1、第6章 线性反馈系统的时间域综合,研究,分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，如何从理论上对它的运动行为如状态运动规律、稳定性等，结构特性如结构特征、能控性、能观测性等进行确定。,综合：给定系统方程，根据对系统性能的要求，如何确定系统的外部输入即控制作用，使系统的性能能全面满足技术要求。,通常控制作用取为反馈形式。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越于非反馈控制。,本章以状态空间方法为基础，针对常用典型形式性能指标，讨论线性时不变系统的反馈控制综合问题。,61 引言,综合问题的提法,系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。,所谓系统综
2、合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。,对象,目标,手段,状态反馈输入：u (t) =Kx(t)+(t),输出反馈输入：u (t) =Fy(t)+(t),系统综合 系统设计,理论“设计”确定u(t)的形式和构成,工程设计考虑各种实际问题,性能指标的类型,性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。,非优化型性能指标(不等式型),优化性型能指标 (极值型),（1）镇定问题,（2）极点配置,（3）解耦控制,（4）跟踪问题,研究综合问题的思路,建立,可综合条件,控制规律的“算法”,工程实现中的一些理论问题,
3、（1）状态反馈物理构成问题,（2）系统模型不准确性和参数摄动问题,（3）对外部扰动影响的抑制问题,控制规律的“算法”综合问题的计算方法和步骤，适于编程，数值稳定性。,62 状态反馈和输出反馈,状态反馈,设连续时间线性时不变系统,状态反馈下受控系统的输入为：u =Kx+，KRpn,状态反馈系统xf 的状态空间描述为：,特征值改变,GK(s)=C(sI-A+BK)-1B,结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。,维数没有增加,输出反馈,设连续时间线性时不变系统,输出反馈下受控系统的输入为：u =Fy+，FRpq,输出反馈系统yf 的状态空间描述为：,维数没有增加,GF
4、(s)=C(sI-A+BFC)-1B,结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。,GF(s)=G0(s)I+FG0(s)-1,特征值改变,状态反馈和输出反馈的比较,反馈属性：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。 反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈。 改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）,反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。 解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器,扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。,63 状态反馈极点配置：单输入情形,极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。,问题的提法,给定连续线性时不变单
5、输入受控系统,控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。,任意指定期望闭环极点组：1*, 2*, ,n*,在状态反馈下，控制输入为：u =Kx+，KRpn,闭环系统为：,其特征值满足：,i(A-BK) = i* , i=1,2, n,期望闭环极点组,(1)期望闭环极点组的性能指标属性,二重性,理论计算：期望闭环极点组,控制工程：直观性能指标,(2)控制工程中基本类型的性能指标,时间域： ，ts，tr，td，
6、tp,频率域：Mr , r , cc,可以相互转化,(3)基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系,(4)期望闭环极点组的确定,工程型的性能指标,n-2个期望闭环极点,Re(si) =(46)Re(s1) , i=3,4, n,极点配置定理,对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：,系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。,极点配置算法,思路： 在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控规范型，,由于,注：当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值 ，仍然能够配置系统的全部闭环极点,极点配置算法,Step1: 判别（A，b）能控性 Step2:
