1、 - 1 - 2016-2017 学年2 月联考 高三理科 数学试卷 【完卷时间：120 分钟； 满分 150 分】 一、选择题：本大题 共 12 小题，每小题 5 分 ，共 60 分。在每小题给出 的四 个选项中，只有 一项是符合题目要求 的。 请把答案填涂在答题 卷相 应位置上 。 1 、 设 复数z 满足 ( 2 )(2 ) 5 z i i ，则z （ ） A 23 i B 23 i C32 i D32 i 2 、已 知 2 ,R y y x x ， 22 1, R, R y x y x y ，则 （ ） A 2, 2 B 0, 2 C 0,1 D 1,1 3 、 等 比数 列 n a
2、的前n 项和 为 n S ，若 3 2 S ， 6 18 S ，则 10 5 S S 等于 （ ） A -3 B 5 C -31 D 33 4 、已知 tan 2( (0, ) ，则 5 cos( 2 ) 2 （ ） A. 3 5B. 4 5C. 3 5 D. 4 5 5 、 在 如图 所示 的程 序框 图 中， 若 输出 的值 是3 ， 则 输 入x 的取 值范 围是 （ ） A (4,10 B (2, ) C(2,4 D (4, ) 6 、 某 几何 体 的三 视 图如 图， 其 正 视图 中的 曲 线 部分为 半圆 ，则 该几 何体 的体积 是（ ） A 3 4 2 B63 C 3 6
3、2 D 3 12 2 7 、 如 图， 已知 双曲 线 : C 22 22 1( 0, 0) xy ab ab 的左 、右焦 点分 别为 12 , FF ，离 心率 为2， 以双曲 线C 的实轴 为直 径的 圆记为 圆O ，过点 2 F 作圆O 的切 线，切 点为P ， 则以 12 , FF 为焦点 ，过 点P 的椭圆T 的离心 率为 （ ） - 2 - A 53 2 B53 C 73 4 D 73 8 、 有 六人 排成 一排 ， 其 中 甲只能 在排 头或 排尾 ， 乙丙 两人必 须相 邻 ， 则 满足 要求 的排法 有 （ ） A 34 种 B48 种 C96 种 D144 种 9 、
4、已 知函 数 ( ) cos(2 ) cos2 3 f x x x ，其中xR ，给 出 四个结 论： 函数 () fx 是最 小正 周期 为 的奇函数 ； 函数 () fx 的图 象的 一条 对称 轴是 2 3 x ； 函数 () fx 图象 的一 个对 称中 心是 5 ( ,0) 12 ； 函数 () fx 的递 增区 间为 2 , ( ) 63 k k k Z .则 正 确结论 的个 数为 （ ） A 4 个 B 3 个 C. 2 个 D 1 个 10 、已知平面向量 OA 、 OB 、 OC 为 三 个 单 位 向 量 ， 且 OA 0 OB ，满足 OC OA x ) , ( R y
5、 x OB y ，则 y x 的最大 值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D2 11 、 已知 两定 点 ( 1,0) A 和 (1,0) B ， 动点 ( , ) P x y 在 直线:3 l y x 上移动 ， 椭圆C 以A ，B 为焦点 且经 过点P ，则 椭圆C 的离心 率的 最大 值为 （ ） A 5 5B 10 5C 25 5D 2 10 512 、 已 知 实 数 , ab满足ln( 1) 3 0 b a b ，实数 , cd 满足2 5 0 dc ，则 22 ( ) ( ) a c b d 的最小 值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本题共4 小 题，每
6、小题5 分，共 20 分 。请把答案填在答题 卷的 相应位置 13 、 若 , xy 满足 0 1 0 xy xy y ，则 2 z x y 的最 小值 为_ 14 、 已知函数 2 2 1, 0 ,0 xx fx x x x ，若函数 g x f x m 有三个零点，则实数m 的取 值范围 是_ 15 、 已知三棱锥S ABC ，满足 , SA SB SC 两两垂直，且 2 SA SB SC ，Q 是 三 棱 锥 - 3 - S ABC 外接球 上一 动点 ，则 点Q 到平面ABC 的距离 的最 大值 为 . 16 、 已知数列 n a 与 n b 满足 ) ( 3 2 N n b a n
