。由 于 两 个 共 轭 复 数 的 积 是 实 数 ， 因 此 复 数 的 除 法 可 以 通 过 将 分 母 实 化 得 到 ，即 .2()()abiicdcaicdd10 复 数 a+bi 的 模 的 几 何 意 义 是 指 表 示 复 数 a+bi 的 点 到 原 点 的 距 离 。（ 二 ） 典
6、型 例 题例 1 使 不 等 式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成 立 的 实 数 m .例 2 证 明 ： 1iz数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入 (历 年 高 考 经 典 题 型 )（ 二 ）一 、 选 择 题1.设 复 数 z 满 足 (1-i)z=2 i,则 z= ( )A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i2. （ ）2)(iA. B. C. D. 1i21i21i3 如 图 ， 在 复 平 面 内 ， 点 表 示 复 数 ， 则 图 中 表 示 的 共Azz轭 复 数 的 点 是 （ ）A. B.yxDBAOCC. D.4.已 知 i 是
7、 虚 数 单 位 ,则 (-1+i)(2-i)= ( )A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i5. （ ）21iA. B. C. D.2216. （ ）3+iA. 8 B. C. D.88i8i7.已 知 i 是 虚 数 单 位 ,则 (2+i)(3+i)= ( )A.5-5i B.7-5iC.5+5i D.7+5i8.复数 z满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则 z的共轭复数 为( )zA.2+i B.2-i C. 5+i D.5-i9.若 复 数 满 足 ， 则 的 虚 部 为 （ ）z|34|)3(izizA. B. C. D. 455410.复 数 ，
8、 则 （ ）)()2为 虚 数 单 位iz|zA.25 B. C.5 D.4111. 设 z1, z2 是 复 数 , 则 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是 ( )A. 若 , 则 B. 若 , 则|012z 12z12zC. 若 则 D. 若 则 21z 12.设 z 是 复 数 , 则 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是 ( )A. 若 , 则 z 是 实 数 B. 若 , 则 z 是 虚 数20 20zC. 若 z 是 虚 数 , 则 D. 若 z 是 纯 虚 数 , 则 20 20z13.复 数 z=i(1+i)(i 为 虚 数 单 位 )在 复 平 面 上 对 应 的 点
9、位 于 （ ）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限14.已 知 集 合 M=1， 2， zi,i 为 虚 数 单 位 ， N= 3， 4 ， M N= 4 ， 则 复数 z= ( )A. -2i B. 2i C. -4i D.4i15.复数 z=i（-2-i） （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限16.设 是 虚 数 单 位 ， 是 复 数 的 共 轭 复 数 ， 若 ， 则 = （ i_zz 2ziz）A. B. C. D.+i1i-1+i1-i17.设 i 是 虚 数 单 位 ， 若
10、复 数 是 纯 虚 数 ， 则 a 的 值 为 （ ）0()3-aRiA.-3 B.-1 C.1 D.318.在 复 平 面 内 ,复 数 (2-i)2对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限19.在 复 平 面 内 ， 复 数 i（ 2-i） 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限20.已 知 复 数 z 的 共 轭 复 数 (i 为 虚 数 单 位 ),则 z 在 复 平 面 内 对 应 的21z点 位 于 ( )A.第 一 象 限 B.第 二 象 限C
11、.第 三 象 限 D.第 四 象 限21.复 数 的 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 （ ）12Zi为 虚 数 单 位A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象限22.若复数 z满足 iz=2+4i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2)23.若 ， ， 则 复 数 的 模 是 （ ）i()34ixy,xyRixyA 2 B 3 C 4 D 524.复 数 的 模 为 （ ）1zi.2.2225.在 复 平 面 内 ， 复 数 z= （ i 为 虚 数 单 位 ） 的 共 轭 复
12、数 对 应 的 点 位 于 （ 1）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限二 、 填 空 题26.已 知 a,b R,i 是 虚 数 单 位 .若 (a+i)(1+i)=bi,则 a+bi= .27.已 知 复 数 （ 是 虚 数 单 位 ） ， 则 512ziz28.设 m R,m2+m-2+( m2-1)i 是 纯 虚 数 ， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则 m= .29. 为 虚 数 单 位 ， 设 复 数 ， 在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 原 点 对 称 ， 若i 1z2， 则 .13z2z30.设 （ 为 虚 数 单 位 ） ， 则 复 数 的 模 为 )(i z