7、 计算矩阵A特征多项式det(sI-A)=(s)=sn+ n-1sn-1+ 1s+ 0,Step3: 计算由期望闭环特征值,决定的期望特征多项式,Step4: 计算,Step5：计算能控规范性变换矩阵,Step6：计算 Q = P -1,Step7：计算,Step8：停止计算,注释:对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的
8、动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。,例1连续时间线性时不变状态方程为,期望闭环极点为,计算状态反馈阵K,解：容易判断 系统能控,计算由期望闭环极点组决定的特征多项式,0= 0，1= 72，2=18,0*= 4，1*= 6，2*=4,计算,如果是低阶系统（n 3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更
9、为简便。,由期望闭环极点组决定的特征多项式,i(A-BK) = i* , i=1,2, n,64 状态反馈极点配置：多输入情形,多输入情形的极点配置在研究思路和计算方法都要复杂一些。,系统的循环性,定义：循环矩阵和循环系统 当系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式 (s)之间只存在常数类型的的公因子k，即有(s)= k (s) ，则A为循环矩阵，系统为循环系统。,(1)循环系统的约当规范型 当且仅当系统矩阵A的约当规范型中相应于每个不同特征值仅有一个约当块。 (2)循环系统的特征值属性 若系统矩阵A的特征值为两两互异，则系统为循环。 (3)循环系统的能控属性 对多输入n维连续时间线性时不变循
10、环系统 ，至少存在一个n为列向量b，使向量组b，Ab，An-1b张满整个n维空间，即A，b为完全能控。,结论：,(4)循环系统的能控属性 对多输入n维连续时间线性时不变循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的p1实向量，使单输入矩阵对A，B 为完全能控。 (5)非循环系统的循环化 对多输入n维连续时间线性时不变非循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的pn实常阵K，可使ABK 为循环。,极点配置定理：,对多输入n维连续时间线性时不变系统,系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为A,B完全能控。,极点配置算法：,对于多输入n维连续时间线性时不变受控系统，可以采用多种算法
11、确定极点配置状态反馈矩阵K。假定受控系统为完全能控。,控制工程中几乎所有受控系统都为能控！,极点配置算法1：（化多输入系统为单输入系统极点配置）,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个pn实常阵K1，使,为循环；若循环，表,step2:选取一个p1实常向量 ，表b=B，使,为完全能控,step3.对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。,step4.对A为循环，K k；对A为非循环，K kK1,注： 由于K1和 的不惟一性，状态反馈矩阵K不惟一和秩1性
12、，通常希望K1和 的选取使K的各个元尽可能小。,step5.停止计算,例1连续时间线性时不变状态方程为,期望闭环极点为,，计算状态反馈阵K,解：容易判断 系统能控,(1)判断A的循环性,(s) k (s) A不是循环矩阵,任意选取一个pn实常阵K1,(2)选取一个p1实常向量 ，表b=B，使,为完全能控,当1=1，2=0时，,为完全能控,(3)对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算出状态反馈向量 k = 5 1 。,(4) A为非循环，K kK1,(5) 校核,由于K1， 的不惟一性，使K非唯一。例如：,k = -2 5 ,K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要
13、区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域。,极点配置算法2：,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,step1.将能控矩阵对 A,B化为龙伯格能控规范型。设；,P196,step3: 对龙伯格能控规范型 ，按如下形式选取pn状态反馈矩阵 ，例如：,step2: 将期望闭环特征值组 ，按龙伯格能控规范型 的对角块阵个数和维数，分组并计算每组对应的特征多项式 ，例如：,step5.计算所求状态反馈矩阵 。,注： 此算法有两个优点： (1)计算过程规范 (2)状态反