7、n ，若 n b 的前n 项和为 ) 1 3 ( 2 3 n n S 且 3 ) 3 ( 36 n b a n n 对一切 N n 恒成 立， 则实 数 的取值范 围是 . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 - 4 - 步 骤 。 请 把 答 案 写 在 答 题 卷 的 相 应 位 置 。 17 、 （ 本题 满分12 分） 在 ABC 中，角 C B A 、 、 所对的边为 c b a 、 、 ，且满足 2 2 2 66 cos A cos B cos(A )cos(A ) . （）
8、 求角B 的值 ； （） 若 a b 3 ，求 c a 2 的取值 范围. 18 、 （ 本题 满分12 分） 已 知等比 数列 n a 的公 比 1 q ，且满 足： 234 28 a a a ，且 3 2 a 是 24 , aa 的等 差中 项. （1 ） 求数 列 n a 的通项 公式 ； （2）若 1 1 2 2 log , S n n n n n b a a b b b ， 求使 1 2 62 n n Sn 成立 的正 整 数n 的最 小值 - 5 - 19 、 （ 本题 满分12 分） 如图1，在 ABC 中， 00 2, 90 , 30 ,P AC ACB ABC 是AB 边的
9、中点 ， 现 把 ACP 沿 CP 折成如 图2 所示 的三 棱锥A BCP ，使得 10 AB （1 ） 求证 ：平 面ACP 平面BCP ； （2 ） 求二 面角B AC P 的余 弦值 20 、 （ 本题 满分12 分） 已 知椭圆 1 C ： 1 4 8 2 2 y x 的 左、右 焦点分 别为 2 1 F F 、 ，过 点 1 F 作垂直 于x 轴的 直线 1 l ，直 线 2 l 垂直 1 l 于点P ，线 段 2 PF 的垂直 平分线 交 2 l 于点M （1 ） 求点M 的轨 迹 2 C 的方程 ； （2 ）过点 2 F 作两条互相垂 直的直线 BD AC 、 ， 且分别交椭圆
10、于 D C B A 、 、 、 ，求四边 形 ABCD 面积的 最小 值 21 、 （ 本题 满分12 分） 已知函 数 2 ( ) 3 f x x ax ， ln () kx gx x ，当 2 a 时， () fx 与 () gx 的 图象在 1 x 处的 切线相 同. （1）求k 的值； （2）令 ( ) ( ) ( ) F x f x g x ，若 () Fx 存在零 点， 求 实数a 的取值 范围. 22. （ 两题 只选 一题 做） （ 本小 题 10 分） 1.选修 4-4 坐标 系及 参数 方程 在 直角坐 标系xOy 中，直线 t y t x l 3 : （t 为参数） ，
11、曲线 sin 1 cos : 1 y x C （ 为参数 ） ， 以 该 直 角 坐 标 系 的 原 点O 为极点，x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2 C 的 方 程 为 - 6 - sin 3 2 cos 2 （1 ） 分别 求曲 线 1 C 的极坐 标 方程和 曲线 2 C 的直 角坐 标方 程； （2 ） 设直 线l 交曲线 1 C 于 A O, 两点 ，直线l 交曲 线 2 C 于 B O, 两点 ， 求 AB 的长 2.选修 45： 不等 式选 讲 已 知函数 13 f x x x . （1 ） 解不 等式 1 fx ; （2 ） 若存 在
12、xR ,使 24 f x a ，求 实数a 的取值 范围. 2 0 1 6 2 0 1 7 学 年 第 二 学 期 联 考 高三理科数学答题卷 【完卷时间：120 分钟； 满分 150 分】 命题：许顺龙 一、 选择题：本大题共 12 小题 ，每小题5 分，满分 60 分. 中学 班级 座号 姓名 学生考 号 . 装 订 线 - 7 - 二、 填空题：每小题 5 分， 共20 分. 13. 14. 1 5. 16. 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 1.【A】【 B】【 C】【 D 】 5.
