1、 第二章 复变函数 2 初等解析函数 1、指数函数 2、对数函数 3、三角函数 4、幂函数 指数函数的定义： ).s in( c o s yiyee xz ;)(,1 xexfRx 、我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面 。 要求复变数 z=x+iy的函数 f(z)满足下列条件： 上解析；在、 Czf )(23 ( ) ( )f z f z 、= , -u v u vx y y xuv 由解析性 ， 我们利用柯西 -黎曼条件 ， 有 ),()()( yBieyAezf xx 则),()(),()( yByAyByA 所以 ， ,s i n)(,c o s)( yyByyA 因此 ， ).s
2、 in( c o s yiyee xz yiye iy s i nc o s 我们也重新得到欧拉公式： ( ) ( ) ,A y A y() xf x e 初始条件为 ， (0 ) 1 , (0 ) 0AB 2 zwe 、 指 数 函 数 是 实 变 指 数 函 数 在 复 平面 上 的 解 析 拓 广 ， 是 单 值 函 数 ；指数函数的基本性质 且有：在整个复平面是解析，在整个复平面有定义，、指数函数 zew 1zz ee )(,2,1,02|kkyA r geeezxz，、从定义知道，3.04 ze、的周期函数：是周期为、指数函数 iew z 26 ，则若加法定理）：、指数函数代数性质（
3、222111 ,5iyxziyxz )s i n(c o s)s i n(c o s 2211 2121 yiyeyiyeee xxzz 。即 2121ze zzz ee )s i n ()c o s ( 212121 yyiyye xx 21 zze 。即 zziz eieee )2s i n2(c o se 2i2z 7 、 指 数 函 数 的 几 何 性 态 ： R e , 0 I m 2zw e z z 把 映 照为 平面的射线映照为把直线 wyz 0Im 2Im0,Re a r g 00 zxzyw ；把线段；映照为平面的圆 | 0xew y z-平面 u w-平面 v i2 zew
4、iy00xLLw 整 个 平 面 ；对数函数的定义： 。称为对数函数，记为，的函数满足方程zwzfwzze wLn)()0(和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数： 由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有 ： 2 i，则由定义知道，如果令 ivuwrez i iivu ree 所以有：),2,1,0( 2,ln kkvru 2 A r g ,uvz v k z 容 易 看 到 ， 是 单 值 的 ， 而 由 于 辐 角 函数 的 多 值 性 知 道 ， 是 多 值 的 ； 因 为是 的 辐 角 ， 所 以0 i A
5、 r g|z|lnL n z zz,w对数函数的主值： ,a r g|lnln zizzw 相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值 lnz为： 则这时，有 ,2ln2a r g|lnLn ikzikzizzw 对数函数的基本性质 ;Ln1去原点上的多值函数是定义在整个复平面减、对数函数 zw （运算性质）：、对数函数的代数性质2LnLn)L n ( 2121 zzzz 和 辐 角 的 加 法 一 样 上 面 的 等 式 应 该 理 解 为集 合 相 等 ， 并 且 下 面 的 等 式 将 不 再 成 立 ：LnLn)/L n ( 2121 zzzz ,Ln2L n z 2 z L
6、nzLn 1n znikzizzikzizznn 2a r g|lnLn ,2a r g2|ln2Ln11n2而应是：、对数函数的解析性质3在除去原点和负对数函数的主值分支 zlnzz z 1dd ln 。事实上， )a r g(a r g|lnln zzizz均没有定义；与时，当 zzz a rg|ln0,a r glim,a r glim000 zzxzyy时，当连续，在原点和负实数轴上不所以， zw ln并且有实轴的复平面上解析，从而不可导。内在区域指数函数 a rg zvez w是单值的，所以的反函数 zw lnzez wwwez111ddddln ：、对数函数的几何性态4平面把支对数
7、函数的单值解析分 zzw ln00 a r g I mz y w y把 射 线 映 射 为 直 线 2Im0,lnRe| wrwrz 映射称线段把圆 R e 0 , I m 0 C z z w 的 映 照 平 面 的 带 状 域 2Im0,Re wwu v w-平面 x z-平面 y i2zw ln0yirln例 1 的值。计算 )1(Ln ，所以有，解：因为 )1a r g (1|1|)2k(1lnL n (- 1 ) i。),2,1,0( )12(kik 例 2 的值。计算 )32(Ln i，所以有，解：因为 23a rc t a n)32a rg (13|32| ii)2k(a r c
8、t a n13ln3 i )-L n (2 23 i。),2,1,0( )2( a r c ta n13ln 2321kki 例 3 。的值和计算 )01( l n)32l n (ln ii知：解：由对数函数的定义i;a r g|lnln i 2 iii)32a rg (|32|ln)32l n ( iiii 3122l n 1 3 ( a r c t a n )i 三角函数 的概念 : 由于 Euler公式 ， 对任何实数 x， 我们有 ： 所以有 xixexixe ixix s inc o s,s inc o s 因此 ， 对任何复数 z， 定义余弦函数和正弦函 数如下： ,2s in,2