14、馈矩阵的元比算法1小得多。,step6.停止计算,step4: 计算化A,B为龙伯格能控规范型 的变换矩阵 。,极点配置算法3：,给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值,要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使,，并引入附加限制：,Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足,Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足,作为参考，F阵可按如下方式选取，由期望闭环特征值组 导出相应特征多项式,引入任意非奇异实常阵H，可将F阵取为：,Step2.任意选取一个Pn实常阵 ，使 为能观测。,Step3.对给定矩阵A,B,F和 ，求解希尔维斯特(sylvester)方程。
15、,的nn非奇异解阵T。,step4.判断T非奇异性。若T非奇异，继续，否则返回step2重新选择 。,step6.计算所求状态反馈矩阵 。,注： 此算法有两个特点： (1)相对于算法2，避免了化A,B为龙伯格能控规范型 的过程。 (2)主要计算步骤为求解希尔维斯特(sylvester)方程非奇异解阵T 。,step7.停止计算,step5: 计算 。,状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响,结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。,注：实际上，通过状态反馈有可能将g(s)的部分极点配置为与g(s)的零点相重，构成零
16、极点对消从而对零点产生影响。这也是对状态反馈不能保证能观测性的一个直观解释。,单输入单输出情形,结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。,定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统,其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A) -1 B, G(s)的极点为其特征方程式的根。,零点定义: 使得,的所有s值,多输入多输出情形,注：实际上，G(s)的每个元传递函数的零点有可能改变。,推论1：对相同极点配置的不同K1和K2，其对应的闭环传递函数矩阵C(SI-A+BK1) -1 B和C(SI-A+BK2) -1 B一般不同，
17、从而系统的状态响应和输出响应也不同。,推论2：在极点配置综合问题中，一个状态反馈矩阵被称为是较好的，如果其元反馈系数总体较小和闭环系统的响应较好。,算法2：基于龙伯格能控规范型的算法较好。,6.5 输出反馈极点配置,结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统,采用输出反馈,，一般不能任意配置系统全部极点。,结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统,采用输出反馈 ，只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。,通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。,6.6状态反馈镇定,所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受
18、控系统，找到一个状态反馈型控制律,，使所导出的状态反馈型闭环系统,为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。,结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定。,结论：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控。,状态反馈镇定算法： Step1 判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。 Step2 对(A.B)按能控性分解 Step3 对能控部分进行极点配置 Step4 计算镇定状态反馈矩阵 Step5 计算停止。,属于区域极点配置,可镇定条件,从极点配置角度确定镇定状态反馈矩阵,6.7状态反馈动态解耦,问题的提法：,设多输入多输
19、出连续时间线性时不变系统,采用包含输入变换的状态反馈u,解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重要问题。现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多，这就要求要设置多个控制回路去控制这些参数。然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响，使系统的性能变差、难于控制，甚至系统无法正常工作。,u,则系统状态空间描述为：,所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换,和状态反馈矩阵,使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵,动态解耦的实质是把一个p维输入p维输出的耦合系统，通过引入适当的L,K，化为p个独立的单输入单输出系统；动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解耦算法；解耦控制对于过程控制有