13、【A】【 B】【 C】【 D】 9 . 【A】【 B】【 C】【 D】 2.【A】【 B】【 C】【 D 】 6. 【A】【 B】【 C】【 D】 10. 【A】【 B】【 C】【 D】 3.【A】【 B】【 C】【 D 】 7. 【A】【 B】【 C】【 D】 11. 【A】【 B】【 C】【 D】 4.【A】【 B】【 C】【 D 】 8. 【A】【 B】【 C】【 D】 12. 【A】【 B】【 C】【 D】 - 8 - 演 算 步 骤 . 1 7. （本 小题 满 分12 分） 18. （本 小题满 分 12 分） - 9 - 1 9. （本 小题 满 分12 分） 20. （本小 题
14、满 分 12 分） - 10 - 2 1. （ 本小 题满 分12 分） - 11 - 2016-2017 学年第二学期 联考 高 三理科数学试题参考 解答 及 评分标准 - 12 - 参考答案 一、单项选择 1 、 【答 案】A 2 、 【答 案】C 3、【 答 案】D 4 、 【答 案】D 5 、 【答 案】A 6 、 【答 案】C 7 、 【答 案】D 8 、 【答 案】C 9 、 【答 案】B 10 、 【 答案 】B. 11 、 【 答案 】A 12 、 【 答案 】A 二、填空题 13 、 【 答案 】 1 2 14 、 【 答案 】 1 ,0 4 15 、 【 答案 】 43 3
15、16 、 【 答案 】 ) , 18 13 ( 三、解答题 17 、 【 答案】 （I ） 2 33 B 或 ；（ II） 3,2 3). 试题分 析： （I） 根据 条件 和两角 和与 差的 正、 余弦 公式可 得 2 2 2 2 31 2sin 2sin 2 cos sin 44 B A A A ，整理 可得 3 sin 2 B ，求 得角B 的值 ； （II） 由正弦 定理 把 , ac 用角 , AC 表示， 通过三 角恒 等变 换化 成正 弦型函 数 2 3 sin 6 g A A ，结合 角A 的范围 ，求 得 c a 2 的取值范 围. 试题解 析： （I） 由已 知 cos 2
16、 cos 2 2cos cos 66 A B A A - 13 - 得 2 2 2 2 31 2sin 2sin 2 cos sin 44 B A A A ，化 简得 3 sin 2 B 故 2 33 B 或 （II ） 因为ba ，所 以 3 B ， 由正弦 定理 3 2 sin sin sin 3 2 a c b A C B ， 得 a=2sinA,c=2sinC ， 2 2 4sin 2sin C 4sin 2sin 3 ac 3sin 3 cos 2 3 sin 6 因为ba ，所以 2 , 3 3 6 6 2 AA ， 所以 ) 3 2 , 3 2 c a 考点： 正弦 定理 解三
17、角形 和三角 函数 的值 域. 18 、 【 答案】 （1 ） 2 n n a ；（ 2）6. 试题分 析： （1） 求 等比 数 列的通 项公 式， 关键 是求 出首项 和公 比， 这可 直接 用首项 1 a 和公 比q 表示出 已知 并解 出即 可 （ 可先把 已知 化简 后再 代入 ） ； （2 ） 求 出 n b 的表达 式后 ， 要求其 前n 项 和，需 用错 位相 减法 然 后求解 不等 式可 得最 小值 试题解 析： （1） 3 2 a 是 24 , aa 的等 差中项 ， 3 2 4 22 a a a ， 代入 234 28 a a a ，可得 3 8 a ， 24 20 aa
