1、2010 年高考理科数学试题 湖南卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ 1,23,4MN）A B. C. D.2,3MN1,4MN【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正确结论.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】 , , ，故选 C123M4N2,3MN2.下列命题中的假命题是 （ ）A , B. ,xR10x*x2(1)0C , D. ,lgRtan【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出含有全称量词与存在量
2、词的命题，判断真假得出结论.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】易知 A、C、D 都对，而对于 B，当 时，有 ，不对，故选1x2()0xB3.极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的图形分别是（ ）cos23xtyA.圆、直线 B.直线、圆C.圆、圆 D.直线、直线【测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由极坐标方程 可得 表示的是圆；cos22cos,0xy由参数方程 推得直线 ，故选 A1,3xty14.在 中， ，则 等于 ( )RtABC =904AC
3、， BAurg. . . . 1688D16【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】 ，故选 D2|cos|16ABCABCA:5. 等于 （ ）421dxA. B. C. D.ln2lnlnln2【测量目标】定积分的运算.【考查方式】直接给出定积分的式子求值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由微积分易知， ， ，故选 D1(ln)xQ42ln2ldx6.在 中，角 所对的边长分别为 ，若 ， ,则( )ABC , ,abc10CcaA. B. C. D. 与 的大小关系
4、不能确定ababb【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由余弦定理得 ，则有2222coscabCaba，而 的边长 均大于零，因而有 ，故选 A2abAB , 7.在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )A.10 B.11 C.12 D.15【测量目标】排列组合.【考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解.【难易程度】中等【参考答
5、案】B【试题解析】易知数字 0 和 1 无限制排列时有 种；与信息 0110 四个对应位置上的4216数字都相同的只有个:0110 ；三个相同的有个，分别为：0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有 个，故选 B43C=8用 表示 两数中的最小值若函数 的图像关于min,ab, ()min|,|fxxt直线 对称，则 的值为 （ ）12xtA B C D12【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出函数,画出其图像，通过对其图像的判断求解未知参数.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】本题考查了数形结合思想的运用.画出图形，知对称轴为 ，因此12tx，选 D.1t
6、第 8 题图 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9已知一种材料的最佳入量在 110g 到 210g 之间.若用 0.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g【测量目标】黄金分割点.【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题.【难易程度】容易【参考答案】 或17.8g4.2【试题解析】由 0.618 法求得第一次试点的加入量为 g 或10.6187.g20.618.10如图所示，过 外一点 P 作一条直线与 交于 两点已知 PA=2，点 P 到O:O:,AB的切线长 PT=4，则弦 的长为 :AB第 10 题图 【
7、测量目标】切割线定理.【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度.【难易程度】中等【参考答案】6【试题解析】由切割线定理知 ，得 PB=8,因此，AB=6.2PTAB:11在区间 上随机取一个数 x，则 的概率为 1,2|1【测量目标】几何概型.【考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率.【难易程度】容易【参考答案】 23【试题解析】因为 ，所以 即为 的概率为 .12x|1x1x2312如图是求 的值的程序框图，则正整数 2+0n第 12 题图 【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序再得出结果.【难易程度】容易【参考答案】100【试题解析】
8、因为第一次循环 ，第二次循环 + ，输出结果为21s21s，所以循环了 100 次，则正整数 .2130s10n13图中的三个直角三角形是 一个体积为 20 的几何体的三视图，则 3cmhcm第 13 题图 【测量目标】三视图. 【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式.由三视图得几何体为底面为直角边长为 5 和 6 的锥体，由正视图得锥体的高为 h，所以 ，解1562032h得 .4h14过抛物线 的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 两点，2(0)xpy ,AB在 轴上的正射影分别为