20、着重要意义和广泛应用。,系统的结构特征量,输出矩阵,传递函数矩阵,设方多输入多输出连续时间线性时不变系统,结构特性指数定义为：,0 di n-1, i = 1,2,p,对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：,Ei为1p行向量，且两种定义等价。,包含输入变换状态反馈闭环系统的状态空间描述为：,其结构特征量为,开环和闭环结构特征量相等,可解耦条件,积分型解耦系统,设方多输入多输出连续时间线性时不变系统,基于结构特征向量组成的pp矩阵,基于结构特性指数组成的pn矩阵,则可导出包含输入变换状态反馈系统,称为积分型解耦系统。,无实际应用价值 理论分析应用,可解耦条件,设方多输入多输出连续时间
21、线性时不变系统,结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的pp矩阵E非奇异。,基于结构特征向量组成的pp矩阵,注：1.系统能控；2.E有两种方法构成（传递函数矩阵、状态空间描述）；3.强解耦、弱解耦块解耦4.“摩根问题”,解耦控制综合算法,给定n维方连续时间线性时不变受控系统,要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对L,K,使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。,Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量,Step 2：基于结构特征向量组成并判断矩阵E的非奇异性若E为非奇异，即能解耦，
22、若E为奇异，则不能解耦。,Step3：,Step 4：,导出积分型解耦系统,Step5：判断,的能观测性，若不完全能观测，计算,Step6：引入线性非奇异变换,化积分型解耦系统为解耦规范型。,对完全能观测,，解耦规范型具有形式：,能观性分解,di+1,di+1,mi-(di+1),mi-(di+1), di+1,Step7,求,Step8：对解耦规范型,选取,状态反馈矩阵,的结构,对完全能观测,对不完全能观测,Step9：对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：按单输入情形极点配置法，定出状态反馈矩阵,Step10：最后得,例6.4 p298,Step11：停止计算。,状态反馈矩阵 的这种选
23、择必可使 实现动态解耦：,解耦,极点配置,6.8状态反馈静态解耦,问题的提法：,设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统,所谓静态解耦，就是综合一个输入变换和状态反馈矩阵对,使导出的包含输入变换状态反馈系统,及其传递函数矩阵,动态解耦严重依赖系统模型，工程上静态解耦已可以满足实际需要，且其对模型误差和参数摄动的敏感性小得多。,满足：i）闭环控制系统渐近稳定， 即,ii）闭环传递函数矩阵当S=0时为非奇异对角常阵，即有,静态解耦特点： 1.当S0时，闭环传递函数矩阵为非对角矩阵； 2.只适合于p维参考输入各分量为阶跃信号情况。,可解耦条件,存在输入变换和状态反馈矩阵对L,K,其中,可使方n维连续
24、时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当,1.受控系统可由状态反馈镇定； 2.受控系统系数矩阵满足,静态解耦控制综合算法,Step1：判断受控系统A,B的能镇定性，若为能镇定，进入下一步，否则转入Step7。,Step3：综合pn镇定状态反馈阵K，按多输入情形极点配置算法计算K。,Step2：判断受控系统 ，若满足，进入下一步，否则转入Step7。,Step5：计算 ，计算 的逆。,Step7：停止计算。,Step4：按系统期望要求指定稳态增益即 ，组成。,Step6：计算 。且L,K为综合导出的输入变换和状态反馈阵，并有 。,6.9 跟踪控制和扰动抑制,跟踪控制和扰动抑制是广泛存在于工程
25、实际中的一类基本控制问题。,典型例子：雷达天线、导弹鱼雷,跟踪问题抑制外部扰动对系统性能影响和使系统输出无静差地跟踪外部参考输入。,一、问题的提法,考察同时作用控制输入和外部扰动的连续线性时不变受控系统：,q维确定性扰动,假定系统能控能观，令系统输出y(t)跟踪外部参考输入y0(t)，,跟踪误差： e(t) y0(t) y(t),跟踪问题三种提法：,渐近跟踪： y0 (t) 0， w(t)0,扰动抑制： w(t) 0， y0 (t) 0,无静差跟踪： y0 (t) 0， w(t) 0,二、参考输入和扰动的信号模型,使线性时不变受控系统的输出实现渐近跟踪和扰动抑制，是以控制器中“植入”参考输入和
26、扰动信号的模型为机理的。,信号的特性和模型,给定信号 的特性：结构特性非结构特性,时域中，,频域中，,非结构特性,结构特性,非结构特性,结构特性,由给定信号频域结构特性d(s)导出一个线性时不变自治系统：,其中：dimxd(s)阶次nyA0的最小多项式 d(s)C0=1ny向量x(0)x0为未知向量,参考输入的结构特性模型,由dr(s)导出参考输入y0(t)的结构特性模型：,其中： Ar是满足“最小多项式 dr(s)”的任一nrnr阵，C阵是满足输出为y0(t)的任一qnr 阵。,再表 dr(s) = dr1(s), , drq(s) 最小公倍式，nr多项式 dr(s)的次数,正弦信号,频域结