18、 ， 2 1 2 11 8 20 aq aq aq ，解 之得 1 2 2 a q 或 1 32 1 2 a q ， 1 q ， 1 2 2 a q ， 数列 n a 的通 项公 式为 2 n n a （2） 11 22 log 2 log 2 2 n n n n n n b a a n ， 2 1 2 2 2 2 n n Sn ， - 14 - 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 nn S n n ， 得 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 n n n n n n n S n n n 1 2 62 n n Sn ， 1 2 2 62 n ， 1
19、6, 5 nn ， 使 1 2 62 n n Sn 成立的 正整 数n 的最小 值为6 考点： 等比 数列 的通 项公 式，错 位相 减法 19 、 【 答案】 （1 ）证 明见 解 析； （2 ） 3 13 13 . 试题分 析： （1） 做辅 助线 可得AE CP ，AO CP ，且 3 AO ，再 由余 弦定 理有 2 2 2 0 1 2 3 2 1 2 3 cos30 7 OB 2 2 2 10 AO OB AB AO OB 又 , AO CP CP OB O AO 平面PCB 平面ACP 平面CPB；（ 2 ） 因 为AO 平面CPB ，且OC OE ，故可 如图 建立 空间直 角坐
20、 标系 ，求 得平 面ABC 的法 向量 为 0,1,0 n 和平面ABC 的法 向 3,3,1 m 所求角 的余 弦值 3 21 cos | cos , | 7 7 mn . 试题解 析： （1）在图 1 中 ，取CP 的中点O ，连 接AO 交CB 于E ，则AE CP ， 在图2 中， 取CP 的中点O ，连 接AO ，OB ，因为 2 AC AP CP ，所 以AO CP ， 且 3 AO ， 在 OCB 中， 由余 弦定 理有 2 2 2 0 1 2 3 2 1 2 3 cos30 7 OB ， 所以 2 2 2 10 AO OB AB ，所以AO OB 又 , AO CP CP O
21、B O ，所 以AO 平面PCB ， 又AO 平面ACP ，所 以平 面ACP 平面CPB （2 ） 因为AO 平面CPB ，且OC OE ，故 可 如图建 立空 间直 角坐 标系 ，则 - 15 - 0,0,0 , 1,0,0 , 0,0, 3 , 1,0,0 , 2, 3,0 O C A P B ， 2, 3, 3 , 1,0, 3 AB AC ， 显然平 面ABC 的法向 量为 0,1,0 n 设平 面ABC 的法 向量 为 , m x y z ，则由 0 0 m AB m AC 得 3,3,1 m ；故 所求 角的 余弦 值 3 3 13 cos | cos , | 13 13 mn
22、. 考点：1、 线面 垂直 ；2 、 面面垂 直；3、 二面 角. 20 、 【 答案】 （1 ） x y 8 2 ；（ 2） 9 64 试题分 析： （1） 求得 椭圆 的焦点 坐标 ，连 接 2 MF ，由垂 直平分 线的 性质 可得 2 MF MP ， 运用抛 物线 的定 义， 即可 得到所 求轨 迹方 程； （2 ） 分类讨 论： 当AC 或BD 中的 一条 与x 轴垂 直而另 一条 与x 轴重合 时， 此时四 边形ABCD 面积 2 2b S 当 直线AC 和BD 的斜 率都 存 在时， 不妨 设直 线AC 的方程 为 2 x k y ，则 直线BD 的方 程为 2 1 x k y
23、分 别与 椭圆的 方程 联立 得到 根与 系数的 关系 ， 利 用弦 长公 式可得 AC ，BD 利用四 边形ABCD 面 积 BD AC S 2 1 即可 得到 关于 斜率k 的式 子， 再利 用配 方和 二次 函数 的最值 求法 ， 即可 得 出 试题解 析： 解： （1） | | | | 2 MF MP ， 点M 到定直 线 1 l ： 2 x 的距 离等 于它 到 定点 ) 0 , 2 ( 2 F 的距离 ， 点M 的轨迹 2 C 是以 1 l 为准线 ， 2 F 为焦点 的抛 物线 点M 的轨迹 2 C 的方 程为 x y 8 2 （2 ） 当直 线AC 的斜率 存在 且 不为零 时
