1、习题四1. 复级数 与 都发散,则级数 和 发散. 这个命题是否成立?为1na1nb1()nab1na什么?答.不一定反例: 发散22111i,inn但 收敛211()innab发散11()nn收敛.2411()nab2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1) (2) (3) 21in15i()2nn1ein(4) (5) 1iln0cosin解 (1) 211i()i()innnn因为 发散,所以 发散1n21in(2) 发散 115i6()2nn又因为i5lim()l(i)02nnn所以 发散15i()2n(3) 发散,又因为 收敛,i11en111cosine(cosi
2、n)in所以不绝对收敛.(4) 11ilnl因为 l所以级数不绝对收敛.又因为当 n=2k 时, 级数化为 收敛1()ln2kk当 n=2k+1 时, 级数化为 也收敛1()lkk所以原级数条件收敛(5) 0000cosiee1()()222nnnn e 其中 发散, 收敛0e()n01()ne所以原级数发散.3.证明:若 ,且 和 收敛,则级数 绝对收敛.Re()0na1n21na21na证明:设 222i,(i)innnnnxyxyxy因为 和 收敛1na21n所以 收敛2111,(),nnnxyxxy又因为 ,Re()0na所以 且0nx2limli0nnx当 n 充分大时, 2所以 收
3、敛21nx222()nnnayxy而 收敛， 收敛21nx21n所以 收敛，从而级数 绝对收敛.21na 21na4.讨论级数 的敛散性10()nz解 因为部分和 ，所以，110()nknsz1,nzs当 时， 不存在.1,nz当 时 ,ns当 时当 而 时（即 ） ，cosn 和 sinn 都没有极限 ,所以也不收敛ie1z.,nzs当 时故当 和 时, 收敛.110()nz5.幂级数 能否在 z=0 处收敛而在 z=3 处发散.0(2)nnCz解： 设 ，则当 时，级数收敛， 时发散.1limn12z12z若在 z=0 处收敛 ,则 若在 z=3 处发散 , 则1显然矛盾,所以幂级数 不能
4、在 z=0 处收敛而在 z=3 处发散0(2)nnCz6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确, 因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛, 也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若 的收敛半径为 R,求 的收敛半径。0nCz0nCzb解： 因为11limlinnbR所以 R8.证明：若幂级数 的 系数满足 ，则0nazlimna(1)当 时, 01R(2) 当 时, (3) 当 时, 0证明：考虑正项级数 210n nazazz由于 ，若 ，由正项级数
5、的根值判别法知，limlinnnnz0当 ，即 ， 收敛。当 ，即 ， 不1时1时 0naz1z时 1z时 2naz能趋于零, 级数发散 .故收敛半径.linnazR当 时, ,级数收敛且 .01若 ,对 当充分大时,必有 不能趋于零 ,级数发散.且0z2naz0R9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。(1)(2)0(i)npnz0pnz(3) 1210(i)nn(4) (1)0i()nnz解: ()1limli()lim()1)1pppnnnR收敛圆周iz(2) (1)lipnR所以收敛圆周z(3) 记 121()innnfz由比值法,有 2121()()limli2nnnzfz z 要
6、级数收敛,则z级数绝对收敛,收敛半径为 2R所以收敛圆周 z(4) 记 (1)i()nnnfzz1() 1,limlilimnnn nzf 若 若所以 时绝对收敛,收敛半径1zR收敛圆周10.求下列级数的和函数.(1)(2)1()nz20(1)!nnz解: (1) 1limlinC故收敛半径 R=1,由逐项积分性质，有：-101()()1znnzzd所以 -121()(),()nzz 于是有： 1 121()() 1()nnzzz (2) 令：20()1)(!nnzsz1limli0.(2)nnC故 R=, 由逐项求导性质 211()()!nnzsz22 2+110 0()()(1)()()!