27、构特性,扰动信号的结构特性模型,由dw(s)导出扰动信号w(t)的结构特性模型：,其中： Aw是满足“最小多项式 dw(s)”的任一nwnw阵，C阵是满足输出为w(t)的任一qnw 阵。,再表 dw(s) = dw1(s), , dwq(s) 最小公倍式，nw多项式 dw(s)的次数,参考输入和扰动信号的共同不稳定模型,渐近跟踪和扰动抑制只需关注系统输出y(t)在t的行为，建模时只需考虑信号y0(t)和 w(t)的渐近影响。,其中， r(t)0，w(t)0的根为不稳定。,由此组成参考输入和扰动信号的共同不稳定模型的系数矩阵为,令 (t) r(t)和w(t) 的最小公倍式， (t)包含了Ar和A
28、w的所有不稳定特征根。,并令跟踪误差e(t)为模型输入，yc(t)为模型输出，则参考输入和扰动信号的共同不稳定模型为：,令 -1(s)Iq内模,q为输入维数,无静差跟踪控制系统,线性时不变系统 机理保证,静态状态反馈 渐近稳定,将伺服补偿器取为“参考输入和扰动信号的共同不稳定模型”和比例性控制率Kc的串联，将镇定补偿器取为受控系统的状态反馈。,无静差跟踪控制系统的状态空间描述：,“断开”,0与串联 c,串联系统T的能控性,串联系统T为能控的一个充分条件：(1) din(u) dim(y)(2) 对(s)=0的每一个根i，成立,无静差跟踪条件,存在状态反馈 ，使可实现无静差跟踪的一个充分条件为：
29、,(1) din(u) dim(y) (2) 对(s)=0的每一个根i，成立,无静差跟踪的综合算法,Step1：判断是否din(u) dim(y)，若是，进入下一步；若否，转去step11。 Step2：判断(A.B)能控性，若完全能控，进入下一步；若否，转去step11。 Step3；定出(t) r(t)和w(t) 的最小公倍式。Step4：计算(t) 0的根i，判断若成立，进入下一步；若否，转去step11。 Step5：定出分块矩阵,定出参考输入和扰动信号的共同不稳定模型的系数矩阵为,Step6：组成(n+ql)维串联系统T的状态方程,Step7：对串联系统T按期望动态性能指标指定(n+
30、ql)个期望闭环极点1 * ，2*，ql * ，基于u=KTxT，xT=xT,xcTT，采用极点配置算法定出p(n+ql)维KT。,Step8：对KT分块:,Step9：定出镇定补偿器：,Step10：定出伺服补偿器：,Step11：停止计算。,在回路中“植入”参考信号和扰动信号的共同不稳定模型，称这个置于系统内部的外部信号模型为“内模”。,内模,内模原理,internal model principle 把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理。这个原理指出，任何一个能良好地抵消外部扰动或跟踪参考输入信号的反馈控制系统，其反馈回路必须包含一个与外部输入信号相
31、同的动力学模型。这个内部模型称为内模。早在1958年D.J.M.史密斯在研究非线性预测控制器的设计中就提到了内模的概念。此后C.R.凯莱和 J.von诺伊曼都曾论及这个概念，诺伊曼还把它与可靠性理论中的备份思想联系起来。70年代中期W.M.旺纳姆对线性定常系统给出了内模原理的严谨的数学描述，从而建立了内模原理。随后它被推广到非线性系统，又取得了一些进展。内模原理的建立，为完全消除外部扰动对控制系统运动的影响，并使系统实现对任意形式参考输入信号的无稳态误差的跟踪，提供了理论依据。从而，在高精度的反馈控制系统的设计中澄清了某些模糊观念。内模原理已在线性定常系统和随动系统（见伺服系统）的综合设计中得
32、到有效的应用。,P314 例6.5,基于内模原理的无静差跟踪控制系统方案的重要优点：对除内模以外的受控系统和补偿器的参数变动具有很强的不敏感性。鲁棒性很强，广泛应用于过程控制中。,内模控制（Internal Model Control，简称IMC）是一种基于过程数学模型进行设计控制器设计的新型控制策略。它的优点在于设计简单，控制性能好和在系统分析方面的优越性。内模控制是一种实用的先进控制算法，在研究预测控制等基于模型的控制策略的重要理论基础，可以提高常规控制系统设计水平的有力工具。,6.10 线性二次型最优控制：有限时间情形,线性二次型最优控制属于线性系统综合理论中最具重要性和最具典型性的一类
33、优化型综合问题。,LQ问题,给定线性连续时变受控系统：,相对于状态和控制的二次型性能指标为：,LQ最优控制问题是，寻找一个允许控制u*(t)，使系统的状态轨线x*(t)，从初态x(t0)出发到达x(tf)，且沿此轨线，性能指标最小，即,说明： (1)性能指标属性： J(u()实质只由u(t)控制，能量类型性能指标；, (2)加权矩阵的选取：S , R , Q根据经验选取； (3)容许控制的特点：u p (4)最优控制和最优轨线：u*(t)，x*(t)， J*J(u*() (5)极值化的类型：极大值、极小值 (6)最优控制问题的数学实质：性能指标泛函的有约束极值问题，变分法； (7)最优控制问题