24、， 直线AC 的斜 率为k ， ) , ( 1 1 y x A ， ) , ( 2 2 y x C ，则 直线BD 的斜率 为 k 1 ，直线AC 的方 程为 ) 2 ( x k y ，联立 1 4 8 ) 2 ( 2 2 y x x k y ，得 0 8 8 8 ) 1 2 ( 2 2 2 2 k x k x k 2 2 2 1 2 1 8 k k x x ， 2 2 2 1 2 1 8 8 k k x x 1 2 ) 1 ( 32 4 ) ( 1 | | 2 2 2 1 2 2 1 2 k k x x x x k AC 由于 直线BD 的斜 率为 k 1 ，用 k 1 代 - 16 - 换
25、上式 中的k 。可 得 2 ) 1 ( 32 | | 2 2 k k BD BD AC ， 四边 形ABCD 的面积 ) 1 2 )( 2 ( ) 1 ( 16 | | | | 2 1 2 2 2 2 k k k BD AC S 由于 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 3 2 ) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 2 )( 2 ( k k k k k ， 9 64 S ，当且 仅当 1 2 2 2 2 k k ，即 1 k 时取得 等号 易知， 当直 线AC 的斜率 不存 在或斜 率为 零时 ，四 边形ABCD 的面积 8 S 综上， 四边 形ABCD 面积的 最小 值为 9 64 考
26、点： 椭圆 的简 单性 质 【思路 点晴 】求 得椭 圆的 焦点坐 标, 由垂 直平 分线 的 性质可 得 | | | | 2 MF MP ,运用 抛物 线的 定 义, 即 可得 所求 的轨 迹方 程 第 二问 分类 讨论,当AC 或BD 中的一条 与x 轴垂直 而另 一条 与x 轴重合 时, 四边 形面 积为 2 2b 当直线AC 和BD 的斜率 都存 在时, 分别设 出 BD AC, 的直线 方 程与椭 圆联 立得 到根 与系 数的关 系, 利用 弦长 公式 求 得 BD AC , ,从 而利 用四 边形 的面 积 公 式求最 值 21 、 【 答案】 （1 ）4（2） 2 a 试题分 析
27、： （1） 根据 导数 几何意 义得 (1) (1) fg ，分 别求 导得 ( ) 2 2 f x x ， 2 (1 ln ) () kx gx x ， 即得 (1) 4 gk （2） 研究 函数 零点 问题， 一般 利用 变量 分离 法转化 为 对应函 数值 域问 题： 即求 函数 3 2 4ln 3 x x x a x 的值域 ，先 求函 数导 数 3 4 2 3 4 8 ln 3 4 8ln 3 1 x x x x x x a x x x ，再研 究导 函数 零点 ，设 3 ( ) 4 8ln 3 x x x x ，则 2 8 ( ) 3 3 0 xx x ，而 (1) 0 ，所以 3
28、 2 4ln 3 x x x a x 在 (1, ) 上为 减函 数， 在 (0,1) 上为增 函数， max (1) 2 aa . 试题解 析：(1) 当 2 a 时， 2 ( ) 2 3 f x x x - 17 - ( ) 2 2 f x x ，则 (1) 4 f ，又 (1) 0 f ，所以 () fx 在 1 x 处的切 线方程 为 44 yx ， 又因为 () fx 和 () gx 的 图像 在 1 x 处的切 线相同 ， 2 (1 ln ) () kx gx x 所以 (1) 4 gk .（4 分） (2)因为 ( ) ( ) ( ) F x f x g x 有零点 所以 2 4