7、)! !nmnnmnzzzsz 由此得到 s即有微分方程 ()z故有： ， A, B 待定。cosinsAz200()(1)1!zn A由 S201()sicos()!nznzBB所以 20(1)cs.!nnzR11.设级数 收敛，而 发散，证明 的收敛半径为 10nC0n0nCz证明：因为级数 收敛0n设 1lim.nnCZz若的收敛半径为 10nz则1现用反证法证明 若 则 ，有 ，即 收敛，与条件矛盾。01z1limnC0nC若 则 ，从而 在单位圆上等于 ，是收敛的，这与收敛半径的概念1z0nCz0nC矛盾。综上述可知，必有 ，所以11R12.若 在 点处发散，证明级数对于所有满足 点
8、 都发散.0nCz0 0z证明：不妨设当 时， 在 处收敛10z0nCz1则对 ， 绝对收敛，则 在 点 处收敛1z0n0n0z所以矛盾,从而 在 处发散.0nCz013.用直接法将函数 在 点处展开为泰勒级数 ,(到 项),并指出其收敛半径.l(1e)z4z解: 因为 ln()lzz奇点为 21i(0,.)kk所以 R又 0ln(1e)ln2z01lezz022ln(1e)()zz03el()(1)zz z2(4) 043e1e)1ln1(zzz z 于是，有展开式 243l(e)l2.,!zzzR14.用直接法将函数 在 点处展开为泰勒级数,(到 项)21z4(1z解： 为 的奇点，所以收
9、敛半径iz2又 21(),()ffz21,()2ff236),(1)zfzf24),(1)0()ffz 4(4) ()25,()zf f于是， 在 处的泰勒级数为 )fz124213()(1).,24!zzR15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1) 分别在 和 处 (2) 在 处123z0z13sinz0(3) 在 处 (4) 在 处 arctn(1)2zz(5) 在 处 l(1)z0解 （1） 013(),223332nnzzzz011112(),232()2()2nzzzz (2) 35210)sin.(!n 23 10i),4()!nnzz(3) 20arct1iz
10、dzR为 奇 点 ， 2 212000arctn()(1),zznnnzz(4) 0011122()223243411()()334)2,3nnnnnn zzzzzzzz (5)因为从 沿负实轴 不解析zl()所以, 收敛半径为 R=1 01ln()()nzz100l()()(),znndz16.为什么区域 内解析且在区间 取实数值的函数 展开成 的幂级数时，zR(,)R()fz展开式的系数都是实数？答：因为当 取实数值时， 与 的泰勒级数展开式是完全一致的，而在 内，()fzfx xR的展开式系数都是实数。所以在 内， 的幂级数展开式的系数是实数.()fx ()fz17.求 的以 为中心的各
11、个圆环域内的罗朗级数.21()zf0z解: 函数 有奇点 与 ,有三个以 为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：f120z2 0010 11z()=()2() nnnnnz zf zzz 在 内 ，19.在 内将 展开成罗朗级数.1()ezf解: 令 则1,tz231()e.!tftt而 在 内展开式为1tz21(.)zz所以, 代入可得 22234511()(.)(.).!9.60fzzzz 20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果 23.1zz21.zz因为 ,所以有结果023321.1.0zz你认为正确吗?为什么?答: 不正确,因为 要求23.1zz1而 要求2.zz所以, 在不同区域
12、内23621. 1.01zz21.证明 : 用 z 的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为()cos)fz201().0,1.nCnd证明:因为 和 是 的奇点，所以在 内， 的罗朗级zcos()z0z1cos()z数为 1cos()nzCz其中 1cos(),01,2.2innd其中 C 为 内任一条绕原点的简单曲线.0zi1ii ii2 2i()0 0ii20cos()1,(e,)e1cos(ei1coscosin)().,1.nnz ndzdd A22. 是函数 的孤立奇点吗?为什么?0z1()cos()zf解: 因为 的奇点有1()()zf 01,2,.)22kkz所以在 的任意去心邻域，
13、总包括奇点 ，当 时，z=0。012zk从而 不是 的孤立奇点.z1cos()z23. 用级数展开法指出函数 在 处零点的级. 366sin()z0z解： 3639339159()6sin()i.!fzzz故 z=0 为 f(z)的 15 级零点24. 判断 是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：0z ； 1/e21cosz解: 是 的孤立奇点zz因为 121e!z nzz所以 是 的本性奇点.01ez(2)因为 24221.1cos1! .!zz z所以 是 的可去奇点.0z21cosz25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点： 3sinz21(e)z21sinz解: (1)
14、3523 2.sin1! .3!5zzz所以 是奇点, 是二级极点.0解: (2) 2i(,1.)zk是奇点 , 是一级极点,0 是二级极点.解: (3) 0z2202 2sin,()cos0.i4incos0zzzz是 的 二级零点而 是 的 一级零点, 是 的 一级零点izk2szzk2sinz所以是 的 二级极点, 是 的 一级极点.0z21sinzi,21sinz26. 判定 下列各函数的什么奇点？z 21/ecosinz23z解: (1)当 时, z21z所以, 是 的可去奇点.2ez(2)因为243523511cosin. .!1.!zzzz所以, 是 的本性奇点.zcosinz(
15、3) 当 时 , 203z所以, 是 的可去奇点.z227. 函数 在 处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式：21()fzz.25431, 1()()()()zzz我们得到“ 又是 的本性奇点” ，这两个结果哪一个是正确的？为什么?1f解: 不对, z=1 是 f(z)的二级极点 ,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在 内得到01z的在 内的罗朗展开式为01z 222211()1.()()()zzz28.如果 C 为正向圆周 ，求积分 的值3()CfdA(1) (2)1()2)fz()1(2)zf解：先将展开为罗朗级数，得 234()(1)18.,2zzz而 =3 在 内， ,故z2z10C1()iCfdA(2) 在 内处处解析，罗朗展开式为()2zz23112(1)27.,zzz而 =3 在 内， ,故zz1C1()2iiCfdA
