1、 微积分 B2 复习要点一 题型 1.填空题( 3 7=21 分)； 2.单项选择题(3 6=18 分)； 3.计算题(51 分)； 4.解答题(10 分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点 ，半径为 R 的球面方程),(00zyxM例 平面直角坐标系中 的图形是 圆 ，24空间直角坐标系中 的图形是 圆柱面 。2xz例 XOZ 面上 绕 x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。24xz第八章 多元函数微分学 1.二元函数的定义域；例 1 求函数 的定义域 . 24zxy=-D解 要使 有意义, 应有 , 240xy-即 .故 214y
2、x+2(,)1yDx + 例 2 求 的定义域 . ln()zy=-解 要使 有意义, 应有 ,ln()zxy=- 0xy-故 .(,)0Dy例 3 求函数 的定义域 。2214zxyxy-+-D解 要使 有意义, 应有221=-, 即 ,240xy-+ 24xy+故 (,)1Dxy=2.二元函数的极限的计算； 定义 如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得当时， 恒成立，则称当 趋20200)()(yx Ayxf),( ),(yx于 时，函数 以 A 为极限。,y,f记作 或 yxyx)(lim),(),0 yxf),(lim0例 求 2201yx sinli),(,解 当 时 ，,
3、 02yx12yxsin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以 2201yxyxyx sin)(lim),( 03.多元函数偏导数计算；（1）一阶偏导数的计算；（2）全微分的计算；概念：函数 的全微分为(,)zfxyzdxdy例 求函数 的全微分235解 因为 ，22,5zzxyxy所以 22(3)()ddd（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设 ，若 在点(,)(,)(,)zfuvxyv(,)(,)uxyv处偏导数存在，而 在对应点 处可微，则复合函数(,)xyzfv在点 处可导，且,(,)zfxy(,)xyzuzvyy例 已知 ，求 2153,cos,szuvxvyx,zy解 由
4、链式法则有26s2(sin)6cosinxxuvx用同样的方法，可得 23iczyxy（4）隐函数的偏导数的计算；例：设 是由方程 确定的隐函数，试求(,)zxyzxye,.zxy（5）抽象函数求导例 求复合函数 的一阶偏导数 和 。(,)yzfxxzy解 令 ，则 变为 ， 复合而成的复,uyv(,)f(,)fuv,yxv合函数。 2()zfffyxvxuvx1fuffyy练习：设 ， 具有一阶连续偏导数，求(2,sin)zfxf ,zxy6.可微、偏导、连续的关系; 7.多元函数极值的计算。概念：设函数 在点 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于(,)zfxy0()Pxy的点 ,有 (或
5、),则称 为函0P,f0)(,)ffxy0(,)fxy数 的一个极大值(或极小值).,fxy例；求函数 224yxyz的极值。解：解30xy，得 (,)(1,0。而 2 21,1xxyyzz对 (,)(， 20,1xyyz，知 ,)y为极小值点。且极小值为-2。第九章 二重积分 1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1） ，其中 由 所围成Ddyx6D1,2,xy（2）求 是由直线 与曲线 所围成Dxyd,3xy12xy（3）计算 ，其中 由曲线 及 所围成IDy56解 画出积分区域 的图形265xy2xDx (1,1) O y (4,-2) 积分区域 的不等式组表示为D ， ，2:yx
6、y5621所以 yI d)(1d2456122476321yy（4） 4:22xDdyxD(5) 1)(52y2. 交换积分次序；例 交换二重积分 的积分次序。xedyfdln),(01解：由二次积分的上、下限知积分 D 的图形是 与 在 之间0yxln,e1的部分，则 :Dxyexln,若先对 后对 积分，此时积分区域可表示为y:y,10因此，我们可以交换积分次序 = xedyfdln),(01 eydxf),(10例（1） 412),(ydxf(2) +xd0xyf201),( exyo11Dlnyx3.二重积分的性质与应用。例 设 D 由 所围成，求平面图形 D 的面积。xyy1,0,2