9、c o sieexeexixixixix ,2s in,2c o sieezeez iziziziz 三角函数 的基本性质 : 则对任何复数 z， Euler公式也成立： 关于复三角函数 ， 有下面的基本性质： 1、 cosz和 sinz是单值函数； 2、 cosz是偶函数 ， sinz是奇函数 : ,s inc os zize iz ,c o s22)c o s ()()(zeeeezizizzizi,s in22)s in ()()(zieeieez izizzizi 3、 cosz和 sinz是以 为周期的周期函数 : ,c o s2)2c o s ()2()2(zeezzizi ,s
10、in2)2s in ()2()2(zieez zizi 212121 s i nc o sc o ss i n)s i n (4 zzzzzz 、212121 s i ns i nc o sc o s)c o s ( zzzzzz 2证明： )(4122s inc os)()()()(21212121212211zzizzizzizziizizizizeeeeiieeeezz)(4122s inc os)()()()(12212112211122zzizzizzizziizizizizeeeeiieeeezz)s i n ()(21s i nc osc oss i n 21)()(212121
11、21 zzeeizzzzzzizzi 所以，由此不能得到 例如 z=2i时，有 ;1c o ss in5 22 zz、12242)2()2(s inc os22222222ziziziziizizizizeeeeieeeezz1|s i n|,1|c o s| zz22c o s 2 12eei 6、 cosz和 sinz在整个复平面解析 ， 并且有： 证明： .c o s)(s i n ,s i n)(c o s zzzz ,s in222c o s zieeieieeedzdzdzdizizizizizizzeeiieieieedzdzdzd iziziziziziz c o s222s
12、in 7、 cosz和 sinz在复平面的零点： cosz在复平面的零点是 ， sinz在复平面的零点是 8、 同理可以定义其他三角函数： )(2 Zkkz )( Zkkz ,s in1c s c,c os1s e c,s inc osc ot,c oss inta nzzzzzzzzzz9、 反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为 z的反正切函数 ， 记作 由于 令 ， 得到 wz t a nzw A r c ta n1 iw iwiw iweezi e e111ziiwe 2从而 所以 反正切函数是多值解析函数 iziz1t a n21( ) ( ) 2Arc LnLn Lnziwzi
13、z ii z z ii 幂函数的定义 : 利用对数函数 ， 可以定义幂函数：设 是任 何复数 ， 则定义 z的 次幂函数为 当 为正实数，且 z=0时，还规定 ( 0 )Ln zw z e z 由于 0.z l n 2 ( l n 1 0 , a r g )z k iw z e e z 0,z w z 2 ( ) ,kie k Z 因此，对同一个 的不同数值 的个数等于不同数值的因子 个数。 ,2 时是正整数、当 n性，幂函数一般是、由于对数函数的多值1是一个单值函数；,)(3 1 时是正整数、当 nn值函数；是一个 n不同数值的个数等于数整个复平面上的多值函 (。不同因子的个数 )2 ike
14、 幂函数的基本性质： l n 2z k iw z e e 1 1 1l n 2z k in n nw z e e ,04 时是、当 ;10L n z00 eez）：的整数，为互素与是有理数时，即、当0(5qqpqpl n 2p p p pq q q qz i kz e e e Lnz取，当为互素，所以不难看到与由于 kqp个不同的值，即这时，得到， qq 1,210 值的函数；时幂函数是一个 q多值函数；函数是无穷是无理数或复数时，幂、当 6是无理数时，有事实上，当 l n 2 l n 2z i k z i kz e e e Lnz时，有当 )0( bbia)2( a r g|) l n()2
15、( a r g| l nL n z kzizbiakziz eeez l n | | ( a r g 2 ) l n | | ( a r g 2 ) a z b z k i b z a z ke 例如),2,1,0(2)2( a r g1 l nL n i 2 keeei kkiiiii ),2,1,0,(k )2lns i n2ln(c o s2 2 ie k )22) l n1()22( a r g2) l n1(L n 2)1(12 ikikiiii eee )22( l n)22( l n22ln22ln kikkiik ee 上解析，、幂函数在 0Re,0 I m7 zzCln1ddzwz ez z z 设在区域 G内 ， 我们可以把 Lnz分成无穷个 解析分支 。 对于 Lnz的一个解析分支 ， 相应地 有一个单值连续分支 。 根据复合函数求导法则 ， 的这个单值连续分支在 G内解析 ，并且 其中 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支。 zwzl n 11 zwz ezz z z ddz
