1、12019 年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4 月份）一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1已知 sinA ，则锐角 A 的度数是（ ）A30 B45 C60 D752如图所示的两个三角形（ B、 F、 C、 E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）A点 C B点 DC线段 BC 的中点 D线段 FC 的中点3如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）A BC D4下列事件中，是必然事件的是（ ）A13 个人中至少有两个人生肖相同B车辆随机到达一个路口，遇到红灯C如果 a2 b2，那么 a bD将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，
2、一定正面向上5下列命题中正确的是（ ）A若两个多边形相似，则对应边的比相等B若两个多边形相似，则对应角的比等于对应边的比C若两个多边形的对应角相等，则这两个多边形相似D若两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形相似26如图，在平行四边形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F， S AEF4，则下列结论： FD2 AF； S BCE36； S ABE12； AEF ACD，其中一定正确的是（ ）A B C D7如图，有一电路 AB 是由图示的开关控制，闭合 a， b， c， d， e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路
3、，则使电路形成通路的概率是（ ）A B C D8关于 x 的一元二次方程 x2+ x+n0（ m0）有两个相等的实数根，则 的值为（ ）A4 B4 C D9已知圆内接正三角形的面积为 3 ，则边心距是（ ）A2 B1 C D10若点 A（ x1，3）、 B（ x2，1）、 C（ x3，1）在反比例函数 的图象上，则 x1、 x2、 x3的大小关系是（ ）A x1 x2 x3 B x3 x2 x1 C x2 x3 x1 D x2 x1 x311如图，以点 P（2，0）为圆心， 为半径作圆，点 M（ a， b）是 P 上的一点，则 的最大值是（ ）A I B C2 D1.512已知抛物线 y ax
4、2+bx+c（ a0）经过 A（1，1）、 B（2，4）两点，顶点坐标为（ m， n），3有下列结论： b1； c2；0 m ； n1，则所有正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13某班共有 6 名学生干部，其中 4 名是男生，2 名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 14已知 y 是 x 的反比例函数，当 x0 时， y 随 x 的增大而减小请写出一个满足以上条件的函数表达式 15二次函数 y x22 x+3 的最大值是 16如图， AB 为斜靠在墙壁 AC 上的长梯，梯脚 B 距墙 1.5m，梯上一点
5、 D 距墙 1.2m， BD 长 0.5m，则梯长 AB 为 m17如图， O 的半径是 7， ABC 是 O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB、 BC、 AC 的垂线段，垂足为 E、 F、 G，连接 EF若 OG4，则 EF 为 18如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 边上一点， G 是 AD 延长线上一点， BE DG，连接 EG， CF EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE， BH若 BH8，则 FG 三解答题（共 7 小题，满分 66 分）19（8 分）解方程： 20（8 分）在 ABC 中， C90， a、 b、 c 分别是 A、 B
6、、 C 的对边4（1）若 tanA ， b8，求 a 和 c；（2）若 tanA2， c2 ，求 b 和 sinB21（10 分）已知反比例函数的图象过点 A（2，4）（1）这个反比例函数图象分布在哪些象限？ y 随 x 的增大而如何变化？（2）点 B（4，2）， C（6， ）和 D（ ）哪些点在图象上？（3）画出这个函数的图象22（10 分）已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，过点 C 作 O 的切线，与 BA 的延长线交于点 P， BPC42（1）如图，连接 OD，若 D 为弧 AB 的中点，求 ODC 的大小；（2）如图，连接 BD，若 DE DB，求 PBD
7、的大小23（10 分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、 B 两地间的公路进行改建如图，A、 B 两地之间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶已知 BC100 千米， A45， B30（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？5（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（结果保留根号）24（10 分）如图，正方形 AOBC 的边 OB、 OA 分别在 x、 y 轴上，点 C 坐标为（8，8），将正方形AOBC 绕点 A 逆时针旋转角度 （090），得到正方形 ADEF， ED
8、 交线段 BC 于点 Q， ED的延长线交线段 OB 于点 P，连接 AP、 AQ（1）求证： ACQ ADQ；（2）求 PAQ 的度数，并判断线段 OP、 PQ、 CQ 之间的数量关系，并说明理由；（3）连接 BE、 EC、 CD、 DB 得到四边形 BECD，在旋转过程中，四边形 BECD 能否是矩形？如果能，请求出点 P 的坐标，如果不能，请说明理由25（10 分）已知抛物线 y ax22 ax2（ a0）（1）当抛物线经过点 P（4，6）时，求抛物线的顶点坐标；（2）若该抛物线开口向上，当1 x5 时，抛物线的最高点为 M，最低点为 N，点 M 的纵坐标为 ，求点 M 和点 N 的横坐