7、第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程(1)xQyPdx称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数 及其导数 是一次方ydyx程)当 时，方程(1)为齐次的，当 不恒等于零时，方程(1)为非齐次0xQx的(2)0yxPd称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型. pxdpxdyeQeC例 求方程 的通解251y分析 (常数变易法)这是 的一阶非齐次线性方251.xQxP程它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解,yxd12,dxy12,clnlln,2xC用常数变易法，把 换成 ，即令 ,c
8、u1y,2 udx代入所给非齐次方程，有,12x,Cdu321于是 ,xy2321解法二 (公式法)直接由 给出，其中pxdpxdeQeC21ln2x2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 2()()0dyPxQy中 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。(),xQ解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程 ，并求解出特征根20rpq12,r（2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：特征方程 的两个根2rpq012r,微分方程 的通解yp+q=0两个不相等的实根 12r, 12rxrxCe两个相等的实根 12
9、r,一对共轭复根 ,i1rx12yCe2cos+inx（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的 1,（4）将 代入到通解里去，得到题目要求的特解。12,C例题：求微分方程 满足初始条件 ， 的特解。30y 0|xy0|4x解： 所给微分方程的特征方程为 23r其根 是两个不相等的实根，12,3r因此所求通解为 （1）312xxyCe从而 （2）312xy将初始条件 ， 代入（1） 、 （2）0|x0|4xy得： ，12C23C从而 ,所以，原微分方程的特解为 3xye例题：求方程 满足初始条件： 的特解20dstt 2.400stt解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方
10、程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为： 即.012r0)(2r为重根 (1) 2121,.rrtecs(2再对(1)的两边关于 t 求导: (2)ttt ectdt )()1(2121把 代入(1)的 把 代入(2)得，40st 41c210t 2c为所求te)2(例题： 求微分方程： 通解052y解 所给方程的特征方程为： 为一对irr 21042,1共轭复根 (这里 ).2sinco(1xeyx,3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型 1： ),(xf令 py 则 ，于是可将其化成一阶微分方程。y特点 含有 ，不含 。x,y例 求微分方程 满足初始条件 的特解。2(1)
11、x+=00|1, 3xxy=解 所给方程是 型的。设 ，代入方程并分离变量后，有 ,yfp。21dx+两端积分，得，2ln|l ()pxC=即 。11 ()ye+=又由条件 ，得 ，03xy=2C于是所求得特解为 。3yx类型 2： ),(fy令 则 ，,p dypxdpy于是可将其化为一阶微分方程。特点 不显含 。x例 解微分方程 满足初始条件 ， 的特解。32y21xy2x解 令 ，将 代入原方程中得()p dp32dpy分离变量并积分得 241pyc由初始条件 ， ，得 ，所以 21xy2x1024py则 ，即 p(,)因 所 以 取 正 号 2dx分离变量并积分得 2xcy再由初始条件
12、 ，得 ，21xy23c所以方程满足初始条件的特解为 .13yx第十一章 无穷级数 1. 级数的性质；2. 会判断级数(正项级数；交错级数；任意项级数)的敛散性3. 幂级数的收敛半径、收敛区间的计算；4. 函数展开成幂级数。5. 常见级数的敛散性(几何级数、p 级数、调和级数等)例 （1）判断下列级数的敛散性：1n123n1(4)!nn（2）讨论级数 ， 是绝对收敛还是条件收敛31()n1()(0)pn（3）将函数 在 处展开，并指明其收敛域254fx5x（4）幂级数 的收敛区间14()nn请老师将“高数竞赛的试场”通知到相关学生，具体谁通知哪些学生，请见附件，大家看了附件就明白了，若不明白就 call 戴绍虞。注意：不上高数、微积分的课程的老师也有部分要负责通知学生。请务必通知到学生。附件的表已按“负责通知学生的老师”归类了。考试时间虽然之前的通知已有，但老师在通知的时候最好再提醒学生一下考试时间：2013 年 5 月 29 日 14：00-16：00下周三参加高数竞赛监考的老师为：陈静（教师自定）、周佳（4102）、路体超（4103）、吴凤干（4105）、方芬（4109）、汪建（4203）、汪平（4204）、戴绍虞（4205）.这些老师下周三请在 13：45 之前到达考场即可，其他事情戴绍虞会安排。