29、ln ( ) 3 0 x F x x ax x 即 3 2 4ln 3 x x x a x 有实 根. 令 3 22 4ln 3 4ln 3 () x x x x h x x x x x 3 4 2 3 4 8 ln 3 4 8ln 3 ( ) 1 x x x x x x hx x x x 令 3 ( ) 4 8ln 3 x x x x 则 2 8 ( ) 3 3 0 xx x 恒成 立， 而 (1) 0 ， 所以当 1 x 时， ( ) 0 x ，当 (0,1) x 时， ( ) 0 x . 所以当 1 x 时， ( ) 0 hx ，当 (0,1) x 时， ( ) 0 hx . 故 ()
30、hx 在 (1, ) 上为减 函数 ，在 (0,1) 上为 增函数 ，即 max (1) 2 hh . 当 x 时， () hx ，当 0 x 时， () hx . 根据函 数的 大致 图像 可知 2 a . （12 分） 考点： 导数 几何 意义 ，利 用导数 求函 数值 域 【思路 点睛 】已 知函 数有 零点求 参数 取值 范围 常用 的方法 和思 路 (1) 直 接法 ：直 接根 据题 设 条件构 建关 于参 数的 不等 式，再 通过 解不 等式 确定 参数范 围； (2) 分 离参 数法 ：先 将参 数 分离， 转化 成求 函 数 值域 问题加 以解 决； (3) 数 形结 合法 ：
31、先 对解 析 式变形 ， 在同 一平 面直 角 坐标系 中 ，画 出函 数的 图 象， 然后 数形 结 合求解 22 、 【 答案】 （1 ） 1 : 2sin C ， 22 2 : ( 1) ( 3) 4 C x y ；（ 2 ）43 - 18 - 试题分 析： （1） 由 公式 2 2 2 cos sin x y xy 可 以把极 坐标 方程 与直 角坐 标方程 互化 ； （2） 求出 直 线 l 的极坐 标方 程为 2 3 ，代 入 12 , CC 的极坐标 方程 ，分 别得 12 , 即为 , AB 的极径 ，两 者 相减可 得距 离 试题解 析： （1）圆 的标准 方程为 ： 即：
32、圆 的极 坐标 方程 为： 即： 圆 的方 程为 ： 即： 圆 的直 角坐 标方 程为 ： （2 ） 直线 的极 坐标 方程 为 圆 的极 坐标 方程 为： 所以 圆 的 方 程为 所以 故： 考点： 极坐 标方 程与 直角 坐标方 程的 互化 ，极 坐标 的应用 23 、 【 答案】 （1 ） 3 , 2 （2） 0, 4试题分 析： （1） 先根 据绝 对值定 义， 将不 等式 化为 三个不 等式 组， 再求 它们 并集得 原不 等式 - 19 - 解集 （2 ） 由 绝对 值三 角不 等式得 fx 最大 值为 4 ,再 解不 等 式 2 4 4 a 得实 数 a 的取值 范 围. 试题解
33、 析： （1 ） 4, 1 1 3 2 2, 1 3 4, 3 x f x x x x x x ,由 1 fx 得 3 ,1 2 x f x 的 解集为 3 , 2 . （2 ） 由（1 ）知 fx 最大 值为 4 , 由题意,得 2 4 4 a , 04 a ,即 a 的取 值范 围 是 0, 4 . 考点： 绝对 值定 义， 绝对 值三角 不等 式 【名师 点睛 】含 绝对 值不 等式的 解法 有两 个基 本方 法，一 是运 用零 点分 区间 讨论， 二是 利用 绝对值 的几 何意 义求 解 法一是 运用 分类 讨论 思想 ，法二 是运 用数 形结 合思 想，将 绝对 值不 等式与 函数 以及 不等 式恒 成立交 汇、 渗透 ，解 题时 强化函 数、 数形 结合 与转 化化归 思想 方法 的灵活 应用 ，这 是命 题的 新动向