9、标；（3）点 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）为抛物线上的两点，设 t x1 t+1，当 x3 时，均有y1 y2，求 t 的取值范围62019 年天津市西沽中学中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1【分析】根据 30角的正弦值等于 解答【解答】解：sin A ， A30故选： A【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记2【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案【解答】解：两个三角形（ B、 F、 C、 E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段 FC 的中点故选： D【点评】此题主要考查了中心对称图形
10、的性质，正确把握中心对称图形的特点是解题关键3【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故 D 符合题意，故选： D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图4【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件【解答】解： A13 个人中至少有两个人生肖相同是必然事件；B车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；C如果 a2 b2，那么 a b 是随机事件；D将一枚质地均匀向上抛出，落下之后，一定正面向上是随机事件；故选： A【点评】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机
11、事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件5【分析】根据相似多边形的性质与判定解答即可7【解答】解： A、若两个多边形相似，则对应边的比相等，是真命题；B、若两个多边形相似，则对应角的比不等于对应边的比，是假命题；C、若两个多边形的对应角相等，这两个多边形不一定相似，是假命题；D、两个多边形的对应边的比相等，则这两个多边形不一定相似，是假命题；故选： A【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的性质与判定，难度不大6【分析】根据平行四边形的性质可得出 CE3 A
12、E，由 AF BC 可得出 AEF CEB，根据相似三角形的性质可得出 BC3 AF，进而可得出 DF2 AF，结论正确；根据相似三角形的性质结合 S AEF4，即可求出 S BCE9 S AEF36，结论正确；由 ABE 和 CBE 等高且 BE3 AE，即可得出 S BCE3 S ABE，进而可得出 S ABE12，结论正确；假设 AEF ACD，根据相似三角形的性质可得出 AEF ACD，进而可得出 BF CD，根据平行四边形的性质可得出 AB CD，由 AB、 BF 不共线可得出假设不成立，即 AEF 和 ACD 不相似，结论错误综上即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边
13、形， OA OC， AD BC， AD BC点 E 是 OA 的中点， CE3 AE AF BC， AEF CEB， 3， BC3 AF， DF2 AF，结论正确； AEF CEB， CE3 AE， 3 2， S BCE9 S AEF36，结论正确； ABE 和 CBE 等高，且 BE3 AE，8 S BCE3 S ABE， S ABE12，结论正确；假设 AEF ACD，则 AEF ACD， EF CD，即 BF CD AB CD， BF 和 AB 共线点 E 为 OA 的中点，即 BE 与 AB 不共线，假设不成立，即 AEF 和 ACD 不相似，结论错误综上所述：正确的结论有故选： D【
14、点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键7【分析】只有闭合两条线路里的两个才能形成通路列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可【解答】解：列表得：（ a， e） （ b， e） （ c， e） （ d， e） （ a， d） （ b， d） （ c， d） （ e， d）（ a， c） （ b， c） （ d， c） （ e， c）（ a， b） （ c， b） （ d， b） （ e， b） （ b， a） （ c， a） （ d， a） （ e， a）一共有 20 种情况，使电路形成通路的有 12 种情况，使电路形成通路的概率是
15、，故选： C【点评】本题结合初中物理的“电路”考查了有关概率的知识列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数9之比8【分析】根据根的判别式得出0，求出 m4 n，代入求出即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+ x+n0（ m0）有两个相等的实数根，（ ） 24 n0，解得： m4 n， ，故选： C【点评】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容求出 m4 n 是解此题的关键9【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可【解答】解：设正三角形的边心距为 x，则其半径为 2x，边长为 2 x，因为圆内接正三角形的面积为
16、3 ，所以 2 x（ x+2x）3 ，解得： x1所以该圆的内接正六边形的边心距为 1，故选： B【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距10【分析】根据反比例函数的性质，结合“点 A（ x1，3）、 B（ x2，1）、 C（ x3，1）在反比例函数 的图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当 x0 时，根据反比例函数 y 的增减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案【解答】解：点 A（ x1，3）、 B（ x2，1）、 C（ x3，1）在反比例函数 的图象上，又 y0 时， x0， y0 时， x0，即 x10， x30，
17、x20，当 x0 时， y 随 x 的增大而减小， x1 x3，综上可知： x2 x1 x3，故选： D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键1011【分析】 最大值时，得出 tan MOP 有最大值，推出当 OM 与圆相切时，tan MOP 有最大值，根据解直角三角形得出 tan MOP ，由勾股定理求出 OM，代入求出即可【解答】解：当 最大值时，得出 tan MOP 有最大值，也就是当 OM 与圆相切时，tan MOP 有最大值，此时 tan MOP ，在 Rt OMP 中，由勾股定理得： OM1，则 tan MOP ，故