9、若梯形 的面积为 ，则 ,AB,DCAB12p【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质.【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数.【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】设直线方程为 ，设 A 点纵坐标为 、B 点纵坐标为 （ ） ，2pyx1y2y12（步骤 1）又得 即 （1） ， （步骤 2）又因为梯形ABCD12()面积为 ，则得 （2） ， （步骤 3）由（1） 、 （2）联立得2121()4yy（*） ，由 得 ， （步骤 4）由韦达1212()48yp2xp04py定理得 代入（*）解得 .（步骤 5）12315若数列 满足：对任意的 ，只有有限
10、个正整数 使得 成立，记这样nanNman的 的个数为 ，则得到一个新数列 例如，若数列 是 ，m()()na1,23,，则数列 是 已知对任意的 ， ，则 n0,12,， Nn5()，()na【测量目标】数列的创新运用.【考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项.【难易程度】中等【参考答案】2 2n【试题解析】 ，易知其中小于 5 的只22221345,naaa有两个 ，故 2；（步骤 1）类推得：25() 1()0,a， （步骤234()()1,69()2, 32）故 （步骤1(),a22()4,223()9,().naa3）故填 2， （步骤 4）5n三、解答题：本大题共 6
11、 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 2()3sinifxx（）求函数 的最大值；()fx（II）求函数 的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点.【考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合.【难易程度】中等【试题解析】 （）因为 （步骤 1）()3sin2(1cos)2in(),6fxxx所以，当 即 时，2,6k6kZ函数 取得最大值 1 （步骤 2）()fx（II）解法 1 由（）及 得 （步骤 3） ，所以()0fx1sin()2x或2,6xk5,6k即 或 （步骤 4）
12、,.3故函数 的零点的集合为 （步骤 5）()fx |, .3xkxkZ或 ，解法 2 由 得 ， （步骤 3）于是0f223sincosin,sin0,x或 即 （步骤 4）由 可知 ；3cosin,xta.x0xk由 可知 （步骤 5）ta3k故函数 的零点的集合为 （步骤 6）()fx |, .3xkxkZ或 ，17 （本小题满分 12 分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（）求直方图中 x 的值（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样） ，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望.第 17
13、 题图 【测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望.【考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案.【难易程度】中等【试题解析】 （）依题意及频率分布直方图知， 解得0.210.3791,x0.12x（II）由题意知， （步骤 1）因此(3,.)XB:， ，0()C97P123()C0.9.43PX， ， （步骤23.10.2 012）故随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P0.729 0.243 0.027 0.001X 的数学期望为 0.E或 （步骤 3）.437.10.18 （本小题满分 12 分）如图所示，在正方
14、体 中，E 是棱 DD1 的中点.1ABCD（）求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值； （II ）在棱 C1D1 上是否存在一点F，使 B1F/平面 A1BE? 证明你的结论 .第 18 题图 【测量目标】线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解.【难易程度】中等【试题解析】 （）解法 1 设正方体的棱长为 1如图所示，以 为单位正交1,ABD基底建立空间直角坐标系 （步骤 1）依题意，得 所以1(1,0)(,)(0,)(,0).2BEAD（步骤 2）.在正方体 中，因为 平面 ，所以 是平面1ACD1ABD的一个法向量 （步骤 3）设直
15、线 BE 和平面 所成的角为 ，则1B 即直线 BE 和平面 所成的角的正弦值为 （步骤|2sin1EA: 1234）第 18 题（1）图 （II）依题意，得 设 是平面1(0,)A1(,0)(,).2BE,xyzn的一个法向量， （步骤 5）则由 ，得 所以1ABE1,AB:n0.z，xz取 ，得 （步骤 6）设 F 是棱 上的点，则2y2, 1CD(,1)0).Ftt又 所以 （步骤 7）而 平面 ，于是 平面1,B(1,.1B1AE1/BFAEF 为 的中10(,)2,02()02Ft tt:n 1CD点 （步骤 8）这说明在棱 上存在点 F（ 的中点） ，使 平面 （步骤 9）1CD1
16、C1/BF1AE解法 2 （）如图（ ）所示，取 的中点 M，连结 EM， BM因为 E 是a的中点，四边形 为正方形，所以 （步骤 5）又在正方体1D1AD/EMAD中， 平面 ，所以 平面 ，从而 BM 为直线1ABC1B1BBE 在平面 上的射影， （步骤 6） 为 BE 和平面 所成的角设正方体的棱长为 2，则 ， （步骤 7）2EMA于是，在 中，13BRtBEM 2sin.3EB即直线 BE 和平面 所成的角的正弦值为 （步骤 8）B23第 18 题图（ ） 第 18 题图（b） a（II）在棱 上存在点 F，使 平面 1CD1/B1AE事实上，如图（b）所示，分别取 和 的中点
17、，连结 CD,FG1,BCDFG因 ，且 ，所以四边形 为平行四边形， （步骤 10）11/AB1A1因此 又 分别为 ， 的中点，DC,EG所以 ，从而 这说明 共面 （步骤 11）1/1/.B1,GE所以 平面 因四边形 与 皆为正方形，BACD1分别为 和 的中点，所以 ,且 ， （步骤 12）,FG1CD/FB1FCB因此四边形 为平行四边形，所以 F1G而 平面 ， 平面 ，故 平面 （步骤 13）1B1AEBGAE/1AE19.（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线