34、按末时刻的分类：有限时间LQ问题、无限时间LQ问题； (8)调解问题和跟踪问题：工程角度，最优调解问题 x(t0) xe= 0 ,最优跟踪问题 y(t) y0(t),有限时间LQ问题的最优解,(1)给出系统的状态方程 (2)给出控制量u的限制条件 (3)明确始端条件:给定t0，x(t0) ,固定始端的控制问题；t0固定，x(t0)任意,自由始端的控制问题。 (4)明确终端条件：类似于始端条件 (5)给出性能指标任务：寻求一个最优控制u*(t)，使系统的状态轨线x*(t)，从初态x(t0)出发到达x(tf)，且沿此轨线，性能指标最小，即,有限时间LQ问题的最优解,调节问题：受外部动态扰动时，保持
35、x(t)回到零平衡状态。,有限时间： tf为有限值,LQ问题：二次型性能指标,考虑线性连续时变系统：,寻求最优控制 u*(t) ，使性能指标取极值,定理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反馈解给出其中 P(t) 为满足终端条件 P(tf ) = S 的下列矩阵 Riccati 微分方程的正半定对称解阵,最优性能值 J* 为：,最优轨线 x*()为满足下述状态方程的解：,末时间 tf 固定,充分必要条件,证明：必要性涉及变分，在此只证充分性。,已知 ，欲证u*()为最优,基本属性： (1) 最优控制的唯一性： (2) 最优控制的状态反馈属性： (3) 最优调节系统的状态空间描述,定
36、理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反馈解给出其中 P(t) 为满足终端条件 P(tf ) = S 的下列矩阵 Riccati 微分方程的正半定对称解阵,最优性能值 J* 为：,最优轨线 x*()为满足下述状态方程的解：,末时间 tf 固定,充分必要条件,综上，有限调节时间LQ问题的综合步骤是：(1) 由A，B，P(tf)=S，Q，R代入Riccati非线性矩阵微分方程，解出增益矩阵P(t)；(2) 构造状态反馈,系统的状态空间描述,注意： 有限时间LQ调节问题的最优调节系统是状态反馈系统，反馈矩阵是唯一的。 对象系统虽然是定常的，但闭环系统却是时变的。 Riccati矩阵微分方
37、程是非线性微分方程，难求解析解，可离散计算。,问题提法：线性系统性能指标,6.11线性二次型最优控制：无限时间情形,无限时间LQ问题是指末时刻 tf 的一类LQ问题。 过渡过程中的最优运行，趋于平衡状态时的渐近行为。,无限时间LQ调节问题的最优解,无限时间调节问题与有限时间调节问题提法上的区别： (1)此处对象为线性定常系统； (2)不考虑终端指标； (3) A，B 可控,。,加权矩阵R = RT 0，Q = QT 0 或 Q = QT 0 且A,Q完全能观测， 其中 QG GT， 为Q的特征值对角阵，G-1 = GT,无限调节时间调节器可以看作是终端指标为，终端时间趋于无穷，受控系统是定常可
38、控的有限调节时间调节器问题。Kalman指出，此时矩阵微分方程的解P(t)，当tf 时，P(t)的极限存在且唯一，即 常阵P 即为无限调节时间调节器的增益矩阵。,定理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反馈解给出其中 P为下列矩阵 Riccati 代数方程的正定对称解阵,最优性能值 J* 为：,最优轨线 x*()为满足下述状态方程的解：,充分必要条件,求解的问题变为求解Riccati代数矩阵方程的正定解。P正定（比较有限调节时间时P(t)半正定） 一旦求得P,即可得到闭环系统为 仍保持为定常系统。对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成
39、的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。,证明：选取Lyapunov函数如果Q正定放宽为Q半正定，则 ，只要A,H能观，则仍能保证闭环系统渐近稳定。,例：已知系统的状态方程 ，求最优控制 u*() ，使取极值。,解：n =1，S = R = 1 0，A = B =1，系统能控,5.8状态重构问题和状态观测器,一. 状态重构问题系统的实际状态不可得。重构状态：构造一系统，利用原系统可直接量测的变量u和y作输入，产生输出 ,使该人为构造的系统称为观测器。状态观测器：全维，降维函数观测器：重构状态的函数，如,二. 全维状态观测器观测器的维数和受控系统的维数相同。对象：方法I：（本科已学过）要求A，C能观
40、测。构造和原系统相同的系统，在初值 时，通过 之差调整，使方法II：受控系统能控，能观全维状态观测器可取为在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。,结论1： 任意，上述系统是A,B,C的全维状态观测器的充要条件是：证明：充分性：满足(1)(2)(3),则z(t)是Tx的估计，,必要性：见课本的说明。实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。 关键是要能从TA-FT=GC求出非奇异的T。结论2：设A和F无公共特征值则条件(1) TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是A,C能观，F,G可控。（SISO时也是充分条件） 证明略。 算法：,三.降维状态观测