18、选： B【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、坐标与图形性质、切线的性质等知识点，关键是找出符合条件的 M 的位置，题目比较典型，但是有一定的难度12【分析】根据点 A、 B 的坐标，利用待定系数法即可求出 b a+1、 c2 a+2，结合 a0，可得出 b1、 c2，即结论正确错误；由抛物线顶点的横坐标 m ，可得出 m ，即 m ，结论不正确；由抛物线 y ax2+bx+c（ a0）经过 A（1，1），可得出n1，结论正确综上即可得出结论【解答】解：抛物线过点 A（1，1）， B（2，4）， ， b a+1， c2 a+2 a0， b1， c2，结论正确，错误；11抛物线的顶点坐标为（
19、 m， n）， m ， m ，结论不正确；抛物线 y ax2+bx+c（ a0）经过 A（1，1），顶点坐标为（ m， n）， n1，结论正确综上所述：正确的结论有故选： B【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及待定系数法求二次函数解析式，逐一分析四条结论的正误是解题的关键二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13【分析】直接根据概率公式计算可得【解答】解：共有 6 名学生干部，其中女生有 2 人，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（ A）事件 A 可能出现的结果数
20、所有可能出现的结果数14【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则反比例函数的反比例系数 k0；反之，只要 k0，则反比例函数在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大【解答】解：只要使反比例系数大于 0 即可如 y （ x0），答案不唯一故答案为： y （ x0），答案不唯一【点评】本题主要考查了反比例函数 y （ k0）的性质： k0 时，函数图象在第一，三象限在每个象限内 y 随 x 的增大而减小； k0 时，函数图象在第二，四象限在每个象限内 y 随 x 的增大而增大15【分析】将抛物线解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质即可得【解答
21、】解： y x22 x+3 y（ x2+2x+11）+3（ x+1） 2+4，当 x1 时， y 取得最大值 4，12故答案为：4【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质16【分析】易得 DE BC，那么可得 ADE ABC，利用对应边成比例可得 AB 的长【解答】解： DE AC， BC AC， DE BC， ADE ABC， ，即： ， AB2.5 m故答案为：2.5【点评】本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例17【分析】连结 OC，由 OG AC，根据垂径定理得
22、 CG AG，在 Rt OCG 中，利用勾股定理可计算出 CG，得出 AC2 CG2 ，再由 OE AB， OF BC 得到 AE BE， BF CF，则 EF 为 BAC 的中位线，然后根据三角形中位线性质得到 EF AC，即可得出结果【解答】解：连结 OC，如图， OG AC， CG AG，在 Rt OCG 中， CG ， AC2 CG2 ， OE AB， OF BC， AE BE， BF CF， EF 为 BAC 的中位线， EF AC 故答案为 13【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理和三角形中位线性质定理；由勾股定理求出 CG 得出 AC是解决问题的突破口18【分析】如解答图，连接
23、CG，首先证明 CGD CEB，得到 GCE 是等腰直角三角形；过点 H作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、 N，进而证明 HEM HCN，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、 HN、 CN 的长度；最后利用相似三角形 Rt HCNRt GFH，求出 FG 的长度【解答】解：如图所示，连接 CG在 CGD 与 CEB 中 CGD CEB（ SAS）， CG CE， GCD ECB， GCE90，即 GCE 是等腰直角三角形又 CH GE， CH EH GH过点 H 作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、 N，则 MHN90，又 EHC90，12， HEM HCN在 H
24、EM 与 HCN 中， HEM HCN（ ASA） HM HN，四边形 MBNH 为正方形 BH8， BN HN4 ，14 CN BC BN6 4 2 在 Rt HCN 中，由勾股定理得： CH2 GH CH2 HM AG，13，23又 HNC GHF90，Rt HCNRt GFH ，即 ， FG5 故答案为：5 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键三解答题（共 7 小题，满分 66 分）19【分析】把 10 移到等号的右边，两边平方，求解，后检验根是否有意义【解答】
25、解： ，两边平方，得 4（ x+5） x220 x+100（2 分）整理，得： x224 x+800，解得： x120， x24（2 分）经检验： x24 是增根， x120 是原方程的解，（1 分）原方程的解是 x20（1 分）【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法，注意无理方程要检验根是否有意义，属于基础题20【分析】（1）利用锐角三角形函数的定义求得 a，然后结合勾股定理求得 c15（2）由锐角三角函数的定义和勾股定理求得 b，然后再由锐角三角形函数的定义来求 sinB【解答】解：（1）由 tanA ， b8 得到： ，a6根
26、据勾股定理得到： c 10（2）由 tanA 2 得到： a2 b由勾股定理得到： c2 a2+b2，即（2 ） 25 b2， b2所以 sinB 【点评】考查了锐角三角函数定义和勾股定理，利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边21【分析】（1）设函数关系式为 y ，把点 A（2，4），代入求出解析式即可，根据反比例函数的性质得出图象位于的象限；根据反比例函数的性质得出增减性；（2）根据反比例函数的特点可得出 k8，再判断点 B（4，2）， C（6， ）和 D（）是否在反比例函数的图象上；（3）画出这个图象即可
