1、例题,例1.3.1 给定实现A,b,c, 其特征多项式为,传递函数为,试证明，A,b,c能化为控制器规范型的充要条件为A,b,c能控.证明：设法找到一个可逆阵T, 使得,设T=t1, t2, tn,由于bc=1 0 0T, 所以b=T bc, 即,另外 TAc=AT=A t1, At2, Atn, 即,上式对应各列相等得到,把上面各等式写成,由于 总是非奇异，因此， T非奇异L非奇异，即A,b,c能控。从本例可看出，任何能控的同阶实现A,b,c都与控制器规范型相似；不难验证， 所以,例1.3.2 已知传递函数b(s)/a(s),其中,证明，b(s)/a(s)的控制器规范型实现Ac,bc,cc能
2、观测的充要条件是b(s)与a(s)互质。,证明：利用友矩阵的位移性质：,其中 是单位阵In的第i行，,可得,把这些写成等式，得到,上式表明，Oc非奇异b(Ac)非奇异|b(Ac)|0, 而,式中， 是Ac的特征值。若要,例1.3.3 设A1,b1,c1和A2,b2,c2是同一传递函数的两个实现. 若|sI- A1|=| sI- A2|, 且两实现均能控，则此二实现相似；同样，若它们都能观测时，也相似。证明：仅证明能控时的情形. 由于A1,b1,c1和A2,b2,c2均能控, 所以L1, L2非奇异. 令T= L1L2-1则有,这里用到下列事实,若记,则有,下面再验证,我们考察 ，为清楚起见设n
3、=3. 由Cayley-Hamilton定理，,于是,同理可得,从而可知,因而,再验证c2=c1T. 由Markoff参数由传递函数唯一确定，所以,将上述等式写成,即,或,由(1.3.24), (1.3.26),(1.3.27)可知A1,b1,c1和A2,b2,c2相似. 此外，还有,T-1L1=L2, (1.3.28),若还存在变换阵 使得(1.3.24), (1.3.26),(1.3.27)成立，则由(1.3.28)可知，必有,即,由于非奇异，所以有 ;这表明A1,b1,c1和A2,b2,c2相似时，变换阵是唯一的。,相似变换的几何解释 在n维空间中，任给一向量x=x1xnT, 我们认为该
4、向量是对标准正交基而言的，即,这样，x的各分量就是在标准正交基下的坐标。在相似变换 中，T为过渡矩阵，其列,为新基在原基下的坐标。,例1.3.4 将能控的实现A,b,c化为能控性规范型. 解：由于A,b,c能控，所以 非奇异；取L的各列为新基，即过渡矩阵为T=L，作坐标变换；设变换后的实现为 , 则， 于是,所以,另外，利用Cayley-Hamilton定理得到,所以,这样，在基 下，状态方程为,1.3.2 最小实现，能控性，能观测性检验 最小实现 定义1.3.1 (最小实现）一个传递函数的阶数最低的实现称为这个传递函数的最小实现。 引理1.3.1 ：如果传递函数有一个能控能观的n阶实现，则该
5、传递函数的一切n阶实现都是能控能观测的。 证明：对任一实现A,b,c, Hankel阵都有,由于cAi-1b=hi, I=1,2,仅取决于传递函数，所以如果A1,b1,c1, A2,b2,c2是H(s)的两个n阶实现，那么由式（1.3.40)知必有 O1L1=O2L2, 由题意，设A1,b1,c1能控，能观测 O1和L1非奇异 O1L1非奇异 O2和L2非奇异 A2,b2,c2能控，能观测。 由例1.3.2知道，传递函数H(s)的控制器型实现能观测b(s)和a(s)互质；由此和引理1.3.1立即得出：定理1.3.1 传递函数b(s)/a(s)不可约所有n= 阶实现能控，能观测。 定理1.3.2
6、 A,b,c是最小实现a(s)=|sI-A|和b(s)=c(sI-A)*b互质。 证明： 已知A,b,c是最小实现,如果b(s)/a(s)可约，这时由约化后的传递函数可以得到一个维数更低的状态空间实现，这与A,b,c是最小实现矛盾。 设a(s) 和b(s) 互质，如果此时A,b,c不是最小实现，那么必定存在维数更低的实现A1,b1,c1，它的传递函数的分母的次数必定低于A的维数n, 这表明b(s)/a(s)可约, 与题设矛盾.,综合定理1.3.1和1.3.2便得到 定理1.3.3 A,b,c是最小实现 A,b,c能控，能观测。2. 不能控，不能观实现的标准形 如果实现 A,b,c满足rank
7、L=rn, 则该实现不能控；我们将证明可以通过相似变换把它变换成另外一种实现，在这种实现中，能控和不能控状态可以区别开。 （1）不能控实现的标准型 设 A,b,c满足rank L=rn，则存在变换阵T, 使得其中具r行；,其中1)rr阶子系统 是能控的； 2） 状态变量 相应地分为称 为能控状态， 称 为不能控状态。证明：先证2). 下证1).因为rankL=rn, 所以L中有r列线性无关，则可以证明L的前r列线性无关；因此在,中，后n-r列都可表为前r列的线性组合；特别地，设,取L的前r列作为新基的前r个基向量，然后扩充成n维向量,将此视为变换，则,（2）不能观测实现的标准形 如果实现 A,b,c有rank O=rn，则存在变换阵T, 使得其中,其中1)rr阶子系统 是能观的；且证明：由于rank O=rn，O的前r行线性相关，故,取O的前r行作为新基的前r个基向量，然后扩充成n维向量（行）,则,