18、为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，在直线 的右侧，考察范围为到点 B 的距2x离不超过 km 区域；在直线 的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过6532xkm 区域.4（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图所示，设线段 P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线） ，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.第 19 题图 【测量目标】函数与圆锥曲线的实际运用.【考查方式】给出一个实际问题运用函数模型和圆锥曲线的相关性
19、质求解问题.【难易程度】中等【试题解析】 （）设边界曲线上点 的坐标为 当 时，由题意知P(,)xy2 （步骤 1）当 时，由 知，点 在以236(4)5xy2|45PABP为焦点，长轴长为 的椭圆上 （步骤 2）此时短半轴长,AB45a2()b因而其方程为 （步骤 3）故考察区域边界曲线（如图）的方程为104xy和 （步骤 4）2136:(4)(2)5Cx2:1(2)04xyCx第 19 题（）图 （）设过点 的直线为 ，过点 的直线为 ，则直线 ， 的方程分别为12,P1l23,P2l1l2（步骤 5）设直线 平行于直线 ，其方程为346.yxy代入椭圆方程 ， （步骤 6）消去 ，得,m
20、2104xyy2216035()x由 ，解得 ，或 （步骤 7）24168m从图中可以看出，当 时，直线 与 的公共点到 的距离最近，此时直线8ml2C1ll的方程为 与 之间的距离为 （步骤 8）3,yxl1|48|31d又直线 到 和 的最短距离 而 ，所以考察区域边界到2l1C265,冰川边界线的最短距离为 3设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 年，n则由题设及等比数列求和公式，得 ，所以 0.2(1)3n4n故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 4 年. （步骤 9）20.（本小题满分 13 分）已知函数 对任意的 ，恒有2()(,),fxbcRx.()fxf（）证明：当 时，
21、；0x2()fxc（）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 恒成立，求2()()fbMcM 的最小值.【测量目标】函数的最值与不等式证明.【考查方式】给出函数解析式证明函数的最值范围与不等式成立的条件.【难易程度】较难【试题解析】 （）易知 由题设，对任意的 ，()2fxbxR即2,xbc恒成立， （步骤 1）所以 ，从而()0x2()4()0bcb （步骤 2）214c于是 ，且 ，因此 （步骤 3）故c21|4b2()0cb当 时，有 即当 时，0x2()()1xcfxx （步骤 4）()f（）由（）知， 当 时，有|cb|（步骤 5）222() .f cbMc令 ，则 ， 而函数btc
22、1t1t1()2()gtt的值域是 因此，当 时，M 的取值集合为 （步骤 6）3(,)2|cb3,.当 时，由（）知， 此时 或 0，|b2,.()8fcb，20c从而 恒成立综上所述，M 的最小值为 （步骤 7）23()()fccb 3221 （本小题满分 13 分）数列 中， 是函数*naN11,na的极小值点.3221()()3nnfxx（）当 时，求通项 ； 0an（）是否存在 ，使数列 是等比数列？若存在，求 的取值范围；若不存在，aa请说明理由.【测量目标】数列的通项与等比数列的性质.【考查方式】给出数列的函数形式运用数列的通项与等比数列的性质求解未知数【难易程度】较难【试题解析
23、】 （）易知 2222()(3)(3)nnnnfxaxax令 ，得 （步骤 1）()0nfx12,.（1）若 则 23,a当 时， 单调递增；nx()0,fx()nf当 时， 单调递减；2x当 时， 单调递增 （步骤 2）x(),nfx()nf故 在 取得极小值 （步骤 3）()nf2（2）若 仿（）可得， 在 取得极小值 （步骤 4）3,a()nfxna（3）若 则 无极值 （步骤 5）2,n()0,nfx当 时， 则 由（1）知，0123.a21.因 则由（1）知，223,a234.因为 则由（2）知，3.a又因为 则由（2）知， （步骤 6）46,254由此猜测：当 时，3n34.nna
24、下面先用数学归纳法证明：当 时， （步骤 7）2.n事实上，当 时，由前面的讨论知结论成立假设当 时， 成立，则由（2）知， ，(3)nkka 213kka从而 （步骤 8）213(1)()0,ka所以 故当 时， 成立().n23n于是由（2）知，当 时， 而 因此1,a4,3.nna综上所述，当 时， （步骤 9）023()n源头学子 http:/ 特级教师王新敞 （）存在 ，使数列 是等比数列 事实上，由（2）知，若对任意的 ，都有an n则 （步骤 10）即数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，且23,n13nna:而要使 即 对一切 都成立， （步骤 11）只需 对一切23,na
25、23n:N23na都成立记 ，则 令 ， （步骤 12）则N2nb12341,.9b2xy因此，当 时， ， （步骤 13）从而函数21(l3)().xxyx0在 上单调递减故当 时，数列 单调递减， （步骤 14）即数列23x,2nnb中最大项为 于是当 时，必有 （步骤 15）这说明，当nb249b49a23na时，数列 是等比数列 （步骤 16）当 时，可得 而4,9an 49124,.93a223,由（3）知， 无极值，不合题意当 时，可得2()fx1439a数列 不是等比数列 （步骤 17）当 时，134,12,aan 13a由（3）知， 无极值，不合题意 当 时，可得2()fx13数列 不是等比数列124,na综上所述，存在 ，使数列 是等比数列，且 的取值范围为 （步骤 18） an 4(,)9