27、【解答】解：（1）设函数关系式为 y ，反比例函数的图象过点 A（2，4）， k8，80，这个反比例函数图象分布在第二、四象限， y 随 x 的增大而增大；（2）4（2）8，6（ ）8，2 （3 ）12，16点 B（4，2）， C（6， ）在图象上，点 D（ ）不在图象上；（3）如图所示：【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握22【分析】（1）连接 OC，由切线条件可得 OC PC，因为 BPC42，得 COP48，因为 D为弧 AB 的中点，所以 OD AB，可得 COD138，因为 OC OD，得 ODC OCD，进而得出 ODC 的度数；（2）连接 AC
28、， OC，因为 DE DB，可设 DBE DEB x，因为 ACE DBE x， CEA DEB x，可得 CAE1802 x，因为 OA OC，可得 OCA CAE，进而得出 AOC4 x18048，解方程可得出 PBD 的度数【解答】解：（1）如图，连接 OC，过点 C 作 O 的切线，与 BA 的延长线交于点 P， OC PC， BPC42， COP904248， D 为弧 AB 的中点， OD AB， COD90+48138， OC OD， ODC OCD （180138）21；（2）如图，连接 AC， OC，17 DE DB， DBE DEB x， ACE DBE x， CEA DE
29、B x， CAE1802 x， OA OC， OCA CAE1802 x， AOC180（ OCA+ CAE）4 x18048，解得 x57， PBD57【点评】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形性质，第（2）问通过设未知数建立方程是解题的关键23【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角 ACD 中，解直角三角形求出 CD，进而解答即可；（2）在直角 CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出答案【解答】解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， AB CD，sin30 ， BC100 千米，18 CD BCsin30100
30、 50（千米），AC 50 （千米），AC+BC（100+50 ）千米，答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走（100+50 ）千米；（2）cos30 ， BC100（千米）， BD BCcos30100 50 （千米）， CD BC50（千米），tan45 ， AD 50（千米）， AB AD+BD（50+50 ）千米， AC+BC AB100+50 （50+50 ）（50+50 50 ）千米答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走（50+50 50 ）千米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线24【分
31、析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到 AD AC，利用 HL 即可证得结论；（2）利用（1）的结论，结合条件可证得 AOP ADP，进一步可求得 PAQ45，再结合全等可求得 PQ OP+CQ；（3）利用矩形的性质可得到 BQ EQ CQ DQ，设 P（ x，0），则可表示出 BQ、 PB 的长，在Rt BPQ 中，利用勾股定理可得到关于 x 的方程，则可求得 P 点坐标【解答】（1）证明：正方形 AOBC 绕点 A 旋转得到正方形 ADEF， AD AC， ADQ ACQ90，在 Rt ADQ 和 Rt ACQ 中19Rt ACQRt ADQ（ HL）；（2）解： ACQ ADQ， C
32、AQ DAQ， CQ DQ，在 Rt AOP 和 Rt ADP 中Rt AOPRt ADP（ HL）， OAP DAP， OP OD， PAQ DAQ+DAP DAC+ DAO （ DAC+ DAO） OAC45，PQ PD+DQ OP+CQ；（3）解：四边形 BECD 可为矩形，如图，若四边形 BECD 为矩形，则 BQ EQ CQ DQ， BC8， BQ CQ4，设 P 点坐标为（ x，0），则 PO x， OP PD， CQ DQ， PD x， DQ4，在 Rt BPQ 中，可知 PQ x+4， BQ4， BP8 x，（ x+4） 2+42（8 x） 2，解得 x ， P 点坐标为（ ，
33、0）【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性20质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识在（1）中注意 HL 的应用，在（2）中证得 Rt AOPRt ADP 是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25【分析】（1）抛物线经过点 P（4，6），代入抛物线即可求出顶点坐标（2）根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式即可求出点 M，点 N 的横坐标（3）根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是 x 1；（2）该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x1，1
34、x5，当 x5 时， y 的值最大，即 M（5， ）把 M（5， ）代入 y ax22 ax2，解得 a ，该二次函数的表达式为 y x22 x2，当 x1 时， y ， N（1， ）；（3）当 a0 时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线 x1， t x1 t+1，当 x23 时，具有 y1 y2，点 A（ x1， y1） B（ x2， y2）在该函数图象上， t3 或 t+11（31），解得， t3 或 t2；当 a0 时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线 x1， t x1 t+1，当 x23 时，具有 y1 y2，点 A（ x1， y1） B（ x2， y2）在该函数图象上， ，1 t2t 的取值范围1 t2【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21