41、器 线性定常系统y中已包含x的信息，y可量测出，故可构造维数低于状态维数的观测器，即降维观测器。最小维数为(n-q). 方法I：思路：利用相似变换，先从y和u中提取出已知x的信息， 再对剩下的状态变量构造全维状态观测器。 已知条件：A,B,C,rankC=q,A,C能观 step1:构造,step2:作线性非奇异变换，,则上式写成,Step3:,Step4:对以上系统构造全维状态观测器（第一种全维观测器的构造方法）,Step5:,结构图见书P204页。 方法II：对方法I中的Z来讲构造全维状态观测器（方法II结论1方法） 已知条件相同，取也可以用方法II结论2的方法估计Z。,5.9引入观测器的
42、状态反馈控制系统的特性,闭环系统的维数提高了 分离原理：观测器和反馈控制器可分别设计，互不影响 系统的传递函数不变：观测器不影响闭环系统的传递函数 系统鲁棒性变差 等价于包含补偿器的输出反馈系统作业：5.16,5.18,5.19,5.24,612 全维状态观测器,一：开环状态观测器,为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：,二：全维观测器,全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同,事实上，已知的信息为u（t）和y（t），只有当系统完全能观测时，才能从u（t）和y（t）及其导数的线性组合中获得状态向量x（t）的估计值此时存在状态观测器。,利用观测器实现状态反馈的系统为：,
43、在观测器的设计中，为使 尽快地接近x（t），可利用y（t）和 之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：,写出观测器动态方程为,原系统的状态方程：,定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：,定理：若系统（A、B、C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计,矩阵H可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。,例,设系统动态方程为,试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。,解,希望的特征多项式,观测器方程,原系统及其状态观测器结构图如下,6.13降维观测器,一个n维的能观测系统,由于y可以直接提供一部分状态，
44、故只需要估计其余的状态即可。,1：建立n-m维子系统动态方程,设ARnn，BRnr，CRmn，系统（A、B、C）能观测，令：,为一个nn矩阵，D的选择应使Q可逆，考虑到,系统的动态方程为,可直接有y提供，只须估计,2：降维观测器设计,方程改写为,故降维观测器方程为,令,这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为：,而系统原状态向量x的估计值为,3：H阵的选择,通过H阵的选择，使,的极点任意配置，极点的位置决定误差向量,衰减到零的速率，而,直接有y提供，不存在估值误差。,定理：有m个输出的任一m维能观测系统（A、B、C），可通过状态变换而写成如下形式：,其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计
45、,（n-m）m矩阵H可以选得使,极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下：,的极点任意配置,例,已知系统：,试构造一降维观测器,解,系统完全能观测,令,设降维观测器的特征值为-10，H=h,希望的特征多项式为+10，故H=10，降维观测器为：,原系统状态向量估计值为,原系统及其降维观测器如下,原系统,降维观测器,6.14带状态观测器的状态反馈系统,带状态观测器的状态反馈系统：,现提出两个问题：1，用状态估计进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的H阵能否分开设计？,显然利用x进行状态反馈
46、时，控制系统的传递矩阵为,状态估计进行状态反馈,为了计算传递矩阵，作坐标变换,变换前,变换后,考虑到当R、T可逆时，有,传递矩阵为,系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。,另外，系统的特征多项式,它由（A-BK）、（A-HC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（A、B、C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择K，按观测器动态特性的需要H，两者可分开进行设计，这个原理称为分离定理,例,设系统的传递函数为,希望利用状态反馈使闭环极点为-4j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。,解,1：建立能观测标准形实现,系统也是能控的,2：求状态反馈阵K，设K=k1，k2，系统特征方程式：,希望的特征方程式,K=2，40,3：求二维观测器，设其极点为s1=s2=-10，H=h1，h2T,希望的特征方程式,H=100，14T,观测器方程,系统结构图,4：求一维观测器，设其极点为s1=-10，H=h,希望的特征方程式s+10=0,H=10,观测器方程,系统结构图,
